OA OC OB - "ÔD

A> ^ nn OBxOC dou 0D= — -— ,

UA

OU, en remplaçant ces longueurs par leurs mesures (x représentant la mesure de l'inconnue).

Si le monôme fractionnaire contient un nombre quelconque de facteurs linéaires au dénominateur et ce même nombre plus un au numérateur, la formule a pour expression

abcd . . . kl

UibiCidx ... Al

Pour avoir l'inconnue, on construit une première longueur

de mesure Xi telle que Ton ait

ah

puis une deuxième de mesure 072, qui satisfasse à la relation

ai puis une troisième de mesure a?3, qui réponde à la condition

et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs. S'il y a n facteurs au dénominateur, la dernière longueur construite a pour mesure

et c'est cette longueur qui représente Tineonnue, car eti multipliant membre à membre toutes les égalités ci-dessus, on obtient, après la suppression des facteurs communs aux deux

termes du résultat,

abcd,.,kl

GibiCidi. . ,ki

La question se résout donc, dans ce cas, par la construction

d'une suite de quatrièmes proportionnelles.

257. II. La forinuie se présente sous la forme d'un polynôme rationnel.

Si les termes du polynôme sont entiers, chacun d'eux devant être du premier degré se trouve être représenté par la mesure d'une longueur, et la formule s'exprime comme il suit dans sa

forme générale :

X = azhb ± c. . , ± L

Pour obtenir la valeur de l'inconnue, on porte sur une droite indéfinie, à partir d'un point fwe 0 pris arbitrairement, et dans le sens de gauche à droite, une longueur OA égale à celle que mesure la quantité a ; puis à partir du point A, dans le môme sens ou dans le sens contraire, suivant qu'elle est positive ou négative, une longueur AB égale à celle que mesure la quantité ± b ; puis, à partir du point B, en opérant de même, une longueur BG égale à celle que mesure la quantité ±:c, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait déterminé un point L en portant une dernière longueur égale à celle que

mesure la quantité db l. La droite OL donne la longueur de l'inconnue cherchée.

Si les termes du polynôme sont des monômes fractionnaires, on détermine comme précédemment la valeur linéaire de chacun d'eux et Ton est ramené au cas que nous venoiis d'examiner.

258. III. La formule se présente sous la forme (F un quotient de polynômes rationnels.

Pour exprimer une longueur, un quotient doit être du premier degré, c*est-à-dire que si son dénominateur est da degré n, son numérateur est du degré n -+- ! . La furmule dans ce cas peut donc être ''la suivante :

Ad=B=t:G...=bL ^^ A,±Bi=±iC, ...±:L, ' dans laquelle A, B, C, . . . , L sont des monômes du (n -h 1)« degré et Ai, B,, Ci, . . ., Li des monômes du n® degré.

Pour obtenir la valeur de l'inconnue, on choisit une longueur de mesure p et Ton construit une série de longueurs

Uy 0^ Cj » • • f

a,, bi, c,,

. . ., Il qui

ditions

in-l

La formule devient alors

/)" (a dt ^ di c . . . ih /)

p"-' (a, db /y. zh c, ... =î=/,) '

a±bzhc , , . ±1 ai±Oi±Ci . . ,±li

et comme on sait construire une formule qui se présente sous la forme d'une somme algébrique de longueurs, on pourra obtenir la valeur linéaire de chacun des termes du rapport précédent : si « et aj représentent respectivement ces deux termes, la formule se réduit à

et la question est ramenée à la construction d*une quatrième proportionnelle aux longueurs que mesurent ai, p et a.

259. IV. La formule se présente sous la forme d'une expression irrationnelle.

Considérons d'abord le radical du second degré.

Pour qu*un radical de cet ordre exprime une longueur, la quantité qui se trouve au-dessous doit être du second degré. Dans ce cas la plus simple des formules est la suivante :

et rinconnue est la moyenne proportionnelle aux deux longueurs qui ont respectivement pour mesures les quantités a et b.

On a vu (212] comment on construit la moyenne proportionnelle à deux droites.

Si le radical du second degré contient un monôme fraction-

naire -5- dont le dénominateur est du degré n et le numé-

râleur du degré n-+-2, on fait choix d'une longueur de mesure p et Ton construit des longueurs a et b qui satisfassent aux conditions

et la formule x = \ /~r devient

ou

ptl

L'inconnue est la moyenne proportionnelle entre la longueur que mesure la quantité p et la quatrième proportionnelle aux longueurs mesurées par les quantités 6, p, a.

Lorsque la formule se présente sous la forme d'un radical

dont le degré est une puissance de 2 supérieure à la première, pour que ce radical exprime une longueur il faut que la quantité placée au-dessous soit homogène et du même degré que Tindice du radical. Soit x = VAdbB une formule de ce genre, dans laquelle A et B sont des monômes du quatrième degré.

Après avoir fait choix d'une longueur de mesure p on construit les longueurs a et i qui satisfont aux conditions

et la formule précédente prend la forme

Si Ton représente par a la mesure de la longueur qui exprime la valeur linéaire du binôme a±b, cette formule devient

ou enfin, en désignant par ^ la mesure de la longueur qui exprime la valeur linéaire de Texpression y/pa,

X = Vp^ = v/7pF = v/p? .

L'inconnue est la moyenne proportionnelle entre les longueurs que mesurent les quantités p et ^.

11 est à remarquer que la solution de la question se résume dans la substitution au radical proposé du quatrième degré de deux radicaux superposés du second degré.

Par les procédés que nous venons d'exposer on peut construire toutes les expressions irrationnelles qui représentent des longueurs à la condition que les radicaux qu'elles contiennent soient du second degré ou puissent s'y ramener.

Telle est la marche générale à suivre pour la construction des différentes formules qui expriment des longueurs.

Mais il est des cas où cette construction peut être simplifiée, comme dans le problème suivant :

Construire la formule x = ^à^± b'^ .

Dans le premier cas, c'est-à-dire en donnant à 6* le signe -^, on considère l'inconnue x comme étant la mesure de l'hjT)^-

ténnse d'un triangle rectangle dont a et ^ mesurent respectivement les côtés de l'angle droit.

Dans le second cas, c'est-à-dire en prenant b^ avec le signe — , on considère l'inconnue x comme étant la mesure d'un des côtés de Tangle droit d'un triangle rectangle dont a et b mesurent respectivement l'hypoténuse et l'autre côté de l'angle droit.

On construirait la formule générale

par le moyen d'une suite de triangles rectangles qui donneraient successivement les longueurs démesures y^ z, etc., satisfaisant respectivement aux relations