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On déduit donc de ces relations que les distances du point M aux centres 0 et 0' des cercles sont dans un rapport constant et égal à celui des distances du point I et du point V au mômes points 0 et 0', et par suite la question est ainsi rame* née à celle du lieu des points dont les distances aux deux points fixes 0 et 0' sont dans un rapport constant.

On sait que ce lieu est un cercle ayant ir pour diamètre.

Si les deux cercles donnés se coupent, le lieu n*est plus un cercle complet, mais un arc de cercle dont les extrémités aboutissent aux deux intersections des cercles donnés et qui enveloppe le plus petit de ces cercles.

Si les deux cercles sont égaux, le lieu est une droite perpendiculaire à leur ligne des centres.

Si les deux cercles donnés sont intérieurs, il n'y a pas de

lieu.

249. V. Quel est le lieu des points d'où Von peut mener dn tangentes égales à deux cercles donnés ?

Soient les deux cercles 0 et O' (fig. 71) et M un point do

lieu.

Du triangle rectangle MTO on tire

MT' = MO'— ôtN

et du triangle rec-i tangle MW

MT'* = MO'* - Ôf '.

Or, comme par hy«* „. ,. pothèse MT esté^

Fig. 71. *^

à MT, les deux rela lions précédentes donnent

MO* — ÔT* = MO'* — ÔT*, ou MO' — MÔ^' = ÔT* — ÔT*,

c'est-à-dire, en représentant par r et r' les rayons des deux

cercles,

MO*— MÔ''^ = r*— /s.

Il s'ensuit que la difîérence des carrés MO — M(y des distances du point M aux centres 0 et 0' des cercles est une quantité constante r^ — 7''^. La question revient donc à la recherche du lieu des points dont la différence des carrés des distances à deux points fixes est constante.

On sait (53, Y) que ce lieu est une perpendiculaire à la droite qui joint les deux points fixes.

Si les deux cercles sont tangents extérieurement ou intérieurement, le lieu est la tangente commune.

S'ils sont sécants, le lieu coïncide avec la corde commune mais ne comprend que les parties extérieures.

S'ils sont concentriques, le lieu est à Tinfini.

Ajoutons que le lieu demandé se dit aussi (165, 1) le lieu des points d'égale puissance par rapport à deux cercles donnés et qu'il a reçu le nom d'axe radical des deux cercles.

Il peut arriver que le lieu présente des points remarquables, des axes de symétrie, et dans ce dernier cas des sommets, qui sont les extrémités de ces axes. On conçoit que la détermination de ces éléments du lieu ait une très grande importance parce qu'elle facilite considérablement la résolution de la question.

C'est ainsi que dans le problème II on a déterminé les deux points remarquables C et D qui sont les deux extrémités du diamètre, autrement dit d'un axe du lieu demandé, et qu'on en I a fait autant dans le problème IV pour les deux points I et V qui sont aussi les extrémités du diamètre ou d'un axe du lieu cherché.

Le problème suivant nous servira de troisième exemple.

250. VI. Quel est le lieu des centres des cercles tangents à df*ux cercles donnés intérieurs l'un à l'autre ?

GÉOMÉTBIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQUE

Hig. 7i.

Supposons d'abord que les points de contact des cercles

variables avec les deux cercles fixes soient extérieurs par rapport aux premiers, et soient 0 et 0' fAS- '^) les deux cercles donnés.

On conçoit, d'une part, que le lieu aura la forme d'une courbe fermée dont la drbite 00' sera un axe de symétrie. D'autre part, il est évident que les milieux C et C de AB et de B'A' seront des points remarquables, des sommets de la courbe. Enfin si l'on considère un point quelconque M du lieu, et en désignant par r et r lesrayons des cercles 0 et 0', on aura

M0 = r — MD

et MO' = ME H- r\

d'où MO -t- MO' = r -+- W -H ME - MD,

et comme ME est égal à MD,

MO-h MO' = r + r'.

Il résulte de là que la somme des distances du point M aux centres 0 et 0' des cercles est égale à ane quantité constante

La question est ainsi ramenée à la détermination du lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes 0 et 0' est constante et égaie à r-i-r'.

On sait que ce lieu est une ellipse dont 0 et O' sont les deux foyers et GC le grand axe égal à r -+- /.

Si les cercles variables sont tangents aux deux cercles donnés de manière à embrasser le petit cercle comme dans la fi-ure 73, on conçoit encore que le lieu aura la forme d^une courbe fermée dont AA' sera un axe. D'autre part, il est évi-

dent que les milieux C et G de AB et de B'A' seront des points

remarquables du lieu, des I) sommets de la coui'be. En-

fin, si Ton considère un point quelconque M du lieu, et en désignant par r et ï*' les rayons des cercles 0 et 0', on a

MO = r — MD,

M0' = ME— r', d'où M0H-M0'=r-7-'-+-ME— MD,

et comme ME est égal à

Fig. 73.

MD, MO-hMO' = r — /.

Il suit de là que la somme des distances du point M aux centres 0 et 0' est égale à une quantité constante r — /.

La question est ramenée, dans ce second cas, à la détermination du lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes 0 et 0' est constante et égale à r — /.

Ce lieu est une ellipse dont 0 et 0' sont les deux foyers et ce le grand axe égal à r^r'.

En résumé, le lieu demandé comprend deux ellipses homofocales, c'est-à-dire ayant leurs foyers communs, les centres des deux cercles donnés, et pour grand axe, Tune la somme des rayons de ces cercles, l'autre la différence de ces mômes rayons.

251. Lieux de l'espace. — Les lieux de l'espace ont souvent leurs analogues parmi les lieux plans, et la connaissance de ces derniers permet en général d'énoncer immédiatement la forme des premiers.

Sachant, en effet, que :

i** le lieu plan des points équidistants de deux points donnés «st la perpendiculaire menée par le milieu de la droite qui joint les deux points ;

2^ le lieu plan des points équidistants de deux droites qui se

coupent se compose des deux bissectrices des quatre angles formés par les deux droites données ;

S*' le lieu plan des points situés à une distance donnée d'un cercle comprend deux cercles concentriques ayant respectivement pour rayon celui du cercle donné augmenté ou diminué de la distance donnée ;

4^* le lieu plan des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport constant donné est un cercle dont le centre se trouve sur la droite qui joint les deux points donnés;

etc.,

on peut dire immédiatement que :

i^ le lieu de l*espace des points équidistants de deux points donnés est le plan mené perpendiculairement au milieu de In droite qui joint les deux points donnés ;

2^ le lieu de l'espace des points équidistants de deux plans qui se coupent se compose des deux plans bissecteurs des quatre dièdres formés par les deux plans donnés ;

3° le lieu de Vespace des points situés à une distance donnée d'une surface sphérique comprend deux surfaces sphériques concentriques ayant respectivement pour rayon celui de la sphère donnée augmenté ou diminué de la distance donnée ;

4® le lieu de Vespace des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport constant donné est une surface sphérique dont le centre se trouve sur la droite qui joint les deitr points donnés.

Parfois on passe des lieux plans aux lieux correspondants de l'espace par un mouvement de translation ou de rotation des plans qui contiennent les premiers.

Si Ton déplace parallèlement k elle-même la figure relative :

1® au lieu plan des points distants d'une droite d une longueur donnée, qui comprend deux droites parallèles à la première, situées de part et d^autre et distantes de cette première droite d'une longueur donnée ;

2^ au lieu plan des points équidistants d'un point donné, qui est un cercle ;

3^ au lieu plan des points dont les distances à deux points

fixes sont dans un rapport constant donné, qui est un cercle ; . etc. , on obtient:

i^ le lieu de l'espace des points équidistants d'un plan d'une longueur donnée, qui comprend deux plans parallèles au premier^ situés de part et d'autre et distants de ce premier plan de la longueur donnée;

2^ le lieu de l'espace des points équidistants d^une droite, qui est une surface cylindrique circulaire;

3^ le lieu de l'espace des points dont les distances à deux droites fixes sont dans un rapport constant donné, qui est une surface cylindrique circulaire.

Si Ton fait tourner autour de son axe de symétrie :

i^ le lieu plan des points distants d'une droite d'une longueur donnée, dont il a été question plus haut ;

2<> le lieu plan des points d'où Ton voit sous un angle donné un segment de droite donnée qui se compose de deux arcs de cercle symétriques par rapport au segment et passant par ses deux extrémités ;

3" le lieu plan des points d'où l'on voit deux cercles extérieurs inégaux sous le même angle^ qui est un cercle enveloppant le plus petit et dont le centre se trouve sur la ligne des centres donnés ;

etc., on obtient :

1® le lieu de l'espace des points distants d'une droite d'une longueur donnée, qui est une surface cylindrique ayant la droite pour axe ;

2^ le lieu de l'espace des points d'où l'on voit sous un angle donné un segment de droite donnée, qui est une surface de révolution, engendré par la rotation du lieu plan autour de la droite;

Z^ le lieu de Vespace des points d'où l'on voit deux sphères extérieures inégales sous le même angle^ qui est une surface sphérique qui enveloppe la plus petite sphère et dont le centre se trouve sur la ligne des centres des sphères données,

La détermination exacte des lieux de l'espace demande sou-

vent l'emploi des procédés de la Géométrie descriptive. Voici cependant des exemples où la recherche directe de ces lieux , peut se faire par les moyens de la Géométrie élémentaire.

252. VII. Quel est le lieu des points équidistants de trois droites de l'espace qui se coupent en un même point ?

Soient {fig. 74) les trois droites AA', BB', CC, qui se cou- * pent au môme point 0.

Considérons d'abord deux de ces droites, AA' et BB'. Le lieu

plan des points équidistants de ces deux droites se compose de deux droites rectangulaires entre elles et bissectrices des quatre angles formés par ces deux droites. Il résulte évidemment de là, et la démonstration en est simple, que le lieu des points de l'espace équidistants des deux droites AA' et BB' comprend deux Fig. 74. plans menés par les bissectrices

des angles formés par ces deux droites et perpendiculairement au plan de ces droites ; ces plans sont aussi perpendiculaires entre eux. Représentons-les par P et Pj.

Si Ton considère ensuite les deux droites AA' et GC, on arrivera de même à établir que le lieu des points de l'espace équidistants de ces deux droites comprend aussi deux plans qui ont par rapport à ces droites la même position que les plans P et Pi par rapport aux droites AA' et BB'. Désignons-les par Q etQi. Cela établi, il est évident que tout point qui se trouveraàlafois sur les deux lieux (P,Pi) et (Q,Qi),étantainsiéquidistant, d'une part de A A' et de BB', d'autre part de AA' et de CC, sera équidistant des trois droites données et appartiendra par là même au lieu demandé. Ce lieu sera donc donné par les intersections de chacune des parties du premier lieu avec chacune des parties da second^ c'est-à-dire par les intersections de P et de Q, de P et de Qi, de Pi et de Q, de Pi et de Qi. Il se composera ainsi de qua-

tre droites passant par le point 0, situées à Tintérieur des huit trièdres formés par les trois droites données, et faisant chacune le même angle avec les trois arêtes du trièdre qui la contient.

253. VIII. Quel est le lieu des milieux d'un segment de droite donné qui se déplace en s^ appuyant par ses deux extrémités sur deux droites perpendiculaires Vune à Vautre et non situées dans le même plan ?

Soit M {fig. 75) le milieu d'un segment de droite AB qui se meut de manière à s'appuyer constamment par ses deux extrémités A et B sur les deux droites CD et EP rectangulaires

entre elles mais non situées dans le même plan.

Menons la perpendiculaire commune GH aux deux droites CD et EF. La droite CD perpendiculaire à la fois aux deux droites EF et GH est perpendiculaire à leur plan et par suite à la droite GB qui passe par son pied G dans ce plan ; il s'ensuit que le triangle AGB est rectangle en G et par suite que la droite GM qui joint le sommet G de l'angle droit au milieu M de l'hypoténuse AB est égale à la moitié de cette hypoténuse. Par un raisonnement analogue on démontrerait que la droite HM est aussi égale à la moitié de AB. Il résulte de tout cela que le triangle GMH est isocèle, que ses côtés sont constants, que la droite IM qui joint le sommet M de ce triangle isocèle au milieu I de sa base est perpendiculaire sur GH et qu'elle est aussi constante.

D'où il résulte que le lieu cherché est un cercle dont le plan est perpendiculaire au milieu de la perpendiculaire commune aux deux droites données, c'est-à-dire parallèle à ces deux droites et équidistant de chacune d'elles, et dont le centre est le milieu de la perpendiculaire commune.