DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION

. 19D. II. Transcrire un nombre d'un système de base donnée a \ dans le système décimal.

Soit N le nombre écrit dans un système de base a. Un

! nombre étant égal à la somme des valeurs relatives de ses chiffres, si l'on exprime celte valeur dans le système décimal pour chacun des chiffres du nombre N et si Ton additionne ensuite dans ce même système les divers résultats obtenus, on aura le nombre N écrit dans le système décimal. On déduit de ce raisonnement la règle suivante : Pour transcrire dans le système décimal un nombre d'un système dont la base est a, on multiplie les chiffres de ce nombre en allant de droite à gauche respectivement par les nombres 1, a, c^, a*^ ...y écrits dans le système décimal et l'on additionne tnsemble tous les résultats obtenus : tous les calculs étant effectués dans le système décimal^ le total donne la transcription demandée*

' 191. 111. Transcrire un nombre d'un système de base a dans «/< système de base b.

On résout généralement ce problème en passant par Tintermédiaire du système décimal, c'est-à-dire en transcrivant d*abord le nombre du système de base a dans le système décimal, pour le transcrire ensuite dans le système de base 6» et cela revient à résoudre successivement les problèmes II et I précédents.

11 est cependant deux procédés directs pour effectuer cette résolution, qui consistent à appliquer au problème proposé, lun, la règle du problème I, avec cette modiûcation que les diTisions successives par b sont faites dans le système de base a, Taulre, la règle du problème II, avec cette moditication que les nombres a, a*, a", ... sont écrits dans le système de base b et que tous les calculs sont faits dans ce même système .

Hais à ces opérations, dont on n*a pas Tbabitude, on préfère l'application du procédé indirect.

192. IV et V. — Les deux autres problèmes relatifs au calcal de la base d'un système de numération sont du domaine de TAlgèbre. Chacun d'eux conduit à une équation à une

inconnue dont le degré est égal au nombre de chiffres moins un de la figure donnée par ce système au nombre sur lequel on opère.

193. Certaines propriétés des nombres peuvent être établies I)ar la considération des divers systèmes de numération. En voici un exemple :

Tout nombre peut être écrit dans un système quelconque, par conséquent dans le système binaire, c'est-à-dire celai dont la base est 2. Or, dans ce système les deux seuls chifTres usités sont 1 et 0. Il s'ensuit que tout nombre y est terminé à droite par 1 ou par 0, et comme la valeur relative de chacun de ses autres chiffres est une puissance de 3, qui va croissant de droite à gauche, on peut énoncer cette proposition :

Tout nombre entier est une somme exacte de puissances de 2 ou une somme de puissances de 3 augmentée de 1.