ABC
ADE
ADE
AFG
AFG
AB
-AK BCDE
AK DEGF
AL ~ AFG
AL
KB LK AL
ce (jui revient à dire que les trois parties BCED, DEGF et AFG du triangle ABC sont proportionnelles aux longueurs KB, LK et AL, et comme elles sont par hypothèse proportionnelles aux nombres m, n, p, on peut écrire
KB LK AL m n p
La solution est donc la suivante : partager Tun des côtés que doivent rencontrer les parallèles à mener, AB par exemple, en parties KB, LK et AL proportionnelles aux nombres donnés m, n, p \ élever en K et L les perpendiculaires à AB ; joindre au point A leurs points de rencontre H et I avec le demi-cercle construit sur AB comme diamètre ; décrire du point A pris comme centre, avec des rayons égaux à AH et à AI, des arcs de cercle qui coupent AB aux points D et F : les droites DE et FG, parallèles à BC, donnent la division du triangle demandée . '
Si les nombres m, n, p sont égaux, le triangle se trouve divisé par ce procédé en trois parties équivalentes.
Remarque. — La division d'un trapèze en parties proportionnelles à des nombres donnés par des parallèles aux, bases, s'obtient, après le prolongement des côtés non parallèles pour former un triangle, par un procédé analogue.
311. III. Diviser un triangle enmoxjenne et extrême raison par une parallèle à l'un de ses côtés .
Diviser un triangle en moyenne et extrême raison, c'est
1018 GÉOMÉTUIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQUE
décomposer ce triangle en deux parties telles que l'aire de la
plus ^ande partie soit moyenne proportionnelle entre Taire da triangle total et celle de la plus petite partie. Gomme cette division, par une parallèle à l'un des côtés du triangle donné, détermine dans la figure un trapèze et un triangle, deux cas sont à considérer dans la Fig. 132. ^ résolution du problème : ou la plus
grande partie du triangle total est représentée par le trapèze, ou bien elle Test par le triangle partiel.
i^ Supposons d'abord que le trapèze représente la plus grande partie du triangle ABC et soit DE (/t^. 132) la parallèle demandée. On a alors
