AE AQ BE "" BO

ce qui revient à dire que les deux triangles rectangles AEO çt BEO', obtenus en menant les droites EO et EO', ont leurs

Fig. 1 ii.

côtés de l'angle droit proportionnels et par conséquent sont semblables. Il s'ensuit que les angles AEO et BEO' sont égaux, et comme ils sont les moitiés des angles sous lesquels on voit les deux cercles du point E, la proposition est démontrée.

Remarquons en outre, si Ton mène les tangentes AI et BJ, que Ton a

ÂÎ' = ABXAD = ABX(AB — DB) et BJ' = ABxBC = ABx(AB- AC),

Or AC et DB sont par hypothèse des longueurs égales, d'où

AI = BJ.

Ce que Ton aurait pu écrire immédiatement en s'appuyant

103i GÉOMÉTKIE ÉLÉMENTAIRE PKATIQUB

sur ce que la puissaace du point A par rapport au cercle 0' est égale à la puissance du point B par rapport au cercle 0.

Réciproquement, si la droite AB rencontre les cercles 0 et 0' de telle manière que les tangentes AI et BJ sont égales, les cordes AC et BD seront égales.

Ces deux lemmes démontrés, revenons au problème proposé.

Soient ABC {fig. 143) le triangle dans lequel les trois cercles 0, 0' et C répondent à la question et D, E, F leurs points de contact entre eux.

Si Ton mène les tangentes communes intérieures à ces cercles GH, JK et LM, elles se coupent en un même point I qui est le centre radical des trois cercles. Soient d'autre part N et P les points de contact des cercles 0' et 0" avec le côté BC du triangle ; on a i