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M,P " AA' ' C'est bien ce qu'il fallait démontrer.

191. m. Dans un hexagone convexe ou non convexe inscrit dans une ellipsey les trois points de rencontre des trois couples de côtés opposés sont en ligne droite (*) .

Il ressort, en particulier du théorème précédent^ qu'une ellipse peut toujours être considérée comme la projection d'un cercle sur un plan oblique au sien : il s'ensuit qu'un hexagone inscrit dans l'ellipse pourra toujours être aussi considéré comme la projection d'un hexagone inscrit dans le cercle et que les trois points de rencontre des trois couples de côtés opposés de l'hexagone de l'ellipse seront les projections des trois points de rencontre des trois couples de côtés opposés de l'hexagone du cercle. Mais comme ces trois derr niers points sont eo ligne droite (149, 1), il en sera de même des trois autres.

I*) Théorème précédemment indiqua (156, IV).

GÉOMÉTRIE Elémentaire pratique

§ VIII. — Méthode des profectloiis C9]ii<{iiee.

192. Nous ne reviendroos pas sur l'objet de cette méthode, dont Teuposé a déjà été fait (157, 158) ; nous passerons immédiatement aux applications.

193. I- La projection conique ou perspective d'un cercle^ lorsque le point de vue est situé sur son axe et que le tableau n'est pas parallèle à son plan, est une ellipse^ une hyperbole ou une parabole.

L'ensemble des rayons projetants du cercle forme la surface latérale d'un cône de révolution. U s'ensuit que la perspective du cercle sur un plan devient une section plane faite dans le cône de révolution; et comme cette section est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que le plan sécant fait avec Taxe du cône un angle supérieur, inférieur ou égal au demi-an^le au sommet du cône, il en est de môme de la perspective du cercle.

194. II. Dans un angle solide convexe à quatre forces quelcofi^ues^ on peut toujours déterminer la direction d'un plan parallèlement auquel toute section est un parallélogramme.

Soit {fig, 22) un angle solide SABCD, convexe et à quatre

faces. Déterminons -y, par un plan quelconque qui rencontre les quatre arêtes, un quadrilatère EFGH dont nous prolongerons les côtés opposés jusqu'à leur rencontre en I et en J.

Considérons ensuite le plan déterminé par les deux droites SI et SJ :

Fig- 22. ce plan laisse tout entier

d'un seul côté Tangle solide. En effet, le plan de la face SA6,

par exemple, laisse lui-m'ème cet angle solide tout entier d'un seul c6té ; or il contient le point J situé sur une de ses droites EF, et comme le point I est situé en dehors de ce plan, du côté opposé à Tangle solide, la droite IJ est tout entière en dehors de Tangle solide ; il en est de même du plan SU.

Il suit de là que tout plan mené parallèlement à SU par un point quelconque d'une des arêtes de l'angle solide rencontrera toutes les arêtes et y déterminera un quadrilatère convexe E'F'G'H'. Ce quadrilatère sera la perspective sur le plan sécant du quadrilatère EFGH, S étant le point de vue ; et comme dans cette projection la droite IJ, parallèle au tableau, sera rejetée à Tinfini, et avec elle les points I et J, les côtés opposés du quadrilatère E'F'G'H' seront parallèles : la figure sera donc un parallélogramme.

195. III. Si detix triangles ont leurs sommets situés deux à deux sur trois droites qui concourent en un mêm£ points leurs côtés se coupent deux à deux en trois points situés en ligne droite. Soient {fig. 23) deux triangles ABC et DEF dont les sommets A et D^ B et E, C et F sont respectivement situés sur les . trois droites AO, BO et CO qui concourent au même point 0. Il s'agit de démontrer que leurs côtés AB et DE, BC et EF, CA et FD se rencontrent en trois points G, H, I qui sont en ligne droite.

Pour cela, projetons coniquement la figure sur un plan choisi de manière que la droite qui joint deux des points, G et H, par exemple, soit rejetée à Tinfini ; il s'ensuivra que les perspectives A'B'C et D'E'F' des deux triangles auront leurs côtés A'B' et D'E' paral-

Fig. 23.

lèles ; de môme WC et £'F' ; de plus, elles auront comme les triangles donnés leurs sommets situés sur trois droites qui concourront en un même point 0' (perspective de 0). Ces deux perspectives donnent dès lors les relations

d'où Ton tirera