CHAPITRE n

DE GÉOMÉTRIE

204. On sait, d une manière générale, qu'un problème qui n'admet qu'un nombre limité de solutions est un problème déle7*minéy et que celui qui en admet une infinité est un problème indéterminé. Mais, en Géométrie, il arrive très sonvenl qu un problème indéterminé cesse de Tèlre lorsqu'on assujettit les données aune autre et seule condition, et toute question de ce genre offre cette particularité que ses solutions, quoique en nombre infini, se présentent dans un certain ordre qui dépend de Ténoncé. Les figures qui en résultent et auxquelles on donne le nom de lieux géométriques^ jouent un rùle très important dans la résolution des problèmes graphiques.

Elles constituent un de ces procédés particuliers auxquels ou a recours, faute de méthode générale de résolution, pour traiter les questions. relatives aux constructions géométriques.

On conçoit en efl'et qu'il ne puisse exister, pas plus en Géométrie qu'en Arithmétique ou en Algèbre, de règle générale, de marche unique pour traiter des questions aussi variées que nombreuses.

Néanmoins, on dispose, en dehors des méthodes de raisonnement, de l'analyse entre autres, cet instrument si précieux et si sûr, de procédés particuliers qui ont pour objet de transformer les figures et de les simplifier^ et dont un, comme nous venons de le dire, repose sur la connaissance des lieux géométriques.

La résolution d'un problème comprend :

i^ la construction de la figure demandée ;

2^ la démonstration de ce que cette figure répond à Ténoncé de la question ;

3"" la discussion des résultats, subordonnés à toutes les variations possibles des données.

Pour effectuer la construction, on suppose d'ordinaire le problème résolu et Ton trace au besoin les lignes auxiliaires propres à mieux faire ressortir les relations qui unissent les inconnues aux données du problème. Il va sans dire que la découverte de ces relations dépend essentiellement du choix des constructions auxiliaires et de la connaissance que l'on a des propriétés connues des ûgures.

Ces liaisons logiques entre inconnues et données permettent de remonter rigoureusement du résultat fmal à la figure primitive et d'aboutir ainsi à une construction initiale simple que Ton sait effectuer et d*où dépendent ensuite toutes les autres du problème.

On peut dire alors que le problème non seulement est résolu, mais que la démonstration en est faite, parce que la méthode analytique dont on s'est servi porte avec elle la justification de ses moyens.

il ne reste plus qu'à discuter la construction obtenue, c^està-dire à retendre à tous les cas qui peuvent se présenter lorsqu'on fait passer les divers éléments de la question par toutes les valeurs qu'ils sont susceptibles de prendre, et à déterminer ainsi les groupes de valeurs pour lesquels le problème admet un nombre défini de solutions ou n'en admet aucune, r Nous ajouterons, au sujet des constructions, que les plus élémentaires auxquelles on ramène généralement celles que l'on se propose d'effectuer sont celle de la droite, déterminée par deux points, et celle du cercle, déterminé par son centre et la longueur de son rayon. On trace ces deux figures au moyen de deux instruments, la règle pour la droite, et le compas pour le cercle.

884 GÉOBfÉTRIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQUE

§ I. — Solutions immédiates.

205. Parmi les problèmes de géométrie, il en est qui sont des applications immédiates et évidentes de certaines propositions connues et dans lesquels, par conséquent, les relations entre inconnues et données s'aperçoivent sans aucune recherche.

En voici quelques exemples.

206. I. Trouver le plus court chemin d'un point à une droite.

On sait que si d'un point pris hors d'une droite on mène la perpendiculaire et diverses obliques à cette droite, la perpendiculaire est plus courte que toute oblique ; il s'ensuit que le plus court chemin d'un point à une droite est donné par la portion de perpendiculaire menée de ce point à cette droite et comprise entre le point et la droite.

207.11. Construire un triangle connaissant deux côtés et U angle compris,

La solution de ce problème, qui apparaît immédiatement à Fesprit, consiste à construire un angle égal à. l'angle donné, sur les côtés duquel on porte à partir du sommet des longueurs respectivement égales aux côtés donnés, et à joindre ensuite par une droite les extrémités de ces longueurs.

La figure ainsi obtenue répond à l'énoncé de la question et il ne peut y en avoir d'autre, en raison de ce que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun.

Remarque. — Si dans une seconde figure construite dans le plan de la première, on intervertissait la disposition des deaif longueurs qui représentent les côtés donnés du triangle à construire, on obtiendrait un triangle qui ne s'appliquerait pas sur le premier par un simple déplacement dans l«ur plan commun, mais on sait que la coïncidence peut être obtenue par un retournement de la seconde figure ; de sorte que le

MÉTHODES DE KÉ80LUTI0N DBS PROBLÈMES GBAPH1QUE8 885

problème, de quelque manière qu'on le traite, n'admet réellement qu'une seule solution.

208. III. Par un point pris sur une circonférence^ mener une tangente à cette circonférence.

.11 saute aux yeux que ce problème trouve sa solution dan» ce théorème connu, que la perpendiculaire menée à Textrémité d'un rayon d'une circonférence est tangente k cette circonférence et par suite qu'il suffit de mener le rayon de la circonférence qui aboutit au point donné et d'élever en ce point, à ce rayon, une perpendiculaire.

Cette droite répond à la q.uestion, d'après ce qui vient d'être dit, et il n'y en a pas d'autre, comme conséquence de la réciproque de la proposition précédente — que la tangente à une circonférence est perpendiculaire au rayon mené au point de contact — et de ce que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite.

§ n. -- Solutions aztalsrtiques.

209. Si quelques problèmes graphiques de géométrie peuvent être résolus immédiatement, par la simple application d'une ou d'un très petit nombre de propositions, en général il n'en est pas ainsi ; on a recours alors à la méthode analytique, qui consiste à ramener la construction demandée à une autre plus simple, celle-ci, au besoin, à une troisième, et l'on continue ainsi jusqu'à ce que l'on obtienne une construction que l'on sache effectuer. Mais il peut arriver dans cette marche réductive des opérations de l'esprit qu'un des problèmes ' auxquels on est successivement conduit soit plus général que celui à résoudre ; dans ce cas on ne retient de ce problème plus général que les solutions qui répondent au problème proposé.

Suivent quelques applications de cette méthode.

2i0. 1. Construire une tangente commune à'deux cercles.

Kig. i«

Soient {^gf. 28) deux cercles quelconques 0 et 0', que nous

supposerons exié- A ^--""^ ^"^. rieurs et qui, dès

lors, peuvent avoir des tangentes extérieures , c'est-k-di^e qui laissent ces cercles d*un même côlé de chacune d'elles, et des tangentes intérieures , c'est-à-dire qui laissent ces cercles de part et d'autre de chacune d'elles. l"" Considérons d'abord la tangente extérieure ÀA'. Si Ton joint les points de contact A et A' aux centres respectifs 0 et (y des cercles et si l'on mène, par le centre 0' du plus petit, O'G parallèle à AA', on obtient deux droites OA et O'A' perpendiculaires à AA' et par suite à O'C, et le quadrilatère A A'CyC est rectangle ; de sorte que si l'on décrit un cercle do point 0 comme centre avec un rayon OC, égala OA — CA, autrement dit à OA — O'A'^ la droite O'G est tangente à ce cercle.

La question est donc ramenée à cette autre : Mener à vn cercle une tangente par un point extérieur.

Pour résoudre ce nouveau problème, remarquons que dans le triangle rectangle OGO' on connaît l'hypoténuse 00' ; il s'ensuit que si Ton décrit un cercle sur 00' comme diamètre, le sominet de l'angle droit se trouvera sur ce cercle, de même qu'il doit se trouver sur le cercle de rayon OC : ce sommet sera donc à l'intersection C de ces deux cercles, et comme il y a deux intersections C et D, il y aura deux solutions, c'est-àdire deux tangentes.

De là la construction suivante : Décrire du centre du plus grand cercle 0 un troisième cercle dont le rayon OC soit égal à la difîérence des rayons des cercles donnés ; décrire un quatrième cercle sur la distance des centres 00' comme diamètre ; joindre le point 0 aux intersections C et D de ces deux

Fig. 29.

derniers cercles ; prolonger les rayons OC et OD jusqu'en A et B ; mener les rayons O'A' et O'B' parallèles aux premiers ; joindre enfin par des droites les points A et A' d'une part, B et B' de Taiitre. On a ainsi deux tangentes extérieures communes à deux cercles extérieurs.

2^ Considérons maintenant la tangente intérieure A A'

(fig, 29). Si Ton joint

^"^^ ^ les points de contact

'^^ySs "^\ A et A' aux centres

respectifs 0 etO' des cercles et si Ton mène O'C parallèle à AA', jusqu'à sa rencontre en C avec OA prolongée, on obtient deux droites OC et O'A' perpendiculaires à AA' et par suite à O'C, et le quadrilatère AA'O'C est rectangle ; de sorte que si Ton décrit un cercle du point 0 comme centre avec un rayon OC égal à OA -f- AC, autrement dit à OA ~h O'A', la droite O'C est tangente à ce cercle. La question est donc ramenée à cette autre : Mener à un cercle une tangente par un point extérieur.

Nous venons de résoudre ce problème, qui conduit dans la circonstance aux deux solutions O'C et O'O.

On tire de là la construction qui suit : Décrire du centre 0 de Tun des cercles donnés un troisième cercle dont le rayon OC soit égal à la somme des rayons de ces deux cercles ; décrire un quatrième cercle sur la distance des centres 00' comme diamètre ; joindre le point 0 aux intersections C et D de ces deux derniers cercles ; mener les rayons O'A' et O'B' respectivement parallèles aux rayons OC et OD, mais en sens inverse ; joindre enfin par des droites les points A et A' d'une part, B et B' de l'autre. On a ainsi deux tangentes intérieures communes à deux cercles extérieurs.

Discussion, — D'après la figure 28, pour que l'on puisse

888 GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQCE

construire des tangentes extérieures à deux cercles, c'est-àdire pour que par le point & on puisse mener deux tangentes au cercle de rayon OC, il faut et il suffit que ce point O' soit à une distance du centre de ce cercle supérieure à son rayon, en d'autres termes, que Ton ait

00' > OC, ou 00' > R — R',

si Ton représente par R et R' les rayons des cercles donnés 0 etO'.

Il suit de là que deux cercles admettent deux tangentes extérieures lorsqu'ils sont extérieurs^ tangents extérieurement ou sécants.

Si l'on a 00' = R — R', les deux cercles donnés sont tangents intérieurement et le point 0' est sur le cercle OC; dans ce cas il n'y a qu'une tangente pour ce cercle passant par le point 0' et il s'ensuit qu'il n'y a aussi qu'une tangente extérieure commune aux deux cercles.

Ainsi, deux cercles tangents intérieurement n'admettent çti'tme tangente extérieure.

D'un autre côté, d'après la figure 29, pour construire des tangentes intérieures à deux cercles, c'est-à-dire pour que par le point 0' on puisse mener deux tangentes au cercle de rayon OC, il faut et il suffît que Ton ait

00' > OC, ou 00'>R-+-R'.

Il suit de là que deux cercles n'admettent deux tangentes intérieures que lorsqu'ils sont extérieurs.

Si Ton a 00' = R -h R', les deux cercles donnés sont tangents extérieurement et le point 0' est sur le cercle OC; dans ce cas il n'y a qu'une tangente pour ce cercle passant par le point 0' et il s'ensuit qu'il n'y a aussi qu'une tangente intérieure commune aux deux cercles.

Ainsi deux cercles tangents extérieurement n'admettent qu'une

tangente intérieure.

De tout ce qui précède, il résulte que deux cercles intérieurs n'admettent aucune tangente commune.

En résumé le problème, considéré dans son ensemble, adonet 4, 3, 2, 1 ou 0 solution suivant que les deux cercles donnés sont extérieurs, tangents extérieurement, sécants, tangents intérieurement, ou intérieurs.

Remarque. — Cette question peut encore se résoudre en s'appuyant sur la théorie des figures homothétiques, deux cercles pouvant toujours être considérés comme homothétiques de deux manières.

Soient [fig. 30) les deux cercles extérieurs 0 et 0'. La droite des centres 00' et la droite CC\ qui joint les extrémités des deux rayons OG et O'G parallèles et dirigés dans le même

Fig. 30.

sens, déterminent par leur intersection S le centre d'homothétie directe de ces deux cercles. De même la droite des centres et la droite CC\ qui joint les extrémités des deux rayons OC et O'C, parallèles et dirigés en sens contraire déterminent par leur intersection S' le centre d'homolhétie inverse de ces deux cercles.

Or les tangentes extérieures à ces deux cercles passent par le point S et les tangentes intérieures passent par le point S'.

Comme précédemment, la question serait donc ramenée à celle-ci : Mener à un cercle une tangente par un point extérieur.

Mais ici, pour construire une tangente extérieure commune aux deux cercles, par le point S on mènera à Tun des cercles une tangente qui sera aussi tangente à Tautre cercle ; et pour avoir une tangente intérieure, parle point S' on mènera également à Tun des cercles une tangente qui sera tangente en même temps à l'autre cercle.

Il va sans dire que la discussion, par cetle mélhade, conduirait aux résultats précédents.

211. II. Construire le cercle orthogonal à trou cercles donnés.

Soient 0, 0\ 0'' (fig, 31) trois cercles que nous supposerons extérieurs. Imaginons le problème résolu et soit I le centre do cercle demandé.

Lorsqu*un cercle en coupe orthogonalement un autre, son rayon est égal à la longueur de la tangente menée de son

centre à cet autre, en d'autres termes, le carré de son rayon est égal à la puissance de son centre par rapport à l'autre cercle. 11 s'ensuit que les tangentes lA, IB, IC menées du point I respectivement aux trois cercles sont égales ; autrement dit, le point I a même puissance par rapport aux trois cercles. Or, le point qui jouit de cette propriété est le centre radical des trois cercles.

La question est donc ramenée à construire le centre radical de trois cercles donnés.

Or (165, II) le centre radical de trois cercles estrintersection commune des trois lieux d'égale puissance par rapport à cos cercles considérés deux à deux, autrement dit des trois axes radicaux de ces cercles.

Celte deuxième question, à son tour, est ainsi ramenée à cette autre : Construire l'axe radical de deux cercles donnés.

Soient 0 et 0' (fig. 32) deux cercles que nous supposerons extérieurs. Si on les coupe par un troisième, 0„ les intersec-

^^^ "^^^ tions déterminent

^ deux cordes AB et

CD dont le point commun Ë appartient à Taxe radical.

En effet, en considérant les sécantes EA et EC par rapport au cercle Oi, on a EAxEB = ECxED; or la première expression représente

Fig. 32.

la puissance du point E par rapport au cercle 0 (165) et la deuxième la puissance de ce même point E par rapport au cercle O' : le point E a donc même puissance par rapport aux deux cercles donnés, et se trouve ainsi sur Taxe radical de ces deux cercles.

Pour avoir cet axe radical, il suffit donc (465) de mener par le point E la perpendiculaire EF à la droite des centres 00'.

De là la solution suivante du problème proposé : Construire comme il vient d'être dit deux des axes radicaux DI et El, par exemple, des trois cercles donnés (le troisième est inutile) pour obtenir par leur intersection le centre radical I de ces trois cercles; déterminer la longueur lA de Tune quelconque des tangentes menées du point 1 aux cercles, et décrire un cercle de ce point I comme centre, avec un rayon égal à la longueur lA.

Discussion. — 1° Les centra des trois cercles ne sont pas en ligne droite. Deux cas se présentent :

Si les axes radicaux se rencontrent à Textérieur des cercles, du centre radical ainsi déterminé on peut mener des tangentes aux cercles et le problème admet alors une solution.

Si la reacontre des axes radicaux se fait dans l'îutériear d'un cercle, le centre radical se trouve à rintériettr des trois cercles et de ce point il est impossible de mener des tangentes aux cercles : dans ce cas, le problème n'a pas de solution.

2® Les centres des trois cercles sont en ligne droite. Les trois axes radicaux, perpendiculaires à une même droite — la ligne des centres — sont parallèles, et le centre radical est rejeté à rinûni. Le cercle orthogonal aux trois cercles devient alors une droite, celle qui passe par les trois centres.

212 . III. Construire un carré équivalent à un polygone donné. Lorsque Taire d'une figure s'exprime par le produit de deux lignes, on peut écrire que le carré à construire est équivalent au rectangle construit sur ces deux lignes, et la question se résout facilement. C*est ainsi que Ton opère lorsqu'il s'agit d'un polygone régulier, d'un quadrilatère dont deux côtés au moins sont parallèles, d'un triangle quel qu'il soit. Mais dans le cas d'un polygone quelconque, il n'y a pas de formule qui permette d'en exprimer l'aire par un produit de deux longueurs.

On ramène alors le problème au suivant : Construire un triangle équivalent à un polygone donné. Soit le polygone ABCDE (fig. 33) qu'il s'agit de transformer

en un triangle équivalent. Considérons une des diagonales qui joignent les extrémités de deux côtés consécutifs^ AD par exemple, et menons par le sommet Ë la parallèle EF à la diagonale AD jusqu'à sa rencontre en F avec le côté BA prolongé. En joignant le point F au point D, on forme un triangle AFD équivalent au triangle AED, comme ayant même base AD et même hauteur, les deux sommets E et F étant situés sur la parallèle ËF à AD. 11 s'ensuit que si du polygone donné on retranche le triangle AED, pour y ajouter ensuite le triangle AFD, le polygone résultant sera équivalent au premier, mais il aura un côté de

Fig. 33.

moins. Quel que soit le nombre des côtés dû polygone proposé, en continuant ainsi on le transformera nécessairement en un triangle équivalent.

On se trouve alors en présence de cette question : Construire un carré équivalent à un triangle donné.

Soient b un des côtés de ce triangle et h la hauteur correspondante ; si X représente le côté du carré cherché, on devra avoir

c'est-k-dire que le côté du carré sera la moyenne proportionnelle des deux longueurs * et — •

A son tour, le problème qui précède est ramené au suivant : Construire la moyenne proportionnelle de deux droites.

On sait : 1"* que la perpendiculaire menée d'un point quelconque d'un cercle sur un diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu'elle détermine sur ce diamètre;

2« qu'une corde quelconque d'un cercle est moyenne proportionnelle entre le diamètre qui passe par Tune de ses extrémités et sa projection sur ce diamètre ;

30 que si Ton mène à un cercle, par un point extérieur, une tangente et une sécante, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.

De là trois méthodes différentes pour trouver la moyenne proportionnelle de deux droites données.

Première méthode. — Sur une droite indéfinie XH {fig. 34) on

porte à la suite Tune de l'autre ^'-""' — 'Jî^ deux longueurs AB et BC res-

\ pectivement égales aux deux

^ '^ droites données ; sur leur somme

X' A ' B . C X AC comme diamètre, on décrit

Fig. 34. un demi-cercle, et l'on élève en

B une perpendiculaire à la droite AC jusqu'à la rencontre du

cercle en D : la longueur BD est la moyenne proportionnelle

demandée.

GÉOMÉTRIE ÈLÉMENTAIBE PRATIQUE

Fig. X..

Deuxième méthode. — On porte sur une droite indéfinie X'X

{fig. 35) à partir d'un même point A, et dans le même sens, deux longueurs AB et AC res-

J pectivement égales aux deax

B X droites données ; sur AB comme diamètre, on décrit un demicercle ; on élève en G une perpendiculaire à la droite AB jusqu'à la rencontre du cercle en D, et Ton joint le point D au point A : la droite AD est la moyenne proportionnelle cherchée.

Troisième méthode. — A partir d*un point A pris sur une

droite indéfinie X'X

^' "^^2 ^ (fig. 36), on porte

sur cette droite et

dans le même sens,

^ comme précédem-

ment, deux longueurs

Fig. 36.

AB et AG respectivement égales aux deux droites données; sur CB comme diamètre on décrit un demi-cercle, auquel on mène par le point A la tangente : la portion AD de cette tangente comprise entre le point A et le point de contact est la moyenne proportionnelle aux deux droites considérées.

§111. ~ Méthode des lieux géométriques

2i3. La résolution d'un problème graphique se ramène généralement à la construction d'une droite ou d'un cercle (204) ; ovy ces deux tlgures, droite et cercle, se déterminent d'ordinaire par la construction d'un nombre suffisant de points, deux pour la droite et deux ou trois pour le cercle, suivant que l'un de ces points est ou non le centre de ce cercle.

On peut donc dire que, réduits à leurs plus simples éléments, les problèmes graphiques reviennent à une construction de points.

La méthode la plus généralement employée pour la résolution de cette dernière question, recherche, détermination ou construction d'un point, est celle des lieux géométriques.

Elle consiste, après ayoir supposé le problème résolu et, si elles ne sont pas exprimées dans Ténoncé, trouvé les conditions propres à déterminer tes points à construire, à faire abstraction de Tune de ces conditions, ce qui donne lieu à un problème indéterminé, dont la solution se traduit par une ligne ou lieu géométrique dont tous les points répondent exclusivement à la question ainsi modifiée. Reprenant ensuite le problème proposé, on néglige de nouveau une des conditions, mais une autre que la précédente, et Ton obtient encore, comme solution indéterminée, un second lieu géométrique dont tous les points satisfont exclusivement à la question ainsi restreinte. De ces deux constructions auxiliaires il résulte que le point ou les points, pour remplir toutes les conditions du problème donné, doivent se trouver à la fois sur les deux lieux géométriques : les intersections de ces deux lignes donneront donc ces points.

On conçoit que la facilité avec laquelle on résout un problème graphique dépend essentiellement du choix des lieux à construire, autrement dit des deux conditions que Ton a successivement à négliger.

La droite et le cercle sont les seules lignes dont on se serve en Géométrie élémentaire. Il s'ensuit que si les deux lieux sont des droites, le problème admet une solution ou n'en admet aucune, suivant que les deux droites se coupent ou sont parallèles ; si les deux lieux sont deux cercles ou un cercle et une droite, le problème admet deux solutions, une seule ou n* en admet aucune, suivant que les deux lignes se coupent, sont tangentes ou n'ont aucun point commun.

La méthode des lieux géométriques, si commode pour la résolution des problèmes, sert encore à leur discussion; il suffit, à cet effet, de déterminer les conditions pour que les deux Ueux aient des points communs, intersections ou contacts ; on en déduit, pour les différents cas qui peuvent se pré-

896 GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRB PRATIQUE

senter» le nombre de ces points communs, et par suite le nombre de figures qui répondent à la question.

Tout ce qui précède se rapporte à la détermination de points dans un plan. Quand il s* agit de points dans Tespace, les lieux peuvent être des plans ou des surfaces courbes, cylindriques, coniques ou sphérîques ; mais ces lieux peuvent se ramener pour la plupaH aux précédents.

Avant de passer à Tapplication de la méthode des lieux géométriques à la résolution des problèmes, rappelons pour la rendre plus commode et plus prompte, les principaux lieux que nous a donnés la partie théorique de la Géométrie.

Lieux rectilignes, — 1<» Le lieu des points équidistants de deux points donnés est la perpendiculaire menée au milieu de la droite qui joint ces deux points.

^ Le lieu des points équidistants de deux droites qui se coupent comprend les deux bissectrices des quatre angles formés par les deux droites données.

3"" Le lieu des points situés à une distance donnée d'une droite comprend deux droites parallèles à la droite donnée et symétriques par rapport à cette droite.

4^ Le lieu des points dont la somme ou la différence des distances à deux droites qui se coupent est constante comprend quatre droites perpendiculaires aux deux bissectrices des angles formés par les deux droites données.

5<* Le lieu des points dont la différence des carrés des distances à deux points fixes est constante est une perpendiculaire à. la droite qui joint les deux points fixes.

6° Le lieu des points d'où Ton peut mener des tangentes égales à deux cercles donnés est une droite perpendiculaire à la droite des centres (axe radical).

Lieux curvilignes. — 7<> Le lieu des points situés à une distance donnée d'un point est le cercle décrit du point donné comme centre avec un rayon égal à la distance donnée.

8o Le lieu des points situés à une distance donnée d'un cercle comprend deux cercles concentriques ayant respectivement •

pour rayon celui du cercle donné augmenté ou diminué de la distance donnée.

9^ Le lieu des milieux des cordes égales d'un même cercle est un cercle concentrique.

iO Le lieu des points d'où Ton voit sous un angle donné un segment de droite donnée comprend deux arcs de cercles symétriques par rapport au segment et passant par ses deux extrémités.

ii^ Le lieu des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport constant donné est un cercle dont le centre se trouve sur la droite qui joint les deux points fixes.

12"^ Le lieu des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante est un cercle qui a pour centre le milieu de la droite qui joint les deux points fixes (*).

Venons maintenant à la résolution de quelques problèmes par la méthode qui nous occupe.