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Fig.152.

solide. Dans le cube ABCDEFGH {fig, 152), rhexagone qui a pour sommets les milieux I» J, K, L, M et N des six arêtes AB, BG, CG, GH, HE et EA, répond à la question. Pour le prouver, il faut démontrer que la figure IJKLMN est plane et qu'elle est un hexagone régulier.

La droite U qui joint le milieu de Taréte HG au milieu de Tarête opposée AB passe nécessairement par le centre 0 du cube ; il en est de même •des droites analogues HJ et NK. D'autre part la droite NE est parallèle à la diagonale EG de la face EFGH, et comme la droite ML est aussi parallèle à EG» il s'ensuit que NK est parallèle à la droite ML du plan déterminé par les deux droites LI et M J 'y de plus, parce qu*elle a un point commun avec ce plan, ie point 0, elle y est tout entière contenue. Ainsi les trois droites LI, MJ et NK sont toutes les trois dans un même plan ; la figure IJKLMN est donc plane.

Considérons maintenant un des six triangles réunis autour du point 0, le triangle MOL par exemple. Le côté ML est égal à la moitié de la diagonale EG de la face EFGH ; MO est égal à la moitié de la droite MJ ou de son égale la diagonale EB dé la face ABFE, et comme les diagonales de toutes les faces du ^ube sont égales, il en résulte que MO est égal à ML. On démontrerait de même que LO est aussi égal à ML. Il suit de là que le triangle MOL est équilatéral. Par le même raisonne-

1048 GÉOMÉTRIE ÉLÉME?(TÂIR£ PRATIQUE

ment on établirait que les cinq triangles MON, NOI, lOJ, K)K et KOL sont équiiatéraux, et comme ils ont detix à deux un côté commun, on en conclut qu'ils sont tous égaux entre eux. La figure qui les réunit tous est donc un hexagone régulier.

Il est à remarquer que le périmètre de cet hexagone régulier n'a aucun point commun avec les six arêtes qui aboutissent aux deux sommets opposés D et F ; de plus que la diagonale DP du cube qui joint ces deux points a ses deux^ extrémités distantes de chaque sommet de Thexagone d'une longueur égale à Thypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit Taréte et la demi-arète du cube, par conséquent que la droite DF est perpendiculaire au plan de Thexagone.

Enfin, il convient d'ajouter que l'hexagone régulier peut être obtenu par quatre sections difîérentes pratiquées dans le cube, toutes passant par le centre du solide et étant respectivement perpendiculaires à ses quatre diagonales DF, AG» BH et CE.

330. V. Diviser un tétraèdre en quatre tétraèdres équivalents de manière qu'ils aient chacun une face appartenant au tétraèdre donné et que le sommet opposé à cette face leur soit commun.

Soit un tétraèdre quelconque S ABC (fig. 153). Pour qu'un tétraèdre ayant pour face ABC, par exemple, soit équivalent au quart du tétraèdre SABC, il faut que celui de ses sommets qui est opposé à cette face en soit à une distance égale au quart de

la distance du sommet S à la même

éface dans le tétraèdre SABC. Ce sommet se trouve donc dans le plan mené parallèlement à ABC à une distance égale au quart de la distance du sommet S à cette même ^ face. Si l'on considère de môme les deux tétraèdres qui auraient pour faces, l'un ASB par exemple, et B l'autre BSC, et qui seraient équiva-

^'»?^^'' lents au quart du tétraèdre SABC,

dans chacun d'eux le sommet opposé à la face envisagée se trouve dans le plan mené parallèlement à cette face, à une dis-

tance égale au quart de la distance, dans le tétraèdre SABC, du sommet opposé, C ou A, à cette même face ASB ou BSC. 11 suit de là que le sommet commun aux quatre tétraèdres partiels se trouve à Tintorsection des trois plans considérés, et comme les faces ABC, ASB et BSC, auxquelles ces trois plans sont parallèles, ont un point commun et un seul, le point B, les trois plans ont aussi un point commun et un seul. Soit 0 ce point dMt il s'agit de fixer la position.

A cet effet, menons la droite SO et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en D avec la face ABC. Le point 0, situé au quart de la distance du point S à la face ASB, détermine sur la droite SD un segment CD égal au quart de SD. Menons de môme la droite CO et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en E avec la face ASB. Le segment OE est aussi égal au quart de CE. Le plan déterminé par les deux droites SD et CE coupe Taréte AB au point F et les deux faces ASB et ABC suivant les deux droites SF et CF. En joignant E et D, les deux triangles EOD et SOC, semblables comme ayant un angle égal, EOD = SOC, et les côtés qui comprennent cet angle proportionnels, donnent

ED OD^ j

se ~ "SÔ" "" 3 ■ D'un autre côté les deux triangles EFD et SFC sont aussi semblables, car de la similitude précédente on tire que la droite ED est parallèle à la droite SC; or ces deux triangles donnent