A'D " BD

c'est-à-dire que le point A' est le conjugué harmonique du point B par rapport à CD, et comme déjà le point A est ce conjugué harmonique, A' coïncide avec A. Il s'ensuit que le

rapport -rj~. égal en valeur absolue au rapport -^^ est MB CiO

égal au rapport constant donné et par conséquent le point M

appartient au lieu.

Enfin il est des cas où il sufiit d'établir que tout point qui satisfait à la condition du lieu se trouve sur une figure. C'est lorsque le tracé du lieu par un de ses points est la conséquence de cette condition, comme dans le problème' suivant :

246. ni. Un triangle variable, mais qui reste toujours semblable à lui-même^ tourne autour d'un de ses sommets de manière qu'un autre sommet parcoure une droite fixe; déterminer le lieu géométrique décrit par le troisiùme sommet.

Soit ABC [fig» G9) le triangle variable, assujetti à tourner

Fig. 69.

autour du point A, de manière qu'en restant semblable à lui-même son sommet B parcoure la droite fixe X'X. U Y s'agit de trouver le lieu décrit par le troisième sommet C .

Pour cela, considérons le triangle dans sa position AB'C telle que AB' est perpendiculaire àX'X et menons la droite CC. On a, d'une part,

AC AB^ AG ■" AB ' D*autre part, les deux angles GAG' et BAB' sont égaux comme résultant de Taddition de Tangle GAB' à deux angles B'AG' et BAC égaux par hypothèse. Il s'ensuit que les deux triangles GAG' et BAB' sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés homologues proportionnels, et comme langle BB'A est droit, il en est de même de l'angle GG'A. La droite GG' est donc perpendiculaire à AG'.

Le lieu décrit par le sommet G est donc une droite perpendi- <ïulaire à AG'.

247. Dans la recherche des lieux géométriques il arrive souvent que Tesprit entrevoit immédiatement la forme et la position de la figure à déterminer.

G'est ainsi qu'avant toute démonstration il saute aux yeux :

Que le lieu des points équidistànts de deux points donnés est la perpendiculaire- menée par le milieu de la droite qui joint ces deux points ;

Que le lieu des points équidistànts de deux droites parallèles est la parallèle à ces droites menée à égale distance de Tùne et de l'autre ;

Que le lieu des points distants d'une longueur donnée d'un point ûxe est un cercle qui a pour centre le point fixe et pour Tayon la longueur donnée;

Que le lieu des milieux des cordes égales d'un môme cercle est un cercle concentrique, de rayon égal à la distance d'un de ces milieux au centre du cercle ; etc.

Mais il n'en est pas toujours ainsi et Ton a généralement besoin pour connaître le lieu, de construire quelques-uns de ses points, d'avoir recours à des constructions auxiliaires et parfois à la méthode analytique, c'est-à-dire de ramener la recherche du lieu proposé à celle d'un autre de détermination plus facile ou que Ton connaît déjà.

Voici quelques exemples qui répondent à ces considérations :

248. IV. Quel e$t le lieu des points d*où l'on voit deux cercles sous le même angle ?

Soient les deux cercles 0 et 0' {fig. 70). Remarquons d'abord que les deux centres I et V de similitude directe et inverse des deux cercles sont deux points du

Fig. 70.

lieu, car l'angle AlO est la moitié de l'angle sous lequel on voit les deux cercles du point I, et que les deux angles égaux CFO et DI'O' sont les moitiés des angles sous lesquels on voit ces mêmes cercles du point T-

Soit M un troisième point du lieu. En le joignant aux centres des cercles et en menant les tangentes MT et MT' ainsi que les rayons de contact OT et OT, les angles OMT et O'MT' qui sont les moitiés des angles sous lesquels on voit les deux cercles sont égaux par hypothèse ; il s'ensuit que les deux triangles rectangles OMT et O'MT' sont semblables et donnent la

DAUZAT. — MéTHODOL. 59

Folati on