DU PENDULE

Pendule simple. — Isochronisme des petites oscillations .

— La durée des vibrations est indépendante de la masse et de la nature chimique du corps pendulaire. — Influence de la résistance de l’air. — Centre d’oscillation.

— Influence des variations d’intensité de in pesanteur sur la durée des oscillations d’un pendule. — Expériences du pendule , entreprises pour déterminer la figure de la terre et les variations de l’intensité de la pesanteur à sa

. surface. — Pendule cycloïdal de Huygens.

202. — Quand on corps est suspendu à un axe horizontal qui ne passe point par son centre de graxrité , il ne peut rester dans un état d’équilibre stable que lorsque le centre de gravité est situé au-dessous de l’axe ^ dans un même plan vertical. Si cette condition n’est pas satisfaite, le corps oscille de part et* d’autre de la verticale, jusqu’à ce que la résistance de l’air et le frottement sur l’axe aient anéanti son mouvement (articles 166-157). Un corps suspendu de la sorte so nomme un pendule, et le mouvement de va-et-vient s'appelle indifféremment oscillation ou vibration. Les applications du pendule , nonseulement aux sciences physiques , mais aussi aux besoins ordinaires de la vie , donnent une grande importance à la théorie qui le concerne. Le pendule nous fournit le moyen le plus exact de mesurer le temps , et de déterminer avec précision des phénomènes naturels très-variés. Par exemple , c’est avec

cet instrument qu'on a mesuré l'intensité de la pe> santeur à diverses latitudes, et Qxé expérimentalement les lois suivant lesquelles cette intensité varie. D'après ces considérations, nous nous proposons d’exposer avec assez de détails , non-seulement les principes généraux de la théorie du pendule , mais les procédés de construction qu'il faut suivre pour en faire un instrument précis.

203. — On nomme pendule simple celui qui serait formé d'une molécule pesante', attachée à l'une des extrémités d'un fil inflexible , dont l'autre extrémité serait attachée à un point fixe O {Fig. 73). Quand ce pendule est dans la position OC, la molécule se trouve située au-dessous du point de suspension O, dans la même verticale , et elle reste en équilibre *, mais si l'on écarte le pendule de la verticale, pour l'amener dans la position O A , et qu’on l'abandonne ensuite à lui-même , la molécule pesante descendra vers G, en décrivant l’arc AC d’un mouve- .ment accéléré. Arrivée en C avec une certaine vitesse acquise , elle continuera à se mouvoir dans la même direction , à cause de son inertie , c’est-àdire qu’elle remontera en décrivant l’arc C A'. Tandis qu’elle remontera , la pesanteur retardera son mouvement, précisémentde lamêmemanièrequ'elle l’avait accéléré pendant le temps de la descente. En conséquence, lorsque la molécule aura décrit un arc G A' égal à G A , toute sa vitesse sera détruite , et elle cessera de se mouvoir dans cette direction. Mais alors elle se trouvera placée en A' dans les mêmes circonstances où elle était placée en A : elle descendra donc do A' en G d’un mouvement conti-

PJSNDULE.

nuellement accéléré ; puis elle remonicra de C en A pour redescendre ensuite de A en C, et ainsi indéQnimeot. Toutefois , il ne faut pas perdre de vue que nous supposons le fil parfaitement inficxible et inextensible , et sans poids appréciable ; que nous faisons , en outre , ;ibstraction de la résistance de l'aUnosphère et des frottements au point de suspension. A la faveur de ces hypothèses, il est clair que les temps employés par la molécule à se mouvoir de A en A' et de A' en A sont égaux , et demeureront tels aussi longtemps que le pendule continuera de vibrer. Si le temps de chaque vibration est connu , il suffira de tenir registre du nombre de vibrations exécutées par le pendule dans un temps donné , pour faire de cet instrument un véritable chronomètre.

Le mouvement du pendule, pendant qu'il descend, n'est pas uniformément accéléré, à cause que la force qui le sollicite, au lieu de rester constante, va tou- |oun en décroissant, et finalement s'évanouit au point C. En effet, cette force résulte de l’action de la pesanteur sur la molécule suspendue, action toujours dirigée suivant une ligne verticale telle que AV. Plus l’angle OAY> est grand, moins l'action de la gravité est efficace pour accélérer le mouvement de la molécule ; et cet angle va en croissant à mesure que le molécule approche de C, ainsi que le démontre Tinspecüon de la Fig. 7.3. Au point C, la force de la pesanteur, dirigée suivant CB, n'a d’autre effet que d’opérer la traction ou la tension du fU ; elle ne peut tendre à mouvoir la molécule. Par la même raison, le mouvement de G en h! n’est pas uniformément re-

tardé, la force retardatrice ayant une intensité too» jours croissante de G en A'. -Jira» t

204. — Quand ia longueur du fil et Tintensité de la pesanteur sont déterminées, la durée de la vibration dépend de la longueur de l’arc 'AG, ou la grandeur de l’angle AO G. Néanmoins, si cette grandeur n’excède pas certaines limites, la durée de la vibration ne variera pas sensiblement, quoique l’angle varie. Ainsi * la durée de la vibration serait sensiblement la même, si l’angle AOG était de 2°, ou de 1* 30', ou de 1°, ou qu’il eût toute autre valeur encore plus petite. Gette propriété du pendule est désignée sous le nom ù'isochronisme. Pour la démontrer rigoureusement, il faudrait s’appuyer sur des principes mathématiques dont nous ne supposons pas la connaissance dans ce traité. Mais, sans avoir besoin d’y recourir, on peut comprendre, en général, comment il arrive que Iq même pendule exécute dans le même temps des vibrations d’une amplitude plus ou moins grande. Lorsque la molécule part de A, l’impulsion que lui communique la pesanteur dépend de l’inclinaison de la ligne OA sur la ligne AŸ ^ lorsqu’elle part du point a, l’»;tioo impulsive de la gravité est beaucoup moins grande qu’en A, et doit communiquer à la molécule une moindre vitesse. On conçoit donc comment il peut arriver que l’efTet de la diminution de vitesse compense celui du raccourcissement de l’arc, de manière que la molécule décrive dans le même temps le plus grand et le pluspetitare.

Pour établir celte propriété par expérience, il suffit de suspendre à un fil une petite boule de métal, ou de toute autre matière lourde, et de la mettre en vi-

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ISOCHRONISME.

bralion, en ayant soin que l’écart primitif de la verticale n’excède pas 4 ou 5 degrés \ le frottement qui a lieu au point de suspension et les autres résistances diminueront graduellement l’amplitude des oscillations, de sorte qu’au bout de quelques heures elles seront assez petites pour ne pouvoir être discernées qu’à la loupe. Si l’on observe avec une bonne montre àsecondes les vibrations de ce pendule, au commencement, au milieu et à la fin du mouvement, on trouvera que leur durée n’a pas éprouvé d’altération sensible.

La loi remarquable de l’isochronisme est une des premières découvertes de Galilée. On rapporte qu’étant très-jeune, il observait le mouvement d’une lampe suspendue à la nef d’une église de Pise, et qu’il fut frappé do l’uniformité qui régnait dans la durée des oscillations, quoiqu’elles eussent des amplitudes très-visiblement inégales. Ce fait aurait sans doute passé inaperçu, ou du moins eût semblé trésinsignihant à un esprit qui n’aurait pas été formé par la culture des sciences ; mais les circonstances les plus triviales en apparence peuvent devenir pour un homme de génie l’occasion d’importantes découvertes. Ce fut, dit-on, la chute d’une pomme qui suggéra à Newton sa théorie de la gravitation : et sa puissante intelligence eut bientôt appliqué au système du monde ta loi dont il venait de voir un résultat si ordinaire. Les oscillations d’une lampe d’église, venant à frapper l’esprit méditatif de Galilée, lui ont fait inventer un instrument qui devait servir à mesurer le temps avec la dernière exactitude, à déterminer la figure de la terre, et à porter l’astronomie moderne à sa perfection.

205. — On a vu dans l’art. 117 que l’atlraction de la terre agit sur tous les corps également, et leur imprime la même vitesse, quelle que soit l’espèce ou la quantité de matière qui les constitue. Puisque celte attraction est la force qui met le pendule en mouvement, nous devons nous attendre à ce que les circonstances du mouvement pendulaire soient indépendantes de la masse et de la nature chimique du pendule. L’expérience confirme cet aperçu, et l’on trouve en effet que de petites boules de plomb, de cuivre, d’ivoire, etc., suspendues à des fils très-fins d’égales longueurs, vibrent dans le même temps, pourvu qu’elles aient assez de masse pour vaincre facilement la résistance de l’air, ou qu’on les fasse osciller dans le vide.

La résistance de l’air a pour effet de retarder le mouvement du pendule, et de diminuer la vitesse que l’action de la pesanteur tend à lui imprimer. En conséquence, le pendule met plus de temps à descendre du point le plus haut de sa course aü point le plus bas, et la durée de sa demi-oscillation descendante se trouve augmentée. Mais, d’autre part, comme il remonte moins haut, la durée de sa demioscillation ascendante se trouve raccourcie ; et le calcul, d’accord avec l’expérience, démontre que ces deux effets se compensent à très-peu près quand le pendule ne décrit de part et d’autre de la verticale <|ue des excursions très-petites. Dans ce cas, il arrive insensiblement au repos, en décrivant des oscillations isochrones dont les amplitudes décroissent en progression géométrique. Lorsque les arcs de vibration sont plus considérables, et qu’ils montent, par excm-

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. PliRÉie DES VIBRATIONS. 195

pie, ù.un ou plusieurs degrés, la compcnsalion dont nous venons de parler n’a plus lieu, du moins dans les expériences Irés-exacles j et alors il faut tenir compte de la résistance de l’air, ainsi que nous l’indiquerons dans la suite (art. 237).

206. — Après avoir reconnu que la durée des vibrations d’un pendule, qui décrit de petits arcs, ne dépend ni de l’amplitude des arcs de vibration, ni de la nature non plus que de la masse du corps vibrant, il faut expliquer les causes qui font varier cette durée. L’expérience la plus grossière montre tout d’abord que la durée des vibrations croît avec la longueur du 111 auquel le pendule est suspendu, ou avec la distance de la masse vibrante au point de suspension. Mais suivant quelle loi cet accroissement a-t-il lieu? Si la longueur du Ql est doublée ou triplée, la durée des vibrations devient-elle aussi double ou triple? Ce problème comporte une solution mathématique exacte, et le calcul inonirc que la durée des vibrations varie, non pas proportionnellement aux longueurs du fil, mais proportionnellement aux racines carrées de ces longueurs ; c’est-à-dire que pour une longueur quadruple la durée des vibrations est double -, elle est triple pour une longueur de ûl neuf fois plus grande, et ainsi de suite. Cette relation est exactement la même que celle qui subsiste entre les espaces que décrit un corps en tombant librement, et les temps de chute. On pourra so reporter au tableau de l’art. 121 , et si l'on conçoit que les nombres de la seconde colonne expriment des longueurs de pendule , les nombres placés vis-à-vis dans la première colonne sur la gauche

Diyiii^ëd by Goo^U

exprimeront les temps de vibration' correspondants.

207. — La loi que nous venons d’énoncer peut être établie par ex^riencc de la manière suivante :

Soient A, B, G {Fig. 74 ) trois petites pièces de métal, attachées chacune par des fils à deux points de suspension, et placées d’abord dans une même ligne verticale qui passe par le point O : supposons qu’on ait pris les distances OA, O B, OC, dans le rapport des nombres 1, 4, 9. On écartera en même temps les trois corps métalliques de la .verticale, dans un plan qu’il faut concevoir perpendiculaire à celui du papier, de manière que les fils de suspension restent dans un même plan, et qu’ainsi l’amplitude de l’arc de vibration soit le même pour les trois pendules. On les abandonnera ensuite à eux-mêa^ et aussitôt le pendule A gagnera sur B, et le pendule B gagnera sur G. A la fin de la seconde vibration de A, le pendule B arrivera seulement au terme de sa première vibration. Au bout de ta quatrième vibration de A, B aura accompli deux vibrations, et les fils de suspension de ces deux pendules seront revenus à leurs positions initiales. Après trois vibrations de A, G n’aura fait que compléter une vibration, et les fils qui les suspendent se retrouveront en coïncidence dans un plan qui fait avec le plan de coïncidence initiale un angle mesuré par l’arc de vibration.

208. ~ Nous avons constamment supposé jusqu’ici que le corps pendulaire avait des dimensions très-petites, en sorte qu'on pouvait imaginer que toute sa masse fôt concentrée en un seul point physique. Il est évidemment impossible de réaliser cette

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’ PfeNDULE COMPOSÉ. 197

hypothèse, el de consiruire ce que nous avons nommé un pendule simple; mais il n'était pas moins nécessaire de considérer d’abord celte hypothèse abstraite, pour analyser ensuite les lois qui régissent les mouvements des pendules réels.

Un corps pendulaire, de dimensions appréciables, a ses particules situées à des distances inégales de l’axe de suspension. Si toutes ces particules étaient isolées les unes des autres , elles vibreraient chacune dans des temps inégaux comme autant de pendules simples indépendants. Mais la solidité du corps fait que toutes ces particules doivent accomplir leurs vibrations dans le même temps : il faut donc que les .particules plus rapprochées de l’axe de suspension soient retardées dans leur mouvement, en vertu des liens qui les unissent aux particules plus éloignées, et, réciproquement , que le mouvement de celles-ci soit accéléré par la réaction des particules plus rapprochées , lesquelles tendent à vibrer plus rapidement. C’est ce que l’on concevra plus clairement si l’on considère seulement deux particules matérielles A et B {Fig. 75) , liées au même axe de ' suspension O par un fll inflexible OC, dont on regarde le poids comme négligeable. Si la particule B était enlevée, A vibrerait dans un certain temps qui dépend de la distance O A. Si A était enlevée à son tour, et que B fût fixée à une distance BO égale ù quatre fois AO, la durée de la vibration de B serait double du temps dans lequel s’accomplissaient les vibrations de A. Maintenant, que l’on attache au fil les deux particules matérielles à la fois : l’inflexibilité du fil les obligera à vibrer en même temps , et

pour cela le mouvement de A sera ralenti, tandis que celui de B sera accéléré. On pourra donc prendre sur le fil un point intermédiaire entre A et B, et dont la distance au point de suspension O sera précisément la lonfïueur du pendule simple qui oscillerait dans le même temps que le pendule composé des deux masses A , B. Ce point se nomme le centre d’ oscillation , parce que le mouvement du pendule est le même que si les masses étaient concentrées en ce point.

Le raisonnement que nous venons de faire au sujet de deux particules matérielles unies par un fil inflexible , peut s’appliquer à un nombre quelconque de particules situées à des distances diverses de. l’axe de suspension O , et finalement à la réunion des particules qui constituent un corps solide. Il y aura toujours un centre d’oscillation où il sera permis de concevoir que toute la masse du pendule est çoncentrée^ en sorte que iQutes )es prçnrjAjA^ .jjj

îiiouvemcnt du pendule simple pourront être transportées au mouvement pendulaire d’un corps de figure et de dimensions quelconques , en le réduisant par la pensée à une simple molécule vibrante, située au centre d’oscillation. Ainsi, les durées des vibrations de différents pendules seront entre elles dans les rapports des racines carrées des distances de leurs centres d’oscillation respectifs aux axes de suspension .

209. — Pour déterminer la position du .centre d’oscillation, il faut en général appliquer des règles de calcul qui reposent sur des notions mathématiques assez compliquées. La position de ce point dépend de la figure et des dimensions du corps , de la

CENTRE d'oscillation. 199

loi suivant laquelle la densilé varie dans l’inlérieur du corps, et enfla de la silualion de Taxe autoiu' duquel il oscille.

Opendant on délermine très-facilement la position du centre d'oscillation quand une fois l'on connaît celle du centre de gravité et la valeur du moment d’ inertie ù\x corps oscillant (art. 188) par rapport à Taxe’ de suspension. En effet , la distance du centre d’oscillation à l’axe dont il s’agit s’obtiendra en divisant le nombre qui exprime le moment d’inertie, par le produit de deux nombres, dont l’un mesure la masse du corps oscillant, et l’autre la distance du centre de gravité à l’axe de suspension. Par conséquent, lorsque 1’^ mettra en vibration des corps de dimensions et de masses considérables, et qu’en même temps on fera passer l’axe de suspension très-près du centre de gravité, Li distance du centre d’oscillation à l’axe deviendra très-grande, et pourra correspondre à un point situé, non plus dans l’tntérieur du corps, mais beaucoup au delà. Ce point n’aura plus alors qu’une existence idéale, et il servira seulement à déterminer la longueur du pendule simple , qui oscillerait dans le même temps que le corps emploie ù accomplir ses vibrations. C’est ainsi qu’une sphère homogène d’un mètre de rayon, enfilée par un axe horizontal qui passerait très-près de son centre, pourrait exécuter des vibrations aussi lentes que celles d’un pendule simple de dix mètres de longueur. Mais pour que le centre d’oscillation sorte ainsi des limites du corps vibrant, ou pour que te moment d’inertie soit très-grand, tandis que la dis-

tance du centre de gravité à Taxe de suspension reste trè§-pelile , il faut que la masse du corps soit répartie de part et d'autre de l’axe de suspension , . ce qui n’arrive pas dans les instruments auxquels on donne proprement le nom de pendules, et qui sont construits de manière que la totalité ou la presque totalité de la masse se trouve portée d’un même côté de l’axe de suspension.

On peut cependant quelquefois avoir intérêt à construire des corps pendulaires de petites dimensions , qui exécutent des vibrations lentes- Tels sont les instruments appelés mctroiiomes ,usiiés en mnsique pour marquer les intervalles des notes. On les construira d’gprès les principes qui viennent d’être exposés.

210. — Le centre d’oscillation jouit , par rapport à l’axe de suspension , d’une propriété remarquable. Si le point A {Fig, 76) désigne le point de suspension d’un pendule , et que O soit le centre d’oscillation correspondant, on déiqontre , d’après la théorie mathématique des moments d’inertie , que la durée des oscillations du pendule ne sera point altérée , quand on le renversera pour le suspendre au point O, c’est-à-dire que A deviendra dans cette hypothèse le centre d’oscillation. On énonce celle propriété en disant que les centres d’oscillations et de suspension sont échangeables. Pour la vérifier par l’expérience , on mettra un pendule en vibration , et l’on fera vibrer en même temps ' une masse trèspetite , suspendue à un fil très-fin , que l’on raccourcira ou allongera jusqu’à ce que ses vibrations soient isochrones à celles du premier pendule. On

CExNTRE d’OSCILLATKW, 201

aura ainsi à Irès-peu près la longueur du pendule ' simple, isochrone au premier pendule, ou la distance du point de suspension au centre d'oscillation. On laissera le premier pendule revenir au repos, et quand il y sera parvenu , le centre de gravité se trouvant dans la verticale qui passe par le point de suspension , on prendra sur cette verticale, à partir du point de suspension , une distance égale à la longueur du pendule simple qu’on vient de déterminer. L’extrémité de cette distance sera le centre d’oscillation. On détachera alors le pendule pour le suspendre à un axe horizontal passant par le centre d’oscillation , puis on le fera vibrer de nouveau. On trouvera que ses vibrations ont la môme durée qu’auparavanl , et qu’elles sont encore isochrones à celles du pendule simple qui a servi de terme de comparaison.

La propriété qu’ont les centres de suspension et ■ d’oscillation d’être échangeables, a été mise à profit, dans ces derniers temps par le capitaine Kater, comme un moyen d’assigner exactement la longueur du pendule simple qui vibrerait dans le même temps qu’un pendule donné. Si l’on détermine deux points de suspension autour desquels le même corps vibre dans le même temps, ce qui peut se faire avec une grande précision , la distance de ces points sera la longueur que l’on cherche.

211. — Après avoir expliqué la loi suivant laquelle la durée des oscillations varie avec la longueur des pendules, il faut voir comment celte durée est affectée par les variations de la pesanteur. Il est évident que le pendule doit se mouvoir plus

rapkicmcnl, quand la pesanlcur, ou la force qui le fait mouvoir, augmente d’intensité. De plus, on démontre mathématiquement que la durée de la vibration d’un pendule est à la durée de la chute d’un corps qui tomberait librement d’une hauteur égale à la moitié de la longueur du pendule , dans le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre. La durée des vibrations varie donc avec la pesanteur comme varierait le temps que met un corps à tomber d’une hauteur donnée. Or, si l’intensité de la pesanteur était quadruplée , le temps employé par un corps à tomber d’une hauteur donnée serait réduit à moitié-, ce temps serait réduit au tiers, si l’intensité de la pesanteur était rendue neuf fois plus grande; et en général, le temps de chute varie en raison inverse de la racine carrée du nombre qui mesure l’intensité de la pesanteur. Telle est donc aussi la loi suivant laquelle la durée des oscillations varie avec l’Intensité de la pesanteur.

212. — U ne reste plus, pour compléter la théorie du pendule, et pour pouvoir appliquer cet instrument, qu’à indiquer les moyens de déterminer d’une manière précise 1°. la durée d’une oscillation, 2°. la distance du point de suspension au centre d’oscillation.

Le premier de ces éléments s’obtiendra en faisant vibrer un pendule en présence d'un bon chronomètre, et en comptant soigneusement le nombre dos vibrations qu’il a exécutées dans un nombre donné d’heures. On convertira ce dernier nombre en secondes , on le divisera par le nombre d’oscilla-

MESURE DE L’I.NTENS. DE LA PESAJVTEUR. 203

lions, elle quotient donnera la durée d’une oscillation, exprimée en secondes ou fractions de secondes. La* marche du chronomètre est censée réglée par des observations astronomiques, indépendantes des variations que la pesanteur peut éprouver d’un point à l’autre de la surface terrestre *.

La distance du centre d’oscillation au point de suspension pourra se déterminer expérimentalement d'après la méthode que nous avons indiquée dans l'article 210. Mais elle pourra aussi se calculer à priori d'une manière très-facile, 'en donnant au pendule une figure simple et symétrique , et en le construisant avec des matières sensiblement homogènes.

213. — Tout cela posé, on se trouvera en état • de résoudre immédiatement les deux problèmes suivants :

1°. Déterminer la longueur du pendule qui exécute ses vibrations dans un temps donné ;

2°. Assigner la durée des vibrations d’un pendule qui a une longueur donnée.

Le premier problème se résoudra au moyen de celte proportion : la durée des vibrations d’un pendule de longueur connue est à la durée des vibrations du pendule cherché, comme la racine carrée . de la longueur du pendule connu est à la racine' carrée de la longueur du pendule cherché. 11 suffira

' Vo^ez le Traité d' Astronomie de sir J. Herschel,

rhap. II et III.

donc d’appliquer à celte proportion les règles ordinaires de i’arilhméliquc.

Le second problème se résoudra par la même proportion , présentée d’une manière un peu différente : la longueur du pendule connu est à la longueur du pendule proposé , comme le carré du temps de vibration du premier pendule est au carré du temps de vibration du second.

214. — La liaison qui existe entre l’intensité de la pesanteur et la durée des oscillations du pendule nous met à même, non-seulement de déterminer les variations de la pesanteur à la surface de la terre , mais encore de mesurer l’intensité absolue de la pesanteur en un lieu donné , d’une manière bien plus exacte que nous ne pourrions le faire en observant directement la chute d’un corps qui tomberait librement , ou en ayant recours à d’autres appareils, tels que la machine d’Attwood (art. 126).

L’intensité de la pesanteur, en un lieu quelconque , a pour mesure la hauteur d’où ce corps tomberait librement dans un intervalle de temps donné, par exemple , dans une seconde ; au lieu d’observer directement cette hauteur, on observe la longueur du pendule dont les vibrations ont une seconde de durée. Ainsi, à Paris, on trouve pour la longueur du pendule simple qui battrait les secondes 0"',99392. D’après ce que nous avons dit dans l’article 211, le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre (rapport dont l’expression numérique, approchée jusqu’aux cent-millièmes, est 3,14159} est le même que le rapport d’une seconde au temps que mettrait un corps à tomber librement d’une hauteur