CG = CD — DE

ou

c'est-à-dire

CG

Ainsi les deux côlés du rectangle cherché ont respectivement pour longueurs CF et CG.

Dans le cas où Ton a d = a/2, la construction de la valeur commune de x et de t/ se réduit à celle de Thypoténuse d'un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de l'angle

droit sont égaux à ~-i et cette hypoténuse donne le côté du

carré résultant du deuxième cas ci-dessus prévu, par conséquent reproduit le côté a du carré donné.

269. III. Calculer les dimensions d'un cylindre inscrit dans une sphère de rayon r, sachant que sa surface totale est équivalente à celle d'un cercle de rayon a.

Si Ton coupe la sphère et le cylindre inscrit par un plan passant par Taxe du cylindre, la section faite dans la sphère' est

un grand cercle et, dans le cylindre, un rectangle inscrit dans ce grand cercle.

Soit ABCD (/?(/. 85) le rectangle inscrit dans le cercle 0.

Désignons par x le rayon ËB du cylindre etpar y sa demi-hauteur OE.

La droite OB représentera le rayon r de la sphère.

En exprimant que la surface totale du cylindre est égale à ita*, on aura une première équation du

problème,

Sitar' -t-4itxi/ = ira*.

Fig. 85.

Du triangle rectangle OEB, on déduit la seconde,

Ce système d'équations peut s'écrire plus simplement,

(1) 2.T* -^Âxy = a\

(2) a?«-hy* = r*.

De la première, on tire

et cette valeur de y transportée dans l'équation (2) donne, toutes réductions et simplifications faites, (4) 20ar* — 4(a« -h ^r^)x^ h- a* = 0.

Il s'agit de résoudre cette équation bicarrée ; à chacune de ses racines ou valeurs de x correspondra une valeur de y que donnera Téquation (3) .

Discussion. — La première condition pour que cette équation (4) ait ses racines réelles est que Ton ait

A(a^ -h 4r«j« — 20a* > 0, ou (a« -h 4r«)* — 5 a^ > 0,

ou (a^ H- 4r2 -h a» ^J) {a^ + Av^ — a« v^ 5") > 0,

ce qui revient à

a«-H4r» — aV5>0,

puisque l'expression a* -h r' h- a* v^ 5 est toujours positive. De cette dernière inégalité, on tire

ou, plus simplement, en multipliant les deux termes de Texpression qui forme le second membre par / 5 -h i,

Lorsque cette condition est remplie, les valeurs de a- tirées de Téquation (4) sont toutes deux réelles.

Il faut encore que ces valeurs de x^ soient positives : cette condition, à son tour, est satisfaite, la somme de ces deux a* -4- 47-2 , , .. a*

valeurs, z 1 et leur produit, — » étant positifs.

On aura dès lors quatre valeurs réelles pour x dont deux seront positives et les deux autres négatives. Les deux pre-

DAUZAT. — MiTHOOOL. 61

mières seules conviennent, car x est une longueur essentiellement positive. Ces deux valeurs ont pour expression

Quant aux valeurs correspondantes de y, il faut aussi

qu'elles soient positives, et pour cela, on doit avoir, d'après

Téquation (3),

ou -^ >x*.

On s'assure que cette conditionest remplie, si en remplaçant.

a* dans réquation (4), x* par ---i on trouve ud résultat qui

a« permette d'établir que — est au moins supérieur à la plus

petite racine a/' de cette équation.

Cette substitution donne pour résultat

4aj(a« — 2r«).

De là plusieurs cas à considérer.

1® Si Ton a a* > 2r^ la condition se concilie avec la première, a»<r2(v'5H-l), et l'expression 4a*(a« — îr^) est

a* positive. Il s'ensuit que -— est en dehors des deux racines

a/2 eta?"2, gt comme il est supérieur à leur demi-somme

— —- — — puisque l'inégalité -— >► j-r entraîne

la suivante a* > r*, qui est satisfaite par l'hypothèse à^ > 2H — il en résulte qu'il est supérieur aux deux racines r'* et af^^ et par suite que les deux valeurs de y sont positives.

Dans ce cas, le problème admet deux solutions.

20 Si l'on a a* = 8r*, l'expression 4a*(a" — 2r*) s'annule,

ce qui démontre que Tune des valeurs de x est égale à —

ou r', et par suite que x = r. La valeur correspondante de y est zéro et le cylindre, dont les deux bases se confondent

avec un grand cercle de la sphère, a une hauteur nulle. Quant à l'autre valeur de x\ on l'obtient, par exemple, en retran-

chant la première valeur ï-* de la somme des deux, — ^-^r ,

dans laquelle on a d'abord remplacé a* par 2r«, et l'on

r trouve -iTf d'où Ton tire, pour seconde valeur de ar, o

ce qui donne pour valeur correspondante de y

On a ainsi un cylindre de hauteur double du diamètre.

Dans ce second cas, on peut encore dire que le problème admet deux solutions, dont une consiste dans un cylindre de hauteur nulle qui se confond avec un grand cercle de la sphère donnée.

3*» Si l'on a a* < 2r% l'expression 4a*(a'— 2r*) est négative. Il s'ensuit que — est compris entre les deux racines

ar" et o:^ de l'équation (4), et par suite qu'il n'est supérieur qu'à la plus petite racine ocf^; d'où une seule valeur x acceptable pour x, la plus grande x" ne l'est pas.

Dans ce cas le problème n'admet qu'une solution.

On a vu au début de la discussion du problème que la première condition de possibilité se traduit par la relation

Si l'on examine le cas où l'on a

a* =r2(/5-hl),

on trouve que les deux racines x'^ et af* de l'équation (4) sont égales et par suite que le problème ne comporte qu'une solution. Remarque. — De ce que a* ne peut pas être supérieur à r*(v'^5^-i- 1), il s'ensuit que ita^ oula surface totale du cylindre à inscrire dans la sphère ne peut pas être supérieure à icr*(/5 4- i). Il en résulte que de tous les cylindres que l'on peut inscrire dans une sphère de rayon r, celui qui nous est

donné par le cas particulier précédent a pour surface totale ce maximum Tr^{^'5 -f- 1). Se's dimensions sont les suivantes :

§ IV. — Problèmes sur les maxlma et les mlnima.

270. Les variations des fonctions algébriques d'une ou de plusieurs variables, qui expriment des longueurs, des surfaces ou des volumes, présentent généralement un intérêt tout particulier dans leur étude, surtout lorsque ces fondions sont susceptibles de passer par des maxima ou des minima.

Aux questions de ce genre, on applique pour les résoudre les méthodes que nous avons exposées en Algèbre (226 et suivants) et à propos desquelles nous avons indiqué quelques-unes de ces questions.

En voici d'autres que nous allons examiner.

271. I. Diviser une droite a en deux segments x et y tels que la fonction x' -f- 3î/* prenne sa plus petite valeur possible .

Soient AB (fig. 86) la droite de longueur a et G le point

^ de division cherché. Repré-

"^r "J ^ sentons par x le segment AC

Fig. 86. et par y le segment CB.

Comme on a ainsi la relation

x-h'y = n, si Ton en tire la valeur de ?/,

y^a — x, et qu'on la porte dans l'expression x" 4- 3t/", on obtient Tex- ' pression (1) 4x" — 6ax -h 3r7'.

Nous emploierons la méthode directe (A/j., 227) pour étu- \ dier cette fonction.

Comme elle se présente sous la forme d'un trinôme du second degré, dont le coefficient du terme en a^ est positif» elle varie de -i- <x> à une valeur minima pour augmenter ensuite jusqu'à + oo , lorsqu'on y fait varier x d*une manière continue de — oo à h- » .

Cette fonction présente donc, dans ses variations, un minimum.

Si on récrit sous la forme

on voit qu'elle atteint son minimum lorsque le premier terme (2a? — — a 1 s'annule, c'est-à-dire lorsqu'on a

Ix = -a,

et le minimum est égal au second terme -r a* de la fonction.

La valeur correspondante de y est

y = a — jûj

ou y = -^-

Ainsi il existe un point, et un seul, situé entre A et B qui divise la droite AB en deux segments tels que la fonction X* -+- 3î/* atteigne une valeur minima, et ce point se trouve à des distances de A et de B qui sont entre elles dans le rapport de 3 à i.

Si l'on veut connaître la marche des variations de la fonction donnée lorsque le point C se déplace de A en B, c'est-à-dire lorsque x varie de 0 à a, il suffit de substituer successivement à X, dans l'expression (1), les valeurs 0 et a ; on obtient 3a* et a«.

Le tableau suivant résume alors ces variations :