EG P

D'où la construction suivante : diviser le côté BG en trois parties proportionnelles aux nombres m^ n, p; par les points de division D et E, mener les parallèles DO et EO aux côtés AB et AG ; le point de rencontre 0 de ces parallèles est le point intérieur du triangle cherché ; il suftit de le joindre aux trois sommets du triangle pour avoir la division demandée.

On peut encore résoudre le problème en menant à AB une parallèle qui lui soit distante d'une fraction de la hauteur cor-

• rvj

respondante égale à 1 puis une parallèle à AC

distante d'une fraction de la hauteur correspondante égale à

: la rencontre de ces deux parallèles donne le

m -h n -hp

point 0.

Si les trois nombres m, n, p sont égaux, le triangle est divisé en trois parties équivalentes. Cette division s*obtient, par le premier procédé, en divisant BC en trois parties égales et en continuant comme ci-dessus ; par le second, en menant à chacun des côtés AB et AG une parallèle qui leur soit distante du tiers de la hauteur correspondante.

310. II. Diviser un tinangle en parties proportionnelles à des nombres donnés par des parallèles à Vun de ses côtés.

Soit le triangle ABC {fig. 131) que les droites DE et FG

parallèles à BC divisent en parties telles que l'on a BCED DEGF FGA m n p

Si sur AB comme diamètre on décrit un demicercle AHB, que du point A pris comme centre on B G décrive les arcs DH et FI,

^''8^2*' et que des points H et I

on abaisse sur AB les perpendiculaires HK et IL, on aura

ABC ADE AFG

ÂB' ÂD* ~ âf'' et comme on a, d'autre part,

AD = AH = ABXAK, AF* = Âï' = AB X AL,

en portant ces valeurs de AD et de AF dans les précédentes relations il viendra

ABC ^ ADE AFG ^« "" ABXAK ~ ABxAL'

et en multipliant chaque rapport par AB,