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ou (i)

D'au Ire part, on a

ou (2) /i a?=y^.

La résolution du système d'équations (1) et (2) donne pour X et y les valeurs suivantes :

W y = rrr

av^3-h2/i

Discussion. — Pour que ces valeurs de x et de y soient acceptables, il faut et il sufQt qu'elles soient positives, que celle de X soit plus petite que h et que celle de y sôit plus petite que a.

Il est manifeste que les valeurs de x et de y sont positives.

D'autre part, celle de x, — j^ — ^t-» est inférieure à k,

poisqne mise sons la forme k-^^^ elle se présente

sous l'expression d'un produit de deux facteurs dontTun est h

et Tautre, — 7= — ^7-5 est inférieur à Tunité. La valeur de y, «v^3-h2/i ^

de son côté, est inférieure à a, car, écrite sous la forme a.-yfH—,. elle représente un produit de deux facteurs,

Tun égal à a, et l'autre, — 7= — -rr» inférieur à Tunité.

Par les valeurs de a? et de y on voit que la solution du problème est indépendante de la forme du triangle donné.

Construction géométrique, — Pour construire la valeur de x, remarquons que l'équation (3) qui l'exprime peut s'écrire

-v^3-+-yi

-*- A )x ou : = —»

ce qui fait ressortir que x est une troisième proportionnelle

sera maximam lorsque ces nombres seront proportionnels à leurs exposants, c'est-à-dire lorsqu'on aura

En combinant cette relation avec (1), on obtient pour valeurs de a? et de y

et

Il résulte de là que le volume maximum est égal à

ira'.

En résumé, le cylindre circulaire droit dont la somme du rayon et de la hauteur est égale à a prend un volume maximum lorsque lé rayon est double de la hauteur.

274. IV. Trouver le cône circulaire droit de surface totale maxima inscrit dans une sphère de rayon r.

Si Ton coupe la sphère et le cône inscrit par un plan passant

par Taxe du cône, la section faite dans la sphère est un grand cercle, et, dans le cône, un triangle isocèle inscrit dans ce grand cercle. Soit ABC (fig. 88) le triangle isocèle inscrit dans le cercle 0.

Représentons par x le rayon DC du cône, par y sa hauteur AD et par z son apothème AC.

La surface totale S aura pour expression

(1) 'k{x^-^xz)

et les inconnues auront ejitre elles les relations suivantes :

2* = 2ri/, X* = t/(2r— y).

Si Ton tire de la première de ces relations la valeur de y,

pour la porter dans la seconde, on aura

enfin, si Ton substitue la valeur de x obtenue de cette dernière relation, dans Texpression (1) de la surface du cône» cette expression devient

Cette expression est irrationnelle ; ou en fait disparaître le radical en prenant une inconnue auxiliaire v, telle que Ton ait

^ 4r' — 2* = t?, d'où Ton tire 2* = 4r* — t^.

La substitution dans (2) de cette valeur de 2* donne

ou -j-j- t?(2r — v) (2r -i- 1>)^

C'est de cette fonction qu'il s'agit de trouver le maximum, ou, en supprimant le facteur constant -j-r» ^^ ^^ sui-

vante *•

qui se présente sous la forme d'un produit de trois facteurs variables.

Si la somme de ces trois facteurs, abstraction faite de l'exposant du troisième, était constante, il suffirait d'appliquer le théorème II sur les maxima et les minima [Alg.^ 239) ; mais elle ne Test pas ; dans ce cas, on la rend constante en multipliant chacun des facteurs par un nombre constant positif, ce qui ne modifie pas les conditions du maximum, et l'on détermine ensuite ces nombres auxiliaires de manière que la somme des facteurs soit constante. C'est ce qu'on appelle la méthodp des coefficients indéterminés.

Multiplions ici les trois facteurs par les nombres respectifs 3, P et Y ; nous aurons la nouvelle fonction

la somme des trois facteurs sera

av -+- 2pr — pv -f- âY?' -h ^r = (a — P 4- 7)1' -h 2(P -r v)r .

Pour que celle somme soit constante, il faut et il suffit que Ton ait

car elle se réduit à Texpression 2(P 4- YJr, qui est constante. Mais alors on a, par application du théorème II précité,

av = 2pr — Pu = - '

d'où Ton tire

et en portant ces valeurs de a et de p dans (3), on obtient, après la division de tous les termes par y»

ou (4) 2t>» — ru — 2r2 = 0.

Cette équation donne pour valeur de v

t;=4(l±vT7).

Or V représente, dans la figure ci-dessus, la corde EC du cercle ; c'est ce qu'indique la valeur v = v^4r* — s*, et cette longueur pour être acceptable doit être positive et plus petite que 2r. Des deux racines de Téquation (4) la racine positive satisfaisant seule à cette double condition est seule à reteair.

Ainsi le cône circulaire droit inscrit dans une sphère de rayon r atteint son maximum de surface totale lorsque la corde EC devient égale à

Cette corde est le double de la distance de Tapothème du cône au centre de la sphère.

274bis, V, Trouver* le maximum du volume d'un cylindre inscrit dans une sphère de rayon donné.

Soit ABCD ifig. 89) le cylindre inscrit dans la sphère 0 de

rayon r. Désignons par x le rayon AE de ce cylindre et par y sa demi-hauteur. Son volume aura pour expression

(1) 2irxV,

OU bien, en substituant à x^ sa valeur tirée de la relation

T*-hj/* = r*, que fournit le triangle rectangle AEO,

Il s*agit dès lors de chercher le maximum de cette fonction 27:(r* — y*)y, ou, en supprimant le facteur constant 2u, de

A cet effet, aous emploierons la méthode des dérivées (A Ig,^ 301 et suivants).

La fonction (â), dans laquelle y est la variable, a pour dérivée

et cette dérivée s'annule pour les deux valeurs

La première de ces valeurs est à rejeter; mais la seconde est acceptable,et s'il arrive, lorsque y en croissant passe par cette valeur

— ^V — > que la dérivée change de signe et devient négative après «I

avoir été positive, à cette même valeur de y correspond un

maximum pour la fonction. Or, si l'on fait dans la fonction (2)

y d'abord égal à -^^^r^ a, puis à — ^ ha, a étant une

quantité très petite, cette fonction prend respectivement les valeurs -h 2?'a/3 et — 2roL\/3 ; elle passe donc du signe -4au signe — , et il en résulte que la fonction (:2), par suite la

rJ^ fonction(l), atteint un maximum pour y = — ^ •

Ce maximum de la fonction (1) est

etlavalearcorrespondantedeor, d'après la relation x*-hy^=r^, est—.