AC = V^AB^H-BC

c'est-à-dire AC = y/a^ -h ^ = |- v/o.

De cette longueur AC pour avoir x' il sufût de retrancher

a une longueur — » autrement dit le rayon du cercle CB, ou

CD ; il s'ensuit que AD représente la valeur de x'. En décrivant du point A comme centre un arc de cercle de rayon AD, le point d'intersection M de cet arc avec la droite AB déter-

mine une longueur AM égale à a:' ou à — (v 5 — 1). x" ayant pour expression — ( "ô" ^^ "^ V ) ' P^^^ ^^ obte-

nir la construction graphique, il faut d'abord remarquer que si

à la longueur AC = — ^ 5 on ajoute le rayon -■ du cercle

ou CE on obtient en AE la valeur absolue de x"* ; pour en avoir la valeur relative, il sufût de porter cette longueur AE à gauche du point A sur le prolongement de AB en décrivant de A comme centre avec un rayon égal à AE Tare de cercle EM'.

Remarque. — On peut se proposer d'exprimer la valeur absolue de chacune des longueurs BM et BM'. L'une et Paulre se déduisent de ce qui précède ; on a, en effet,

BM = AB^AM = a-.-|-(v^5~l)= |(3^v/5)

et BM' = AB -f- AM' = a H- -^ (v/ 5 H- i) = 4 (3 -+- /5).

268. II. Calculer les côtés d'un rectangle connaissant la diagonale d et le côté a d'un carré équivalent.

Soient x eiy les deux côtés de ce rectangle. Pour en déterminer la valeur, on a le système de deux équations simultanées

(1) X«-Hî/ = rfS

(2) xy = a\

En additionnant ces équations membre à membre après avoir multiplié les deux membres de la seconde par 2, on obtient

[x -h yf = rf* -h 2aS ou (3) ar -4- y = }fd^TJc?.

Les deux équations (2) et (3) forment un système équivalent au système de (1) et (2) et leurs racines sont celles de l'équation

(4) X« — v/rf'-i-2a^X-4-a» = 0.

Discussion, — Pour que les racines de cette équation soient

réelles, il faut et il suffît que Ton ait

c'est-à-dire d^;^2a^,

ou d^a^JlL,

958 GÉOMÉTRIE ÉLÉIdENTAIRE PRATIQUE

Si ToD a d^ay/'i, les deux racines sont réelles et distinctes, et comme leur somme, /(f-hîa*, ainsi que lenr produit, a, sont positifs, elles sont toutes deux positives. Dans ce cas le problème admet une solution et une seule : les deux côtés du rectangle sont représentés respectivement par les deux longueurs

^^fur•

Si Ton a d = av/^, les deux racines de Téquation (2) sont réelles et égales et le problème admet encore une solution représentée par un carré dont le côté a pour expression la valeur commune des deux racines,

Si Ton avait d < a)/% les deux racines de Téquation (2) seraient imaginaires et le problème serait impossible.

Construction géométrique. — Examinons d'abord le cas où Ton a ^ > a^â. La représentation graphique de la valeur de

X s'obtient en construisant l'expression ou son

égale V -7- ■+■ -^ et en ajoutant à la longueur obtenue celle

qui résulte de la construction de l'expression — — ou

de son égale

La quantité \ / "-, — *~"^ représente l'hypoténuse d'un

d triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit —

et — -— • On obtient ce triangle de la manière suivante :

MÉTHODES DE Hl

porter une lODgaei triangle rectangle (

La quantité t droit d'un triangle pour second cOté triangle de la man décrire un cercle di la tangente DE à c< le triangle BED es

c6té de l'angle droi

On conçoit ensui un rayon égal à DE détermine sur ladn à X. On a, en effet,

ou

et, d'après les valeu

GÉOMÉTRIE ÉLÉMKNTAIRE PRATIQUE

CF

Le prolongement de l'arc EF de l'autre côté de E détermine

au point G sur la droite CD une longueur CG égale à y. On

a, en effet,