C ABC D X

Fïg.Ai.

la perpendiculaire à X'X menée en B. Quant à G', il est à gauche de C, et le cercle GG' rencontre en deux points la perpendiculaire qui passe en B : .le problème admet ici deux solutions symétriques par rapport à XX^.

y) Si la troisième longueur est entre les deux autres, B' est à gauche de B, C à droite de C et les deux cercles n'ont aucun point commun : il n'y a pas de solution pour le problème.

4» Les trois longueurs AB, BC et CD sont égales. Les deux points B' et C sont à l'infini, et les deux cercle^ BB' et GC deviennent les perpendiculaires à X'X menées par les points B et C; ces deux droites étant parallèles n'ont aucun point commun et le problème, dans cette hypothèse, n'admet aucune solution.

§ IV. — Méthode des ligures semblables.

217. Un procédé assez fréquemment employé pour résoudre les problèmes graphiques de géométrie consiste dans la construction d'une figure semblable à la figure demandée et à passer ensuite de la première à la seconde, en s'appuyant généralement sur la connaissance d'une ligne ou de points de la figure à réaliser homologues d*une ligne ou de points de la figure auxiliaire : on le désigne sous le nom de méthode des figures semblables.

En voici quelques exemples.

218. 1. Construire Un triangle connaissaat les trois hauteurs.

Désignons par a, 6, c les trois côtés de ce triangle et par /i, h' et h" les trois hauteurs correspondantes. Dans un triangle, les trois produits obtenus en multipliant chaque côté par la hauteur correspondante sont égaux entre eux comme représentant le double de Taire de ce triangle. On peut donc écrire

ah = bh' = ch".

D'autre part, on sait que si d'un point pris hors d'un cercle on mène une sécante, le produit de la sécante entière par sa partie extérieure est constant. De sorte que si d'un point convenablement choisi à Textérieur d'un cercle, on mène trois sécantes à ce cercle, de manière que les parties extérieures soient respectivement égales aux trois hauteurs du triangle cherché, en désignant par /, m, n les sécantes entières, on

aura les relations

ih = mV = nh%

et en les divisant membre à membre par les premières, il viendra

a ^ b "^ c' On voit par là que les sécantes entières ainsi obtenues seront proportionnelles aux (rois côtés du triangle demandé. Pour avoir ce triangle, il suffira donc d'en construire un, ABC,

avec les trois longueurs /, m, n qui lui sera semblable {fig, 43); puis de mener par un des sommets A de ce triangle auxiliaire la hauteur AD, sur laquelle on portera à partir du point A une longueur AE égale à la hauteur du triangle cherché correspondante au côté dont BC est l'homologue ; la parallèle FG menée à BG par le point E déterminera le triangle demandé AFG.

Fig. 43.