FA GF OG

La solution du problème, semblable à celle du problème II (310), est donc la suivante : partager un rayon quelconque OA du cercle donné en parties FA, GF et OG proportionnelles aux nombres donnés m, n, p ; élever en F et en G les perpendiculaires à OA ; joindre au point 0 leurs points de rencontre D et E avec le demi-cercle construit sur OA comme diamètre; les cercles décrits du centre 0 avec des rayons égaux à OD et à OE donnent la division demandée.

§ Z. — Constructions relatives aux figures ^ à trois dimensions.

326. I. Mener par un point donné une droite qui t'appuie sur dieux droites données quelconques de V espace.

Soit OP (fig. 150) la droite menée par le point 0 et qui s'appuie en E et en F sur les deux droites quelconques AB et

CD de l'espace.

Le point 0 et Tune des droites données, AB par exemple, déterminent un plan, OAB, qui contient la droite OP et qui rencontre Tautre droite CD, Or ce point de rencontre est*le point F comme étant commun à la droite CD et au plan OAB puisqu il appartient à la droite OP située dans ce plan.

D'où la solution suivante : mener par le point donné 0 et Tune des droites données, AB, le plan qu'ils déterminent ; chercher l'intersection F de ce plan et de la seconde droite CD : f la droite OF répond à la question et il n'y en a pas d'autre. Le problème est impossible ou indéterminé suivant que la droite CD est parallèle au plan OAB ou s'y trouve contenue.

Remarque. — On peut résoudre le problème en menant \es deux plans OAB et OCD : la droite cherchée est alors rintersection des deux plans.

327. II. Construire les trois faces d*un triédre dont on donne les trois dièdres,

Los trois faces du trièdre demandé sont les suppléments des trois dièdres du trièdre supplémentaire, de même que dans ce* dernier les trois faces sont les suppléments des trois dièdres du premier. ^

De sorte que pour résoudre le problème on prend les suppléments des trois dièdres donnés, on considère le trièdre supplémentaire qui les a pour faces et Ton en détermine les trois dièdres (290) : les suppléments de ces dièdres sont les faces du trièdre cherché.

328. III. Etant données trois droites telles que deux quelconques d*entre elles ne sont pas dans un même plan^ construire un parallélépipède dont ces trois droites soient des arêtes.

Soit ABCDEFGH (fig. 151) le parallélépipède demandé, dont les trois droites données IJ, KL et MN sont des arêtes.

Les faces ABFË et ADHE qui contiennent la droite U sont J respectivement parallèles aux droites KL et MN ; les faces

DABC et DCGH qui contiennent la droite KL sont respectivement parallèles aux droites MN et AJ ; enfin les faces 6FBC et GBEF qui contiennent la droite MN sont respectivement parallèles aux droites AJ et KL.

D'où la solution suivante : par chaque droite donnée mener deux plans respective- * ment parallèles aux deux autres droites : les intersections des six plans ainsi obtenus déterminent le parallélépipède cherché.

Fig. 151.

HÊSOLUTION DE PROBLÊMES

329. IV. Couper un cube par un plan tel que la section soit ^n hexagone régulier.

Pour donner une section qui soit un hexagone, le plan sécant doit rencontrer les six faces du cube et par suite six -de ses arêtes, dans le passage successif du contour de la section sur les six faces du H L a