MÉTHODES ET PROCÈDES DE DÉMON STRATIOH DES THÉORÈMES ARITHMÉTIQUES

195. Les vérités arithmétiques sont en si grand nombre et d'ordres si divers qu'il est bien difficile» pour ne pas dire impos* 'eible, de les classer d'une manière rigoureuse.

Il en est de même, par voie de conséquence, des . procédés auxquels on a recours pour démontrer ces vérités.

En dehors des trois méthodes générales de raisonnement, analyse, synthèse et réduction à Tabsurde, qui trouvent ici leur emploi, nous signalerons comme procédés utilisés dans les différents modes de démonstration des théorèmes, les transformations d'expressions, les transfonnations et les corn* binaisons d'égalités ou d'inégalités, etc.

C'est par Tapplicalion de ces procédés à la démonstration de quelques propositions d'arithmétique que nous entrerons dans les subdivisions de ce chapitre,

§ I. — Transformations d'expressions arithmétiques*

196. I- Le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence des carrés de ces nombres.

Soient a et 6 deux nombres quelconques, mais tels cependant que a soit plus grand que 6. Le produit [a-^b)[a — b) de leur somme par leur différence s*effectue par Tapplication des deux théorèmes arithmétiques relatifs respectivement à la multiplication d'un nombre par une différence et à celle d'une somme par un nombre, et donne pour résultat a^ — 6', qui répond à l'énoncé du théorème proposé.

En écrivant -que les deux expressions (a-t-6)(fl — 6) et fl2 — 6* sont égales :

(a-h6)(a — 6) = a» — 6», on a la traduction littérale de ce théorème.