PP

(3) S = cP,

(4) Si = rfP,.

En multipliant membre à membre les deux dernières équations de ce nouveau système, il vient

SS, = crfPP,, ou, en remplaçant PPi par sa valeur 6,

(5) SS| = bcd.

Le rapprochement de (i) et de (5) montre que la somme et

le produit des deux inconnues auxiliaires S et Si sont connus ; dès lors ces inconnues sont les racines de Téquation du second degré (6) U* — aU -4- bcd = 0.

Pour que ces racines soient réelles, il faut que Ton ait

a« — ibcd > 0.

Si la première de ces conditions est remplie » on a

a±^a^ — \bcd L=

En prenant pour valeur de S la plus grande racine, on a

a -+- v'a* — ^bcd

S = jr-hi/ =

Si = 2 -h y =

a — v^a* — 46crf

et de (3) et (4) on tire

^ a -f- v^a* — Abcd P = xy =: >

a — v'a* — Abcd P.=^v = 2rf

La question est ainsi ramenée au calcul des deux couple» de nombres x et y^ z et v, dans chacun desquels on connaît la somme et le produit des deux nombres qui les forment. Il nous paraît inutile de faire ce calcul dont nous avons donné ' de nombreux exemples en dehors de celui qui se trouve dan& ce même problème.

Si Ton avait pris pour valeur de S la plus petite racine de Téquation (6), on aurait obtenu une autre série de nombres, par conséquent une seconde solution.

Le problème peut donc admettre dans ce cas deux solutions.

Si l'on a a" — Abcd = 0, le problème n'admet qu'une solution.

§ VI. — Problèmes sur les maxima et les minima.

226. Oéfloitions. — Toute quantité susceptible de preadre différentes valeurs s'appelle une variable. Si ces valeurs peuvent être quelconques, la variable est dite indépendante ; dans le cas contraire, c'est-à-dire si ces valeurs dépendent de celles d'une ou de plusieurs autres variables, elle est dite dépendan te.

Cette dépendance d'une variable par rapport à d'autres s'exprime aussi en disant que la première est une fonction des autres. C'est ainsi que le trinôme du second degré, aar* 4- ^a: -+- c, est une fonction de la variable x.

Pour représenter une fonction d'une seule variable x, on se sert généralement de la lettre y ou du symbole f[x), et l'on écrit, en prenant comme exemple le trinôme précédent,

y = ax^ -h bx -+- c ou f{x) = ax^ -h 6x -H f.

Lorsqu'on fait varier d'une manière continue la variable indépendante d'une fonction, celle-ci varie aussi, et ses variations peuvent être de même sens que celles de la variable indépendante, ou de sens contraire. Quand la fonction va en augmentant, elle est dite croissante; dans le cas contraire, elle est dite décroissante.

11 arrive parfois qu'une fonction, après avoir varié dans un sens, varie dans le sens contraire, c'est-à-dire qu'elle cesse de croître pour décroître, ou de décroître pour croître. On exprime le fait en disant qu'elle passe, dans le premier cas, par un maximum et dans le second, par un minimum. Gomme exemple, rappelons que le trinôme du second degré en x^ lorsqu'on fait varier x d'une manière continue de — oo à + 00 , passe par un minimum ou un maximum suivant que le coefficient a du terme du second degré est positif ou négatif.

Un maximum (ou un minimum), dans les variations d'une fonction, n'est pas nécessairement la plus grande (ou la plus

petite) des valeurs que puisse prendre cette fonction ; il re» présente une valeur plus grande (ou plus petite) que toutes les valeurs voisines.

Si cette valeur maxima (ou minima) est plus grande (ou plus petite) que toutes les valeurs possibles de la fonction, on a un maximum (ou un minimum) absolu ; dans le cas où cette condition n'est pas remplie, le maximum (ou le minimum) est relatif.

On dit qu'une fonction est continue dans Tintervalle de deux de ses valeurs lorsque pour passer de Tune à l'autre elle prend successivement toutes les valeurs qu'elles comprennent entre elles. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit continue est que la variation de cette fonction qui correspond à un accroissement sufUsamment petit de la variable indépendante soit plus petite en valeur absolue que tout nombre positif donné, quelque petit qu'il soit. On a démontré (92) en s'appuyant sur cette proposition que le trinôme du second degré est une fonction continue quel que soit l'intervalle de deux de ses valeurs que Ton considère.

Ces préli minairës posés, nous allons examiner comment on détermine, dans certaines questions, le maximum et le minimum des fonctions auxquelles ces questions conduisent. Plusieurs méthodes sont employées pour cela.

227. Méthode directe. — La méthode la plus naturelle pour déterminer le maximum ou le minimum d'une fonction, et qu'on appelle pour cela méthode directe^ consiste dans l'étude des variations de celte fonction, quand on fait passer la variable indépendante successivement par toutes les valeurs qu'elle est susceptible de prendre depuis la plus petite jusqu'à la plus grande .

C'est par cette méthode qu'on a étudié (92 et 104) les variations du trinôme du second degré et du trinôme bicarré.

Appliquons-la encore aux questions suivantes :