II. Un nombre ne change pa^ en lui ajoutant le nombre zéro

^ II. — Soustraction.

44. Définition. — La soustraction est une opération qui a pour objety étant donnés deux nombres, de retrancher du plus grand le plus petit et de trouver ce qui reste du premier. Le résultat, qui représente aussi l'excès du premier sur le second

, ou la différence des deux nombres proposés, s'appelle, pour toutes ces raisons^ reste^ excès ou différence. Les deux nombres sont dits les deux termes de la différence.

Cette définition fait ressortir : i° que la soustraction n'est possible que si le nombre à retrancher est plus petit que» l'autre; 2° qu'elle est l'opération inverse de Taddition.

On tire de ce dernier fait cette autre manière de définir la soustraction : une opération ayant pour objet y étant donnés deux nombres j d'en trouver un troisième qui, ajouté au plus petit. des deux autres, reproduise le plus grand,

45. Théorie. — Pour effectuer la soustraction, on pourrait du plus grand nombre retrancher successivement. toutes les unités de Tautre; mais ce moyen long et fastidieux ne serait

pas pratique. Gomme pour Taddition, et pour les mêmes raisons, on procède par groupes de même espèce, c'est-à-dire qu'on retranche les unes après les autres les unités de chaque ordre du plus petit nombr.e des unités correspondantes de lautre.

Mais il peut arriver que cette soustraction de nombres d'un seul chiffre ne soit pas toujours possible, un ou plusieurs chiffres du plus grand nombre pouvant être moindres que leurs correspondants du plus petit nombre. On tourne alors la difficulté par Tune des trois méthodes dites des emprunts^ des compléments ou des compensations ; mais, en général, on a recours à cette dernière, qui consiste à ajouter à chaque chiffre trop petit du plus grand nombre dix unités de même ordre, sauf à augmenter l'autre nombre d'une unité de Tordre immédiatement supérieur. Cette double opération n'altère pas le résultat cherché, parce qu'on sait, pour l'avoir démontré prénlablementy que la différence de, deux nombres ne change pas lorsqu'on fflit subir à ces nombres lamême augmentation.

De tout ce qui précède, il résulte que la soustraction de deux nombres quelconques se ramène finalement à celle de deux nombres tels que le plus petit n'a qu'un chiffre et que le plus grand n'excède pas le premier de dix unités. La pratique de cette dernière et très simple opération s'apprend très rapidement par l'usage.

On est ainsi conduit aux deux cas suivants pour la recherche et la démonstration de la règle générale :

1* Soustraction d'un nombre d'un seul chiffre d'un autre qui ne le surpasse pas de dix unités ; 2* Soustraction de deux nombres quelconques. Cette. rép/tf est la suivante :

On écrit les deux nombres à soustraire^ le plus petit sous le plus grandy de manière que les unités de même ordre se corresjdondent verticalement j puis on tire au-dessous un trait horizontal. Cornmençant ensuite par la droite, on retranche les unités simples du nombre inférieur des unités correspondantes du nombre supérieur et Von écrit le résultat immédiatement au-dessous et sous le trait,

DAlfZAT. — «tTBODOL. 3

On opère de même pour toutes les autres unités des deux nombres , Lorsqu'une de ces soustractions partielles est impossible^ on ajoute iO au chiffre trop faible du plus grand nombre et ^ au chiffre suivant du plus petit nombre. L'ensemble des chiffres écrits sou^ le trait forme le nombre qui représente le reste cherché, La différence de deux nombres égaux est égale à zéro.

46. L'opération pourrait être lout aussi bien commencée par la gauche que par la droite, mais on aurait alors à modifier souvent les restes déjà écrits, à cause des additions d'unités à faire au petit nombre : c^est ce qui rend préférable la premièi e manière de procéder.

Toutefois, il est utile que les élèves soient exercés à effectuer quelques soustractions en commençant par la gauche ; c'est un excellent moyen pour mettre en évidence les avantages d'un procédé sur l'autre et pour justifier l'emploi exclusif du premier.

47. La soustraction s'indique au moyen du signe — qui se prononce moins et qui se place entre les deux nombres sur lesquels on veut opérer, le plus petit étant à la droite du signe et le plus grand à la gauche.

48. Preuve. — D'après la définition de la soustraction, le plus grand des deux nombres sur lesquels on opère est la somme du plus petit et du reste ; il en résulte deux manières de faire la preuve de la soustraction :

!• ajouter le plus petit nombre au reste pour retrouver le plus grand ;

2° retrancher le reste du plus grand nombre pour retrouver le plus petit.

49. Propositions relatives à la soastractioD . — I. Pour ajouter à un nombre la différence de deux autres nombres, il suffit d'ajouter au premier le plus grand des deux autres et de retrancher le plus petit de la somme obtenue.

II. Pour retrancher d'un nombre la somme de plusieurs autres nombres^ il suffit de retrancher du premier chacun des autres successivement.

III. Pour retrancher d'un nombre la différence de deux autres nombres^ il suffit d'ajouter au premier le plus petit des deux autres et de retrancher le plus grand de la somme obtenue.

IV. Un nombre ne change pas en en retranchant le nombre zéro,

§ lU. — MalUpUcaUon.

50. Définition. — La multiplication est une opération qui a pour objet de répéter un nombre donné autant de fois qu'il y a d'unités dans un second nombre aussi donné et de trouver le résultat de cette répétition. Le premier nombre s'appelle mulii-» plicande^ le second multiplicateur, et le nombre cherché produit. Le multiplicande et le multiplicateur sont encore dits les deux facteurs du produit.

51. Théorie. — Cette définition montre que la multiplication n'est qu'un cas particulier de TaddHion, celui où tous les nombres à ajouter sont égaux. Il en résulte que l'opération pourrait se faire par une addition ; mais comme elle devien-

* drait, par ce moyen, souvent impraticable et toujours beaucoup trop longue chaque fois que le multiplicateur serait représenté par un grand nombre, on a recours à une règle 'spéciale qui permet d'arriver très rapidement au résultat.

Pour montrer comment on établit cette règle, supposons qu'il s'agisse de multiplier un nombre N par le nombre 4375. Par définition, la question consiste à répéter 4375 fois le nombre N, ce qui revient à répéter ce nombre 4000 fois^ plus 300 fois, plus 70 fois, plus 5 fois, ou 4 fois i 000 fois, plus 3 fois 100 fois, plus 7 fois 10 fois, plus 5 fois.

Ce problème, à son tour, se réduit à savoir répéter un nombre quelconque 10, 100, 1000,.. . fois, et à savoir le répéter un nombre de fois inférieur k 10.

Or répéter un nombre 10, 100, 1000,... fois, c'est former un autre nombre 10, 100, 1000,... fois plus grand que le premier, et l'on sait obtenir ce résultat (34).

Quant à répéter un nombre quelconque un nombre de fois

inférieur à 10, c'est, d'après la théorie de Taddition, répéter ce nombre de fois toutes ses parties, qui sont ici ses unités simples^ ses dizaines, ses centaines, ses mille, etc., respectivement représentées par un nombre d'un seul chiffre. De sorte qu'en dernière analyse Topéralion consiste à former le produit de deux nombres d'un seul chiffre, ce qui se fait en consultant la table de multiplication, que Ton apprend d'ailleurs de mémoire pour opérer avec rapidité.

En remontant ensuite de proche en proche, de cette opération très élémentaire jusqu'à la multiplication de deux nombres quelconques, on résout facilement cette triple question : multiplier un nombre quelconque d'abord par un nombre d'un seul chiffre, puis par un nombre formé d'un chiffre significatif suivi de zéros, enfin par un autre nombre quelconque. ■

De là les quatre cas à considérer successivement : ■ l** Multiplication de deux nombres d'un seul chiffre ;

2° Multiplication d'un nombre quelconque par un nombre d'un seul chiffre ;

S*' Multiplication d'un nombre quelconque par un nombre formé d'un seul chiffre significatif suivi de zéros ;

4° Multiplication de deux nombres quelconques.

La règle générale à laquelle on est conduit est la suivante :

On écnt le multiplicateur sous le viultiplicande, ordinairement' de manière que les unités de même ordre se correspondent verticalement^ puis on tire au-dessous un premier trait horizontal. Commençant ensuite par la droite, on multiplie le multiplicande successivement par chacun des chiffres du multiplicateur et Von écrit les produits partiels ainsi obtenus les uns sous les autres au-dessous du trait, de manière que le premier chiffre de chacun d'eux se trouve correspondre verticalement avec le chiffre générateur du multiplicateur. On tire un second trait au-dessous de tous ces produits partiels et on les additionne, La somme obtenue donne le produit cherché.

52. Il est à remarquer : i^> qu'on pourrait opérer sur le multiplicande en commençant par la gauche, et que si ce moyen n'est pas employé, c'est pour les mêmes raisons que

celles qui ont été données à l'addition ; 2^ qu'on pourrait former les divers produits partiels en suivant tel ordre que l*on voudrait daus les chiffres du multiplicateur, sauf à mettre exactement à sa place^ dans le sens vertical, le premier chiffre à droite de chacun de ces produits partiels.

Une autre particularité importante à faire ressortir, c'est qu'au point de vue pratique le multiplicande et le produit sont de même nature, généralement concrets, et que le multiplicateur est toujours un nombre abstrait. Faute de connaître ce fait ou d'en tenir compte, beaucoup d'élèves commettent des erreurs tout au moins d'indication, lorsqu'elles ne sont pas plus graves.

53. Il ressort de la manière d'être de la multiplication que le multiplicateur est un nombre plus grand que l'unité. Dans le cas d'un multiplicateur égal à l'unité, on continue de dire qu il y a multiplication et le produit est égal au multiplicande; dans le cas d'un multiplicateur égal à zéro, on convient encore qu'il y a multiplication et le produit est zéro.

54. Un produit de plusieurs fadeurs est le nombre que l'on obtient en multipliant le premier facteur par le deuxième, puis le résultat par le troisième, et ainsi de suite jusqu'au dernier facteur.

55. La multiplication s'indique au moyen du signe Xi qui se prononce multiplié par et qui se place entre les différents facteurs du produit à effectuer.

56. Propriétés de la muHlplicatlon. — La multiplication a pour propriétés principales d'être :

!• commufo/ice, c'est-à-dire qu'un produit est indépendant de l'ordre de ses facteurs ;

2* distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire que la multiplication d'une somme par un nombre quelconque peut

I faire en multipliant les différentes parties de cette somme

ïT ce nombre pour en additionner ensuite tous les résultats.

57. Preuve. — La .première de ces propriétés fournit un loyen pour faire la preuve de la multiplication, et l'on applique

en réalité la seconde pour établir la règle générale de Topération.