AO ■" AC

c'estk-dire que Ton a, en désignant par c/^ le côté du décagone

régulier étoile,

Remarque 11. — En considérant de deux en deux les dix points de division uniforme de la circonférence, on a la division de cette ligne en cinq parties égales. Si Ton mène les cordes correspondantes, on obtient le pentagone régulier convexe, mais si Ton joint ces cinq points de division de deux en deux, on obtient le pentagone régulier étoile.

Le côté du premier, Cs, représenté {fig. 147) par la corde DE, forme avec le diamètre de la circonférence et le côté du décagone régulier étoile le triangle rectangle AED, qui donne

DE = \/aD* - AE',

ou c

Ar. ,. (v^5-H)V^v/lO-2v^

Le côté du second, ci, représenté (fig. 147) par la corde BD, forme avec le diamètre de la circonférence et le côté du décagone régulier convexe le triangle rectangle ABD, qui donne

BD = v/aD* - ÂB",

ou c: = \/ 4r' — r» -^ ; '- = /• -î—

Remarque IIl. — On divise une circonférence en 20, 40, ..., 2"X5 parties égales en la divisant d'abord en 10 parties égales, puis en divisant cbaque dixième en deux parties égales, chaque vingtième eu deux parties égales, et ainsi de suite jus-

DAVtAT. — MiriIODOL* 66

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQt'E

ou

de cir-

qu'à ce qu'on obtienne dans la circonférence entière autant de parties égales qu'en exprime le nombre 2" x 5.

Si l'on joint deux à deux et consécutivement les points de division obtenus dans chaque opération, on forme des polygones réguliers convexes de 20, 40, ..., 2«x5 côtés ; et en joignant ces points de 3 en 3, de 7 en 7, etc. (3, 7, étant premiers avec 20, 40, ..., 2'»x5). on obtient des polygones réguliers étoiles de 20, 40, ..., 2'«X5 côtés (56).

324. V. Diviser une circonférence en quinze parties égales^ Soit AMB (fig. 148) un arc égal au quinzième ée la circonférence 0. Prenons à partir du point B un arc BMC égal au

sixième de la circonférence ; nous aurons pour valeur de l'arc CA

lô

conférence, c'est-à-dire que l'arc AMB est égal à l'excès du sixième de la circonférence sur le dixième.

D'où la solution suivante : prendre sur la circonférence, à partir d'un point quelconque A un arc AC

égala son -rr-. puis du point C

un arc CB égal à son -r- : Tare AB est le quinzième de la

circonférence. Il suffit ensuite de décrire du point B pris comme centre, avec un rayon égal à la corde de l'arc AB, un arc de cercle qui coupe la circonférence en D ; d'opérer de la môme manière au point D et de continuer ainsi jusqu'à ce qu'on revienne au point A, après avoir obtenu la division cherchée. Remarque 1. — Si l'on joint deux à deux et consécutivement ces quinze points de division, on obtient le pentédécagone régulier inscrit dans la circonférence donnée, car les quinze côtés de la figure sont égaux comme cordes sous-tendant des arcs égaux et ses quinze angles sont égaux comme inscrits dans des segments égaux.

BÉSOLUTION DE PROBLÈMES 1043

Pour exprimer le côté AB en fonction du rayon de la circonférence, 4nenons le diamètre CE, joignons le point E aux points A et B, et menons les cordes AC et BC. D'après le théorème de Ptolémée (83, VIII), on peut écrire

ABxGEh-ACxBE = AExBG.

Ôrona CE=2r; AC=Cio; BE=C3; AEt=c'5; BC = r;

d'où l'on tire

AB== i!i><^"~^'oXC3

•u Ci5 = r

V/iO-f-2/5 — v/3(/5 — 1)

En joignant de 2 en 2, de 4 en 4 et de 7 en 7 les quinze points

de division uniforme de la circonférence, on obtient trois pente-

• décagones réguliers étoiles, et les seuls qu'on puisse former.

Par des procédés analogues au précédent on trouve les résuHats suivants :

/T{v/5"H-i) — v/iO — 2v'5

v^3\^— i)-uv/i0-h2/5

(fis = r 1

Cm = r

Rbmarque II. -^ On divise une circonférence en 30, 60, ..., 2"x3x5 parties égales, en la divisant d'abord en io parties égales, j)uis en divisant chaque quinzième en deux parties égales, chaque trentième en deux parties égales, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne dans la circonférence entière autant de parties égales ju'en exprime le nombre 2" x 3 x5 . Si l'on joint deux à deux et consécutivement les points de divi- •sion obtenus dans chaque opération, on forme des polyjrones réguliers convexes de 30,60, ..., 2^x3x5 c-H^'-s: eten joignant ces points de 7 en 7, de 11 en 11, etc. '7, H étant des nombres premiers avec 30, 60, . . ., 2" X3x5;, on obtient des polygones réguliers étoiles de 30, 60, ... , 2" x 3x5 côtés .56^.

325. VI. Diviser Faire d'un cercle en parties proportionnelles' à des nombres donnés par des cercles concentriques. ^

Soient OC et OB {fig. 449) les cercles qui divisent Taire dn cercle OA en parties proportionnelles aux nombres m, n, p, de

manière que Ton a couronne AB couronneSC

Fig. 149.

__ cercle OC

Si sur OA comme diamètre on décrit un demi-cercle ADO, qui rencontre les cercles OB et OC en D et en E, et si de ces points D et E on mène sur OA les

perpendiculaires DF et EG, on aura

cercle OA cercle OB cercle OC

OC