Etudier les variations d'un produit de deux facteurs

dont la somme est constante^ pour en déterminer le maximum ou le minimum.

Soient a la somme constante des deux facteurs et x l'un de ces facteurs ; Tautre sera a — x et leur produit, que nous représenterons par y, aura pour expression

y = x(a — or), ou y = — ar' -H ax.

La fonction à étudier est ici un trinôme du second degré dont le terme constant est nul et dont le coefficient de x* est négatif.

On sait (92) que ce trinôme, en y faisant croître x de — x

à + 00 , varie d*une manière continue en croissant d'abord

de —00 k — et en décroissant ensuite de -— à — «.

Il passe donc par un maximum -p pour la valeur -r-

de X, L'autre facteur a — x du produit étudié est alors aussi

égal à y.

La conclusion au point de vue du maximum ou du minimum de la fonction considérée est que : le produit de deux facteurs variables dont la somme est constante passe par un maximum lorsque ces deux facteurs sont égaux.

229. II. Etudier les vanations d'une somme de deux facteurs dont le produit est constant, pour en déterminer le maximum ou le minimum .

Soient m le produit constant de deux facteurs et x l'un de ces facteurs ; l'autre sera — et leur somme, que nous repré-

senterons par y, aura pour expression

y = arn

Dans Tétude de cette fonction, qui est continue pour toutes les valeurs de x, deux cas se présentent, suivant que m est négatif ou positif.

i^ m est négatif» Si Ton remplace dans la fonction le nombre m

arle nombre positif qui a même valeur absolue, m' re'présen-

int ce nombre, on a

t sous cette forme il est facile de remarquer que pour deux aleurs quelconques égales mais de signes contraires, a et — a lar exemple, attribuées k x, y prend deux valeurs égales et de ignés contraires. On a bien, en effet,

De sorte que Pétude des variations de la fonction considérée l^ut être réduite à Tintervalle correspondant aux valeurs 0 Bt + 00 de ar.

Dans cet intervalle, on trouve que si Ton fait croître x de 0

à + 00 , chacune des deux parties dont se compose la fonc-

m' Bon y =1 X va en croissant, la première de 0 à -h oo

et la seconde de — oo à 0; par conséquent la fonction croit dans cet intervalle de — oo à -h x . Et d'après ce qui précède, on peut dire que si Ton fait croître ar de — oo à 0, la fonction croît aussi de — oo à -+- x .

En somme, lorsque x croît de — x - à 0, la fonction croit de — X à H- 00 ; lorsque x croît d'une quantité infiniment petite, la fonction passe brusquement de -i-x à — X ; enfin, lorsque x continue de croître jusqu'à -h x , la fonction croît de — x à -h x . La fonction croît sans cesse et ne décroît pas : elle n'a donc ni maximum ni minimum. Elle passe deux fois par toutes les valeurs comprises entre — x et -h x . Si Ton veut avoir les valeurs de x pour lesquelles la fonction s*annule deux fois, il sufiit d'égaler la fonction à zéro et de résoudre l'équation qui en résulte :. ^

fil

■On en tire

En représentant par une courbe les variations de la fonction,

DAUIAT. — MiTHODOL. 38

on obtient la figure 14, dans laquelle les branches de courba

infinies AB et Â'V sont telles par rap« port à Taxe des y qui la distance de lenn points à cet axe di minue et tend veif zéro quand ces poinb s^éloignent indéfini ment sur ces brao' ches de courbe. Oi dit qu*une branche de courbe et niM droite qui satisfont 1 cette condition sool asymptotes Tune ) Tautre.

En remarquant, d*autre part, que, x croissant indéfimmeni

dans la fonction y = x > y et a: tendent à prendre del

valeurs égales, on déduit que la bissectrice DD' de Tanglc YOXet de son opposé par le sommet est asymptote aux branchea de courbe AC et A'C, car si la différence des ordonnées dea points correspondants sur la courbe et sur la droite tend vers zéro, la distance des points de la courbe à la droite tend néces^ sairement aussi vers zéro. Cette courbe est une hyperbole (y oit Géométrie).

. Il résulte de tout ce qui précède que la somme de deux facteurs variables dont le produit est constant n'a ni maximum ni minimum^ lorsque ce produit est négjatif, 2® m est positif. Lorsque x croit de — oo à -+- oo , les

FIg. 14.

deux parties de la fonction

varient en sons inverse ; la première croît en effet de — 00 à H- to tandis que la seconde décroît de 0 à — « , puis de +« à 0. Oh n^aperçoit donc pas immédiatement la nature des variations de la fonction. Mais si Ton élève

m au carré la somme j* +. — pour écrire que le résultat

se

( X H ] est identiquement égal au carré de la différence

tn T augmenté du quadruple produit des deux termes

X et — ou 4m, on aura

et sons cette forme Tétude des variations de la fonction devient facile.

Tout d*abord si Ton considère comme précédemment que la

fonction y = x -^

prend deux valeurs égales et de signes contraires pour deux valeurs quelconques égales et de signes contraires, a et — « par exemple, attribuées à x, il s^ensuit que Tétude des variations de la fonction, sous sa nouvelle forme, peut se limiter à rintervalle correspondant aux valeurs 0 et + oo de x. Remarquons, d'autre part, que pour toute valeur de x dif-

X j 4- 4m placée sous

le radical, est supérieure à 4m, mais que pour x = ^m elle prend sa valeur minima 4m. Cela dit, si Ton fait croître x de

Oà ^m puis de /ni à 4-00, la quantité x croit

de — 00 à 0 puis de 0 à 4-00 et son carré (x J

4écrott de +00 à 0 pour croître ensuite de 0 à 00 . Quant

à la fonction y=Y (ar j -f-4m, qui varie toujours dans

le même sens que Ix — — ) î si Ton y fait croître x de 0 à

/m^ puis de ^ à 4-00, elle décroît de h-» à 2\/m pour croître ensuite de i^ à -f-00. Elle passe donc par un minimum 2Vm pour x = v^ . A ce moment, Tautre fac-

teur — est aussi égal à v^m.

ÀLfiÈBBf: PRATIQUB

On peut 4ii*e en outre, d'après les eoDsidérations du graphe précédent^ que »i Ton fait croître x de —

— ylm* puis de — >/ni à 0, la fonction y crott de —

— 2v^ pour décroître ensuite de , — tJm à. — «>. passe donc par un maximum — 2v^ pour x = -

Elle m.*

L'àutve facteur — e«t alors aussi égal à — y/m.

Enfin, lorsque x passe par zéro, la fonction passe brusque* ment de — op à +00.

Si Ton représente graphiquement les variations de la fonction, on obtient la courbe (^9. 45) qui présente un maximum

Fig. 15.

en. À', un minimum en A, et dans laquelle lés branches infinies AB et A'B' sont asymptotes à l'axe des y. ' En remarquant, d'autre part, que, x croissant indéfiniment

dans la fonction y = x -\ » y et x- tendent à prendre des

RÉSOLUTION DE QUJESTIONS 397 •

valeurs égales, on déduit que la bissectrice Diy de l'angle/

YOX et de son opposé par le sommet est asymptote aux.

branches de courbe infinies AC et MG. Cette courbe e^t encore

uoe hyperbole.

Il résulte de tout ce qui précède que la somme de deux facteurs variables dont le produit est constant et positif passe : 1** par un maximunij lorsque les deux facteurs sont égaux et négatifs] 2** par un minimum, lorsque les deux facteurs sont égaux et positifs.