Autres propositions relatives à la multiplication, —i

I. Le nombre des chiffres (Pun produit de deux fadeurs est égal, à la somme des nombres de chiffres de ces deux facteurs^ ou à cette somme diminuée d'une unité.

II. Pour multiplier un nombre par une somme, on peut multiplier ce nombre par ^chaque partie de la somme et ajouter ensuite les divers résultats obtenus.

III. Pour multiplier deux somjïies l'une par l'autre, on peut multiplier chaque partie de Vune par chaque partie de l'autre et ajouter ensuite les divers résultais obtenus.

IV. Pour multiplier une différence par un nombre^ on peut multiplier chaque terme de la différence par ce nombre et retran^ cher ensuite l'un de Vautre les deux résultats obtenus.

V. Pour multiplier un nombre par une différence^ on peut multiplier ce nombre par chaque terme de la différence et retrancher ensuite l'un de l'autre les deux résultats obtenus.

VI. Dans un produit de facteur s ^ on peut remplacer un nombre quelconque de ces facteurs par leur produit effectué. Cette, propriété fait dire que la multiplication est une opération associative.

VII. Pour multiplier un nombre par un produit de facteurs^ il suffit de le multiplier successivement par chaque facteur du produit.

VIII. Pour multiplier un produit de facteurs par un nombre^ il suffit de multiplier l'un quelconque des facteurs du produit par ce nombre.

IX. Pour multiplier entre eux plusieurs produits de facteurs^ il suffit de faire le produit dans un ordre quelconque de tous les facteurs de ces produits.

X. Le produit du nombre zéro par un nombre quelconque est zéro.

§ IV. — DlTision.

59. DélInlUon. — La division est une opération qui a pour objet de partager un nombre donné en autant de parties égales quHl y a d'unités dans un autre nombre donné. Le premier nombre s'appelle dividende^ le second diviseur^ et le nombre cherché quotient.

Si le partage se fait exactement, le quotient répété autant de fois qu'il y a d'unités dans le diviseur reproduit le dividende ; en d'autres termes, le dividende est rigoureusement le produit da diviseur par le quotient. Cela prouve que la division est l'opération inverse de la multiplication.

Si le partage ne peut pas se faire exactement, il donne lieu à un reste, et la division, telle qu'elle a été définie, est impossible : c'est ce qui se présente dans la généralité des cas. Le dividende est alors égal à ce reste augmenté du produit du diviseur par un certain nombre que Ton appelle encore quotient, mais que Ton qualifie d'approché, en donnant, par opposition, au quotient du premier cas le nom d'exact. Aussi dit-on, mais dans un sens un peu différent, qu*on effectue encore une division lorsqu'on cherche ce quotient et ce reste. Ce reste est plus petit que le diviseur, et le quotient est dit approché à une unité près par défaut.

En considérant le cas où la division se fait exactement, il y a lieu de remarquer que le quotient représente le nombre de fois que le dividende contient le diviseur ; c*est la raison pour laquelle on peut définir aussi la division : une opération qui a pour objet dé trouver combien de fois un nombre donné est contenu dans un autre nombre donné. La dénomination de quotient est même due à cette manière d'envisager l'opération.

60. Théorie. — D'après cette seconde définition, on pourrait effectuer la division en retranchant le diviseur du dividende autant de fois qu'il peut y être contenu ; le nombre des opérations représenterait le quotient, et le dernier reste, s'il y en avait un, serait le reste de la division. Ce procédé, beaucoup

40 AKITHMÉTIQUE TUÉORfOUE

trop long, est remplacé par une règle déduite de la première définition et qui permet d'arriver avec une très grande rapidité et une plus petite chance d'erreur. C'est en se plaçant au premier point de vue qu'on dit souvent que la division est une soustraction abrégée.

Voici comment on arrive par la méthode analytique à établir cette règle . Soit à diviser le n'ombre 367 443 par le nombre 837. D'après notre première définition, il s'agit de partager le premier nombre en 837 parties égales. Chacune de ces parties sera représentée par un nombre compris entre 100 et 1 000, c'est-àdire par un nombre de trois chiffres, car le dividende étant le produit du quotient par le diviseur, les produits de 837 pariOO, le plus petit nombre de trois chiffres, et par 1 000, le plus petit nombre de quatre chiffres, donnent respectivement les deux nombres 83 700 et 837 000, entre lesquels se trouve le dividende proposé. Ainsi, chaque partie contiendra des unités simples, des dizaines et des centaines. Dans les trois premières opérations fondamentales, on commence par chercher les unités simples du résultat, pour suivre Tordre ascendant des différentes espèces d'unités ; mais ici l'ordre inverse est de rigueur, pour la raison que si le partage d'une espèce d'unités donne lieu à un reste, ce reste transformé en unités de Tordre immédiatement inférieur et augmenté des unités de cet ordre du dividende peut donner lieu à un partage possible, ou^ s'il donne un reste à son tour, on opère une nouvelle transformation en unités de Tordre suivant, pour essayer un nouveau partage, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive aux unités simples ou du premier ordre. En appliquant ces considérations ànotreexemple^ puisque chaque partie doit contenir des centaines, le premier partage à effectuer est celui des centaines du dividende, ou du nombre 3674, en 837 parties égales ; le second partage est celui des dizaines du dividende augmentées de celles qui proviendront du reste transformé de la première division (3674 par 837); enfin, le troisième partage est celui des unités simples du dividende augmentées de celles qui proviendront du reste transformé de la deuxième division ; et Ton sait d'avance que chacun de ces

trois qaolients sera représenté par un nombre d'un seul chiffre. La question est donc ramenée à la division de deux nombres quelconques mais tels que le plus grand ne contienne pas 10 fois le plus petit.

En raisonnant sur notre exemple (3674 à diviser par 837), on remarquera que le quotient de ces deux nombres est au plus égal à celui de 3674 par 8 centaines, car en diminuant le diviseur^ le quotient ne peut qu'augmenter s'il varie ; et le quotient de 3674 par 8 centaines est le même que celui de 36 centaines par 8 centaines, ou de 36 par 8. Ainsi, le quotient de 3674 par 837 est au plus égal k celui de 36 par 8. Le nombre d'un chiffre qu'on obtiendra sera à essayer, et s'il est trop grand on le diminuera d'une ou de plusieurs unités jusqu'à ce que par des essais successifs on arrive au quotient cherché.

La division de deux nombres quelconques dont le quotient ne doit avoir qu'un chiffre est ainsi ramenée à celle de deux nombres dont le plus petit et le quotient n'ont qu'un chiffre ; et cette opération se résout par la consultation de la table de multiplication.

De tout ce raisonnement, il ressort que la recherche et la démonstration de la règle de la division comprennent les trois cas essentiels suivants :

i® Division de deux nombres tels que le diviseur et le quotient n'ont qu'un chiffre ;

2® Division de deux nombres tels que le diviseur est quelconque et que le quotient n*a qu'un chiffre ; 3^ Division de deux nombres quelconques. On est ainsi conduit à la règle générale suivante : On écrit le diviseur à la droite du dividende^ on sépare les deux nombres Vun de Vautre par un trait vertical et l*on tire un trait horizontal sous le diviseur. Prenant ensuite sur la gauche du dividende la quantité de chiffres nécessaire pour avoir un nombre plus grand que le diviseur^ mais le contenant moins de dix fois, on forme le premier dividende partiel dont le quotient par le diviseur donne le premier chiffre du quotient cherché. On multiplie le diviseur par ce chiffre et le produit obtenu est retranché du premier

dividende partiel, A la droite du reste, on écrit le premier des chiffres non utilisés du dividende ; on forme ainsi le deuxième dividende partiel dont le quotient par le diviseur donne le deuxième chiffre du quotient cherché. On multiplie de même le diviseur par ce deuxième chiffre et le produit obtenu est retranché du deuxième dividende partiel. A la droite du reste, on écrit le deuxième des chiffres non utilisés du dividende ; on forme ainsi le troisième dividende partiel dont le quotient par le diviseur donne le troisième chiffre du quotient cherché. On continue ainsi jusqu* à ce que tous les chiffres du dividende soient épuisés, et la dernière division partielle donne le dernier chiffre du quotient cherché. Le dernier reste partiel est le reste de l'opération entière.

D'après ce qui précède, dans toute division le dividende doit être au moins égal au diviseur. S'il en est autrement, par convention le quotient est égal à zéro, et le reste au dividende.

61. il est à remarquer que la théorie de la division est celle qui présente les premières difficultés sérieuses de l'arithmétique.

La division s'indique quelquefois au moyen du signe : , qui se prononce rfû'ise /?ar et que Ton place entre les deux nombres sur lesquels on veut opérer, le dividende étant à gauche du signe et le diviseur à droite ; mais le plus souvent c'est par un trait horizontal, au-dessus duquel on place le dividende et au-dessous le diviseur : le trait se lit divisé par ou sur.

62. Preuve. — La preuve de la division peut se faire de deux manières diiïérentes : l'' au moyen d'une multiplication, puisque le dividende est égal au produit du quotient par le diviseur, augmenté du reste, s'il y en a un ; 2^ au moyen d'une seconde division, celle du dividende parle quotient, après avoir diminué, toutefois, le dividende du reste quand il y en a un : la multiplication de ce quotient, qui devient ici diviseur, par le nombre cherché, qui est le nouveau quotient, devant reproduire le dividende modifié, ce nombre cherché ne pourra être que le diviseur proposé.

63. Principales propositions relatives à la division. — I. Ze

nombre de chiffres d^un quotient est égal à la différence des nombres de chiffres du dividende et du diviseur y ou à cette différence augmentée d'une unité,

II. Pour trouver le quotient d'une somme par un nombre qui en divise exactement toutes les parties^ on peut diviser chaque partie de cette somme par ce nombre et ajouter ensuite les résultats obtenus,

III . Pour trouver le quotient d'une différence par un nombre qui en divise exactement les deux termes^ on peut diviser chaque terme de cette différence par ce nombre et retrancher ensuite l'un de Vautre les résultats obtenus.

rv. Pour trouver le quotient d'un produit de facteurs par un

nombre qui divise exactement l'un de ces facteurs, il suffit de diviser ce facteur par ce nombre.

V. Pour trouver le quotient d'un nombre par un produit de facteurs, lorsque la division se fait exactement^ il suffit de diviser ce nombre successivement par chaque facteur du produit.

Vi. Pour trouver le qiu>tient à une unité près d'un nombre par un produit de facteurs , lorsque la division ne se fait pas exactement ^ il suffît de prendre le quotient à une unité près de ce nombre par Fun quelconque de ces facteurs^ puis le quotient à une unité près de ce premier, quotient par un autre quelconque de ces facteurs, et ainsi de suite jusqu'au dernier facteur du produit.

VII. Le quotient de deux nombres ne change pas quand on les multiplie par un troisième nombre quelconque^ le reste seul est multiplié par ce troisième nombre.

VIII. Le quotient de deux nombres divisibles exactement par un troisième ne change pas quand on les divise l'un et Vautre par ce troisième, le reste seul est divisé par ce même nombre.

§ V. ^ Puissances.

64. Définitions. — Lorsque tous les facteurs d'un produit sont éganxy ce produit est une puissance du nombre qui représente chacun de ces facteurs. Le nombre des facteurs égaux exprime le degré de la puissance et il en est aussi Y exposant .

Par définition, la première puissance d'un nombre est ce nombre lui-môme.

On.donne le nom particulier de carré à la deuxième puissance d'un nombre, et celui de cube à la troisième.

Une puissance quelconque m^ du nombre a se représente par rexpression a*".

Former une puissance quelconque d'un nombre c'est élever ce nombre à cette puissance.

65. Propositions relatives aux puissances. — On ramène les opérations sur les puissances d'un même nombre à d'autres plus simples sur les exposants, en s'appuyant sur les propositions suivantes:

I. Pour faire le produit de plusieurs puissances quelconques d'un même nombre 9 on élève ce nombre à une puissance ayant pour exposant la somme des exposants des facteurs.

II. Pour faire le quotient exact de deux puissances quelconques d'un même nombre^ on élève ce nombre à une puissance ayant pour exposant V excès de V exposant du dividende sur celui du diviseur.

III. Pour élever une puissance d'un nombre à une puissance quelconque^ on élève ce nombre à une puissance ayant pour exposant le produit des deux exposants, . .

IV. Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconque^ on élève chaque facteur à cette puissance.

Ainsi, un produit et un quotient de puissances d'un même nombre se ramènent respectivement à une somme et à une différence d'exposants, et une puissance de puissance revient à un produit d'exposants.

66. L'addition, la multiplication et l'élévation aux puissances sont trois opérations de même ordre, ascendantes, et de trois degrés différents ; les opérations inverses, la soustraction, la division, et le retour d'une puissance au nombre initial, dont il sera parlé plus loin (1^3), sont aussi de même ordre, mais descendantes, et aussi de trois degrés différents. Il résulte de ce fait et de ce qui précède que les opérations des deux degrés

f supériears sur les puissances se ramènent à celles de même ordre d'un degré inférieur sur les exposiants.

^ VI. — ÉgaUtéset Inégalités.

67. Définitions. — Pour exprimer en langage mathématique ou simplifié qu'un nombre, ou que le résultat d'une ou de plusieurs opérations indiquées sur des nombres, est égal à un autre nombre, ou à un résultat d'opérations sur d'autres nombres, on se sert du signe =, qui se prononce égale et qui se place entre les deux expressions reconnues égales ou données comme devant l'être. L'ensemble des deux expressions et ■du signe forme une égalité ; la première expression est le premier membre de cette égalité, et la seconde, le second membre.

Si Ton veut exprimer qu'un nombre, ou qu'un résultat d'opérations indiquées sur des nombres, est différent d'un autre nombre, ou d'un résultat d'opérations portant sur d'autres nombres, on se sert de l'un des signes >, qui se lit plus grand que^ ou < , qui se lit plus petit que^ et que Ton place entre les deux expressions différentes, de manière que la plus grande soit du côté de l'ouverture du signe et la plus petite du côté du sommet. L'ensemble des deux expressions et du signe forme une inégalité^ dont la première expression est le premier membre et la seconde le second membre.

68. PropiiétéB principales des égalités. — 1. On peut^ sans troubler une égalité :

1® ajouter ou retrancher le même nombre à ses deux membres ; 2» multiplier ou diviser ses deux membres par un même nombre ; 3<* élever ses deux membres à une même puissance, \ II. Si deux égalités ont un membre commun, il y a égalité

»' entre les deux autres membres.

III, Étant données plusieurs égalités, en les combinant membre à membre ]7ar voie d'addition^ de soustraction^ de multiplication ou de divisionyOn obtient de nouvelles égalités.

69. Propriétés principales des inégalités. — I*. On peut^ sa fi s troubler le sens (f une inégalité :

1" ajouter ouretrancher le même nombre à ses deux membres ;

2° multiplier ou diviser ses deux membres par un même nombre ;

3* élever ses deux membres à une même puissance,

II. Étant données plusieurs inégalités de même sens, en les additionnant ou en les multipliant membre à membre^ on oblient une nouvelle inégalité de même sens que les proposées.

La soustraction membre à membre de deux inégalités de même sens n'entraîne pas la connaissance a prioj^i de la manière d*étre, Tun par rapport à l'autre, des deux résultats. Il en est de même pour la division.