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c'est-à-dire que les deux côtés CA/ et F'D' seront aussi parallèles, par suite que le point I aura aussi sa projection à Tinfini, et comme dernière conséquence que ce point I sera sur la droite GH.

§ IX. — Méthode des polaires réciproques.

196. Pour démontrer un théorème par cette méthode déjà connue (lôS)» on construit la figure réciproque da celle qui traduit graphiquement Ténoncé du théorème, et si dans cette nouvelle figure la propriété correspondante de celle que Ton veut établir est démontrée ou peut Tôtre plus facilement que la proposée, on en déduit cette dernière.

197. I. Sijieux triangles ont leurs côtés qui se coupent deux à deux en trois points situés en ligne droite ^ leurs sommets sont situés deux à deux sur trois droites qui concourent, en un même point.

Ce théorème est la réciproque du précédent. La démonstration pourrait en être faite par la même méthode. En la donnant par la méthode des polaires réciproques, nous aurons un nouvel exemple des ressources multiples de la Géométrie moderne.

Reprenons la figure précédente et imaginons que l'on en construise, par rapport à un cercle quelconque, la figure réci-

MÉTHODES DE DÉMOI^STRATiON DES THÉORÈMES 875

proqne : les droites seroDt remplacées par leurs pôles et les intersections par leurs polaires.

Soit P la polaire du point 0. Soient, d'autre part, A', B', C, D', E', F, K les pôles respectifs des droites BC, AC, AB, EF, DF, DE, IH. Il s'ensuivra que les triangles ABC et DEF auront pour figures réciproques les triangles X'B'G et D'E'F, dans lesquels B'C, A'C, A'B', E'F', D'F', D'E' seront les polaires respectives des sommets A, B, C, D, E, F.

Démontrons d'abord que les deux triangles A'B'C et D'E'F' ont leurs côtés qui se coupent deux à deux en trois points situés en ligne droite.

A cet efi'el, considérons les trois points A, D, 0 qui sont en ligne droite : les polaires VC et E'F des deux premiers se coupent donc en un point de la polaire F du troisième (162, H) ; les trois points B, E, 0 sont aussi en ligne droite : les polaires A'C et D'F' de B et de E se coupeùt aussi en un point de la polaire P de 0 ; il en est de même des polaires A'B' et D'E' des points C et F qui sont avec 0 sur une même droite. Donc les côtés des deux triangles MB'C et D'ET' se coupent deux à deux en trois points situés sur une même droite qui est la polaire P du point 0.

Il s'agit maintenant de prouver que ces deux mêmes triangles ont leurs sommets situés deux à deux sur trois droites qui concourent en un même point.

Pour cela, remarquons que les trois droites AB, DË^ IH se coupent en un même point G : il s'ensuit que leurs pôles C\ F\ K sont en ligne droite. Sont aussi en ligne droite, pour la même raison, les pôles A', D', K des trois droites BC, EF, IH, qui concourent au point H ; de même les pôles B', E', K des trois droites AC, DF, III qui passent par le point I.

Les trois droites C'F', A'D', B'E\ ayant un point commun, le point K^ concourent donc en iin même point.

Rkmarque. — Le théorème que nous venons de démontrer est un exemple de transformation, par la méthode employée , des propriétés descriptives des figures.

GÉOMÉTaiB ÉLÉMENTAIRE PRATIQUE

198. II. Si d'un point pris dans le plan d'un irianffle on mène une droite à chacun des sommets de ce triangle et que par ce même point on élève une perpendiculaire û chacune de ces droites^ jusqu'à la rencontre du côté opposé du triangle, les trois points de rencontre ainsi obtenus sont en ligne droite.

Soient {fig. 24) le triangle ABC, le point 0 pris dans son plan, les droites OA, OB, OG menées de ce point auk trois sommets du triangle et les trois perpendiculaires OD, OE, OF élevées par ce même point 0 à ces trois droites. Il s'agit de démontrer que les trois points de rencontre D, E, F de ces perpendicnlaires avec les côtés opposés dn triangle sont en ligne droite. *'^^- *** Imaginons qae Ton construise la

figure réciproque de cette figure, en prenant le point 0 pour centre du cercle directeur, et soient A', B', G les pôles respectifs des côtés BC, AC» CA du triangle donné ; dans le triangle A'B'C ainsi formé, les côtés B'C, C'A', A'B' seront les polaires respectives des sommets A, B, G.

Cela posé, considérons le point D, situé sur la droite BC ; sa polaire est une droite A'G' qui passe par le pôle A' de BC et dont il est possible de déterminer la direction. A cet effet, rappelons que la droite qui joint le centre du cercle directeur au pôle d'une droite est perpendiculaire à cette droite, et remarquons que les deux droites OA et OD, respectivement perpendiculaires aux droites B'C' et A'G', sont perpendiculaires Tune à l'autre ; il s'ensuit que B'C' et A'G' sont perpendiculaires entre elles et que A'G' qui passe, dans le triangle A'B'C', par le sommet A' opposé à B'C', est une des hauteurs de ce triangle.

On démontrerait de la même manière que les points Ë et F ont pour polaires respectives les deux autres hauteurs B'H' et G'K' du même triangle.

Or les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point : donc leurs trois pôles D, E, F sont en ligne droite.

Remarqub. — Ce deuxième théorème est un exemple de transformation des propriétés métriques angulaires des figures.

199. III. Dans un cercle^ le rapport anharmonique des quatre points d'interseetion de quatre tangentes par une cinquième quelconque est constant (^).

Soient {fig. 25) un cercle 0 et quatre droi* tes AA', BB', CC\ I>D' qui lui sont tangentes respectivement en A,B, C, D et qui coupent une cinquième tangente quelconque ËF aux points A', B', a, D'. Il s'agit de démontrer que le rapport anharmonique (A'B'O'iy) est constant.

Pour cela, considérons, par rapport au même cercle, la figure réciproque de la précédente. Les tangentes AA', BB', ce, DD' et EF auront pour pôles respectifs leurs points de contact A, B, C, D, M, et les points A', B', C, D' auront pour polaires les cordes de contact MA, MB, MC, MD. Or le rapport anharmonique (A'B'C'D') est égal à cehii du faisceau (M.ABCD) (151, II), car les angles A'OB', A'OC,. . . sont respectivement égaux aux angles AMB, AMC,. . ., et comme ce dernier rapport anharmonique est constant (151, II), son égal (A'B'CD') est aussi constant.

Remarque. — Nous avons dans ce dernier théorème un exemple de transformation des propriétés métriques segmentaires des figures.

Fijç. «5.

C) Théorème précédemment énoncé (151,11).

§ Z. — Méthode des figures inverses.

200. Nous avons fait connaître précédemment (166) Tobjet . et les applications de la méthode des figures inverses. La démonstration d'un théorème par cette méthode se fait d'ordinaire en construisant, par le choix convenable d'une origine, la figure inverse de celle qui se rapporte à renoncé du théorème, de manière à obtenir une construction plus simple que la première et dans laquelle la propriété correspondante de celle à établir soit connue ou facile à démontrer.

201. I. Dans un triangle curviligne formé par trois arcs de cercle qui ont un point commun en dehors du périmètre du triangle j la somme des trois angles intérieurs est égale à deux angles droits.

Si, prenant pour origine le point commun aux trois cercles, on construit les inverses de ces cercles, les trois droites ainsi obtenues se coupent en trois points qui sont les inverses des sommets du triangle curviligne, et déterminent dès lors un triangle rectiligne. Or, dans une pareille figure, la somme des trois angles intérieurs est égale à deux angles droits, et comme Tinversion conserve les angles, la somme des trois angles intérieurs du triangle curviligne est aussi égale à deux angles droits.

Remarque. — On trouve dans la démonstration de ce théorème un exemple de la transformation d'une propriété de figure rectiligne en une propriété de figure curviligne.

Par la même méthode et en procédant d*une manière identique on pourrait obtenir d'autres propriétés des figures curvilignes en transformant les propositions suivantes relatives aux figures rectilignes :

i» Le lieu des points de contact de deux circonférences tangentes entre elles et aux deux côtés d'un angle est la bissectrice de cet angle ;

2° Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en nn même point ;

3<* Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point;

40 La somme des angles intérieurs d'un polygone est égale à autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins denx.

202. n. Dans tout quadrilatère inscriptibfe^ le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés (Théorème de Ptolémée) (*) . .

Soit ifig, 26) le quadrilatère ABCD inscrit dans le cercle 0. Il s*agit de démontrer que Ton a

ACxBD =:BCXAD

-t- AB X CD.

Pour cela, construisons la flgure inverse du cercle en prenant pour origine un des sommets du quadrilatère, le point A par exemple; on obtiendra une droite qui contiendra les inverses B', G et D' des trois autres sommets B, G et D ; et si le point A dans ce quadrilatère a pour sommet opposé le point C, l'inverse C de ce dernier se trouvera entre B' et D'. On pourra donc écrire