DIFFÉRENTS STSTÈMES DE NUMÉRATION

187. CoDsIdéraifons générales. — Le système de numération d'usage général et dont nous nous sommes exclusivement servi dans toute cette partie théorique de l'Arithmétique est le système décimal, c'est-à-dire celui dans lequel il faut dix unités d'un ordre quelconque pour faire une unité de Tordre immédiatement supérieur, et Ton sait que ce nombre dix s'appelle pour cette raison la base du système.

Mais si Ton prend pour base un nombre quelconque différent de dix, on aura un autre système de numération différent ilu système décimal. Ajoutons cependant que ce nombre ne peut pas être inférieur à 2, car s'il était i, les unités des divers ordres seraient toutes égales entre elles et ce ne serait pas, à vrai dire, un système de numération qui en résulterait.

Soit donc a la base d'un système. D'après le raisonnement fait à propos de la numération (32), pour écrire tous les nombres de ce système, il suffira d'avoir a chiffres dont un sera le chiffre 0 et dont les autres serviront à désigner les (a — \) premiers nombres, puis de convenir encore que tout chiffre placé à la gauche d'un autre représentera des unités d'un ordre immédiatement supérieur, et que le chifl're zéro, qui n'a pas de valeur, remplacera les ordres d'unités qui pourront manquer dans le nombre à exprimer.

Il suit de là que si a est inférieur à 10, on désignera les (a — 1) premiers nombres par les (a — i ) premiers chiffres de notre numération décimale. Si au contraire, a est supérieur à 10, comme il faudra désigner encore les (a — 1) premiers nombres par (a — 1) caractères, il sera nécessaire d'en ajouter d'autres aux neuf du système décimal. Pour rai-

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sonner sur des systèmes de ce dernier genre, on prend généralement comme caractères complémentaires les premières lettres de Talphabet grec, oc, ^, y, etc.

La rè^le à suivre pour écrire un nombre dans un système quelconque de numération est la môme que celle qui a été établie pour écrire un nombre dans le système décimal.

188. TranscrlpUon d*un nombre d*un système dans un autre. — Cela dit, on peut se proposer de résoudre le problème de la transcription d*un nombre d'un système de numération dans un autre.

Ce problème comprend quatre termes : les deux bases des si^slèmes considérés et les deux figures du nombre dans ces systèmes. Or, un nombre, quel que soit le système dans lequel il est écrit, est toujours égal à la somme des valeurs relatives de ses chiffres; de plus, la valeur relative de chacun de ses chiffres est égale au produit de sa valeur absolue par une puissance de la base dont l'exposant est le nombre, dimin^é de i, qui indique Tordre d'unités représenté par ce chiffre. Il en résulte que les quatre termes du problème sont liés entre eux par cette relation que la somme des valeurs relatives itt chiffres qui donnent la figure d'un nombre dans un système quelconque de numération est égale à la somme des valeurs rela-, ticM des chiffres qui donnent la figure de ce même nombre dans un autre système quelconque différent du premier. D'où il suit qu'on peut déterminer Tun quelconque de ces quatre termes lorsqu'on connaît les trois autres, et par conséquent que ces quatre termes peuvent être considérés successivement comme les inconnues de quatre questions différentes. Mais comme ces termes sont deux à deux de même espèce (deux bases, deux û^res), le problème général ne comporte en somme que les deax questions suivantes :

i*' Transcrire un nombre d'un système de base donnée dans on autre système de base également donnée ;

^ Connaissant les figures d'un nombre écrit dans deux systèmes différents et la base de l'un de ces systèmes, trouver la base de l'autre.

Toutefois^ lorsque Tun des syslèmes est le système décimal, run des quatre termes du problème géuéral est la base lO, qui est constante, tandis que les autres varient avec les données : de là les trois questions particulières suivantes à ajouter aux deux précédentes :

S*" Transcrire un nombre du système décimal dans un système de base donnée ;

A^ Transcrire un nombre d'un système quelconque de base donnée dans le système décimal ;

5® Connaissant les figures d'un nombre écrit dans le système décimal et dans un système difTérent, trouver la base de ce dernier système.

Ces cinq questions, nous allons les examiner dans l'ordre suivant.

189. I. Transcrire un nombre du système décimal dans un système de base donnée a .

Soit N le nombre décimal donné. La base a du système dans lequel on veut transcrire ce nombre, désignant le nombre d'unités d'un ordre quelconque nécessaire pour former une unité de l'ordre immédiatement supérieur, si Ton divise N par », le quotient Ni donnera le nombre d'unités du second ordre et le reste r sera le chiffre des unités du premier ordre. Si l'on divise de même Ni par a, le quotient Ns donnera le nombre d'unités du troisième ordre et le reste n sera le chiffre des unités du second ordre. En continuant ainsi, on arrivera à un quotient N^ inférieur à a ; ce quotient sera le chiffre des unités de Tordre le plus élevé du nombre à écrire. On aura donc la représentation chiffrée de ce nombre en écrivant successivement de droite à gauche les chiffres r, ri, ..., Nj,.

D'où, la règle suivante :

Pour transcrire un nombre du système décimal dans un système dont la base est a, on divise ce nombre par a, puis le quotient par a et Von continue ainsi jusquà ce qu'on arrive à un quotient plus petit que a. Les restes successifs et le dernier quotient obtenus i écrits de droite à gauche, donnent la transcription demandée.