II. La somme 1 r- h donne lieu à une

fraction périodique mirte.

En réduisant les trois Tractions proposées au même dénominateur pour en mettre la somme sous la forme d'une seule fraction, on obtient comme expression équivalente à

n n-l-i nH-2 la suivante :

. (n-+-l)(n + 2) + n(n-+-2)H-y^(nH-i)

^ n(n-+-lXn-+-2)

Si n est pair, n-^t est aussi pair et l'un de ces deux nombres est au moins doublement pair, c'est-à-dire divisible par 4, car n et n + t sont deux nombres paii s consécutifs ; il s'ensuit que le dénominateur de l'expression (1) contient au moins trois fois le facteur 2. Quant au numérateur, il ne con* tient qu'une fois le facteur 2, car dans l'hypothèse n h- 1 est

impair, et quel que soit celui des deux nombres n et n +2 qui est simplement pair, il y a un des termes (n -t- !)(« -H 2) et n(n -^ l) qui est nécessairement simplement pair.

Si n est impair, in-2 est aussi impair ; mais nn-i est pair et le dénominateur de l'expression (1) contient au moins une fois le facteur 2. Quant au numérateur, il ne contient pas le facteur 2 parce que le second terme n{n + 2) est impair comme étant le produit de deux nombres impairs.

Ainsi, que n soit pair ou impair, le dénominateur de l'expression (i) contient le facteur 2 au moins une fois de plus. que le numérateur et le conserve ainsi au moins une fois après que cette expression convertie en nombre a été rendue irréductible par toutes les simplifications possibles.

D'autre part, ce même dénominateur, égal au produit de trois nombres consécutifs, contient au moins une fois le facteur 3, car sur 3 nombres entiers consécutifs, il y en a toujours un et un seul qui est divisible par 3 ; mais dans ces conditions le numérateur n'est pas divisible par 3, car ses trois termes (n-h i ]{n -+- 2), n(n -h 2) et n{n h- i) . étant les produits de trois nombres consécutifs pris deux à deux comme facteurs, il y aura nécessairement un de ces termes qui ne sera pas divisible par 3 comme ne contenant pas celui de ces trois nombres qui est divisible par 3.

En résumé, la fraction (i), réduite à sa plus simple expression, après que n y a reçu une valeur quelconque de nombre entier, conserve au dénominateur au moins une. fois chacun des facteurs 2 et 3; elle donne donc naissance à une fraction périodique mixte.

198. III. Démontrer que tout nombre de la forme 4i/*H-x* n'est jamais premier .

4y* et x^ étant les carrés respectifs des nombres 2ï/* et x*, si l'on ajoute à leur somme 4y* -h a* le double produit de 2j/* par x^^ ou 4j/V, le résultat donnera le carié de ^y^-i-x^; mais en retranchant de ce carré le même double produit Ay^x^y on reviendra à l'expression 4j/* -+- a?*, qui aura ainsi pour équivalente la suivante :

laquelle, décomposée, comme étant la différence de deux carrés, en un produit de deux facteurs, deviendra

Le premier de ces facteurs est essentiellement un nombre entier plus grand que l'unité, dans l'hypothèse sous-entendue que 1/ et X représentent Tun et l'autre des nombres entiers ; il en est de même du second, qui peut se mettre sous une des deux formes entières {y — ar)*-l-j/^ ou (x — ?/)'H-y*, suivant que Ton a y>x ou x';> y.

lien résulte que tout nombre de la forme 4y*-har^ est toujours divisible, quelles que soient les valeurs entières de x et de y, par deux nombres entiers différents de lui-même et de Tunité ; il n'est donc jamais premier.

' § II. — Transiormationâ et combinaisons d^égalités.

199. I. La diff'érence entre un nombre entier et son cube est égale au produit de ce nombre par le nombre entier qui le précède et celui qui le suit immédiatement.

Si dans l'expression k^ — k, qui représente la différence

d'un nombre entier k et de son cube AS on met k en facteur

commun, il vient

et comme on a /r* — i = (A- — i)(A; -4- i ),

on peut donc écrire A' — k = k{k — i){k ■+- 1). C. Q. F. D.

Remarque. — Cette décomposition, en un produit de trois facteurs, de la différence entre le cube d'un nombre et ce nombre montre que cette différence est toujours divisible par 6, car les trois facteurs sont trois nombres entiers consécutifs dont un au moins est divisible par 2 et dont un est nécessairement divisible par 3.

200. H. Jm. différence entre le carrr de la somm^. de dntx nombres et le carré de leur différence est égale à A fois le produit de res deux nombres.

Soient deux nombres quelconques a et h tels que Ion a a>b. Le carré (a -h 6;* de leur somme donne, par un développement arithmétique facile,

ou

(1) (a -f by = (a* H- A*) h- 2aA.

Celui de leur différence, (a — hy^ dont le développement s^obtieot par Fapplication des théorèmes relatifs respective-; ment aux produits d'un nombre par une différence (58, V) et d'une différence par un nombre (58, IV), ainsi qu'au moyen de soustraire une différence d'un nombre (49, III), donne l'égalité

(a — 6)» = a« — 2aA-H6», ou

£n retranchant membre à membre les égalités (1) et (2), la seconde de la première, il vient

(a-^rby^{a — by =:Aab. C.Q.F.D.

Remarque. — Cette dernière relation, entre les trois quantités (a-hby, {a — by et ab, qui sont le carré de la somme de deux nombres, le carré de la différence de ces nombres et le produit de ces mêmes nombres, permet de trouver Tune quelconque de ces trois quantités connaissant les deux autres. Onen tire ainsi les conséquences suivantes :

V Le carré de la somme de deux nombres est égal au carré de leur différence augmenté de 4 fois leur produit ;

i" Le carré de la différence de deux nombres est égal au carré de leur somme diminué de 4 fois leur produit ;

3"* Le produit de deux nombres est égal au quart de la différence entre le carré de leur somme et le carré de leur différence.

Nous aurons plus d'une fois Toccasion de faire appel à Tune ou à Tautre de ces conséquences.

201. m. J^ carré d'un nombre premier autre que ^ et 3 est. un multiple de 24 plus un.

Soit p un nombre premier autre que 2 et 3. Considérons le

nombre p — i, qui le précède dans la suite des nombres entiers naturels, et le nombre p -f-1, qui le suit. Par hypothèse, p n*e8t divisible ni par 2 ni par 3 ; il s^ensuit que p — I et p + i sont tous les deux pairs, que Tun est au moins doublement pair, puisque ce sont deux nombres pairs consécurils, de pins, que Tun des trois nombres entiers consécutifs p — 1 , jt) et p + 1 est divisible par 3, et comme ce ne peut être p, que c*est nécessairement l'un des deux autres. 11 résulte donc de ces diverses considérations que le produit (p-i)(p-Hl) contient au moins trois fois le facteur â et au moins une fois le facteur 3. On peut donc écrire

(p — i)(p-Hl) = mx2'x3,

ou, «n effectuant les calculs indiqués,

d'où Ton tire, en ajoutant Tunité aux deux membres de cette

dernière égalité,

p« = mx24-+-l. C. Q. F. D.

202. IV. Si un nombre pair est la somme de deux carrés ^ sa moitié est aussi la somme de deux carrés.

Soit tk un nombre pair égal à la somme des carrés des deux nombres entiers a et 6, a représentant le plus grand des deux. On a

Si Ton pose, ce qui est toujours possible,

et n = — - — 5

et qu*ensuite on additionne, d'une part, et l'on retranche,

d'autre part, ces deux dernières égalités membre à membre, il

vient

En remplaçant, dans l'égalité (1), a et 6 par leurs valeurs

tirées des relations (2), on a

2A- = (m -+- n)* -h {m— w)V et, en développant le second membre de cette dernière égalité,

d'où Ton obtient, par la suppression du facteur 2 dans les deux

membres,

Or m et n sont des nombres entiers, car la relation (1) ne peut exister qne si a et 6 sont tous les deux pairs ou tous les deux impairs; mais alors leur somme {a-\-b) ou fm et leur différence {a — b) ou 2n sont paires, et m et n sont deux nombres entiers.

Le théorènoe est ainsi démontré.

§ m. — Traxisiormations et combinaisons d'inégalités.

203. 1. Dans une divisian de deux nombres entiers, le reste est toujours plus petit que la moitié du dividende.

Désignons le dividende, le diviseur, le quotient et le reste de la division respectivement par les lettres D, rf, q et r. Le reste, par définition, étant plus petit que le diviseur, on a

r<d; et comme q est un nombre entier, a fortioH a-t-on

Or, si Ton ajoute r à chacun des membres de cette dernière

inégalité, il vient

2r < rf X ^ -h r,

et comme on a, d*autre part,

D = rfXgr-hr, on peut écrire 2r < D,

ou, en divisant les deux membres par 2,

204. II. Lorsque plusieurs fractions sont inégales, une fraction

DàCUT. — MÉTBODOL. 1 1

<r/u{ a pour numérateur la somme des numérateurs de toutes les fractions considérées et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs est comprise entre la plus grande et la plus petite de ces fractions.

Soient les fractions inégales -^9 —1 -jj^ et représentons ;

la plus grande et la plus petite respectivement par les lettres q et (f. On aura les inégalités suivantes :

desquelles on tire ces autres :

bq ^ a ^ bq\ b'q > a' > b'q\ b'q > a' > bY-

En additionnant ces dernières inégalités membre à membre,

il vient

d'où, en divisant les trois membres par 6 4-6' -h 6',

^>FTVZ^^>^' C.Q.F.D.

§ IV. — Procédés divers.

205. I. Tout nombre premier plus grand que 3 est un multiple de 6 plus ou moins 1.

Il s'agit de prouver que tout nombre premier plus grand que 3 appartient à Tune des deux formes 6A-t- 1 ou 6A — 4.

Considérons les six expressions suivantes :

ejfe-f-i, 6A:-4-2, 6A;-h3, 6/:+ 4, 6A:H-5, 6A-h6; et écrivons au-dessous de chacune d'elles les nombres aux-

quels elle donne naissance en faisant k successivement égal àO, 1,2,3,4, etc.

On aara le tableau :

pour A* = 0

Dans ce tableau, qui contient, sans interruption, la suite naturelle des nombres, la deuxième colonne, la quatrième et la sixième donnent les nombres pairs ; la troisième donne des multiples de 3 ; il en résulte que la première colonne et la cinquième seules contiennent les nombres premiers autres que 2 et 3 ; en d'autres termes^ que les nombres premiers antres que 2 et 3 rentrent tous dans les deux formules 6A + i et 6^ -h 5. Or cette dernière peut se mettre sous la forme 6(A-f-i) — i, qui n'est autre que 6A' — i, en posant

fc'rzifcH-l.

Le théorème est donc vrai.

Remarque I. — Au lieu d'avoir recours, pour cette démonstration, aux six expressions 6/; + i , 6A + 2, etc., on aurait pu se servir des six suivantes :

qui auraient donné, en faisant k successivement égal à i, 2, 3, 4, etc., la suite ininterrompue des nombres entiers naturels écrits de droite à gauche, et, dans les seules colonnes ayant pour point de départ 6A— 1 et 6A — 5, les nombres premiers autres que 2 et 3. Et comme l'expression 6A — 5 est égale à 6(A — l)-f-i, ou à ôA'-i-l, en posant k! = k—\, OD retrouve ainsi les deux formules précédentes. Remarque II. — Si tous les nombres premiers autres que 2

16i ARITHMÉTIQUE PRATIQUE

et 3 appartiennent à la double formule 6A±:i, la réciproque n'est pas vraie, c'est-à-dire que tous les nombres qu'elle comprend ne sont pas premiers.

206. II. Uexpression 3.5*""^* -h î'""^* est divisible par 17 quelle que soit la valeur attribuée à n.

Lorsqu'on remplace n successivement par les nombres 0, i, 2, 3, . . ., le premier terme prend des valeurs qui, divisées par 47, donnent les buit restes successifs, qui se reproduisent périodiquement, iS, i, 8, 43, 2, 46, 9 et 4; et le second terme prend de sgn coté des valeurs qui, divisées par 17, donnent les restes successifs, qui se reproduisent aussi périodiquement et sont en même nombre que les précédents, 2, 16, 9, 4, 45, 4,8 et 43. Or ces derniers restes sont les compléments respectifs à 47 des précédents : l'expression est donc divisible par 17 quel que soit n.

207. III. Le produit de n nombres entiers consécutifs est dioisible par le produit des n premiers nombres entiers.

Considérons d'abord le cas de deux nombres entiers consécutifs, et soient m et 7/1 + 1 ces deux nombres. Leur produit est divisible parle produit 4 .2 ou 2, car sur deux nombres entiers consécutifs il y en a toujours un qui est pair.

Le produit 7»(mH-4)(mH-2) de trois nombres entier^ consécutifs est de son côté divisible par le produit 4 .2.3 ou 6, car d'après ce qui précède, il est divisible par 2, et sur trois nombres consécutifs il y en a toujours un divisible par 3.

Par des procédés analogues, on pourrait démontrer que 4e produit de 4, 5, 6, ... nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des 4, 5, 6, ... premiers nombres entiers.

Mais la démonstration ne peut être complète et générale que si nous prouvons que lorsque le théorème est vrai pour n — 4 nombres entiers consécutifs, par exemple, il est aussi vrai pour n de ces nombres.

Soit w(in-hl)...(mH-n— 1) le produit de n nombres entiers consécutifs ; le quotient de ce produit par le produit 4.2 ... n des n premiers nombres entiers donne lieu à l'identité suivante :

^ m(mH-l)(m-|-2)...(m-+-n — 2) wi H-n — 1 "" i.!4.3...(n— i) ^ n '

qui peat s'écrire

m(w-hl)(m-+-2)...(m-|-n — i)

ou enfin

Tii(m-hl)(m-f-2)...(wH-n— 1) __ m(wn-J)(m-h2)...(m-+-n— 2) 1.2.3. ..n ~ i.2.3...(n-l)

(m— l)m(m+l). . .(m4-n—2) 1 .2.3. . .fi

Quelle que soit la Valeur de m, cette identité existe; si donc on donne à m lés valeurs successives m — i, m — 2, . . ., 2, on aura la série d'identités suivantes :

(m — l)m(m-+-l)...{m-+-n — 2) (m — !)m(m-hl)...(w-+-n — 3) 1.2.3. ..n "*" 1.2.3. ..(n — 1)

(m — 2)(m — i)m.,,{fn'^n — 3) 1.2.3. . .n

(m— 2)(wi — l)m...(mH-w — 3) __ (m — 2)(m — l)m...(m-Hn— 4) 1.2.3. ..n "~ 1.2.3. ..(n — 1)

(m-^3)(m— 2)(m— 1 ) . . .(mn-n— 4) 1.2.3. ..n . . . . •

En additionnant membre à membre toutes ces identités à partir de (1), et en supprimant les termes communs aux deux membres de Fégalité résultante, il vient

(?rt — l)m(m-f-l)...(m-hn — 3)

(wi — 2)(m — l)Tn...(m-+-n — 4)

Le dernier terme du second membre est identiquement égal à Tunité, et chacun des autres représente le quotient de n — i nombres entiers consécutifs quelconques, variables d'un terme à l'autre, par le produit des n — 1 premiers nombres entiers.

Si le théorème est vrai pour n — 1 nombres entiers consécutifs, le second membre de Tégalité se réduit donc à un nombre entier ; il en est de même du premier et le théorème est vrai pour n nombres consécutifs.

Or, à ne considérer qu'un seul des cas particuliers examinés au début de ctte démonstration, le théorème est vrai pour le cas de 2 nombres entiers consécutifs, il est donc vrai pour le cas de 3, de 4, de 5,... et, d'une manière générale, de n nombres consécutifs.

On donne à ce mode de démonstration le nom de procédé d'induction .

i^ V. — DémonstrationB analsrtiques.

208. I. Un nombre impair quelconque est premier avec la moitié du nombre entier suivant.

Soit 2A; -i- 1 un nombre impair quelconque ; 2Â; h- 2 sera le nombre entier suivant, dont la moitié aura pour expression A-hl. Il s'agit de prouver que 2/:h-1 est premier avec

k-^i. La différence de ces deux nombres est k. Si Ah-I et k ne sont pas premiers entre eux, ils auront au moins un dinseur commun qui divisera leur somme 2i + 1» et alors îk-hi et A: + l ne seront pas premiers entre eux. Mais si k-^i et k n'admettent pas de diviseur commun, il n'y aura pas de nombre qui divisant Tun d'eux, k-hi par exemple, sans diviser Tautre ft, divisera leur somme 2A h- 1 ; 2A -hI et k-hi seront donc premiers entre eux. La question est ainsi ramenée à prouver que 'Deux nombres entiers consécutifs quelconques k et A-f-i sont premiers entre eux.

Cette proposition est évidente, parce que deux nombres entiers consécutifs ayant pour différence Tunité, tout diviseur commun à de tels nombres, pour diviser cette différence, ne peut être lui-même que l'unité.

209. II. Pour qu'un nombre soit divisible par 6^ il faut et il suffit qu'en ajoutant le chiffre des unités à A fois la somme de tou9 iej autres^ on obtienne un multiple de 6. Soit le nombre 38712. Si Ton peut établir l'égalité suivante : (1) 38712= m.64-[(3-+.8-h7H-l)x4-h2], il sera facile, par un raisonnement connu, de démontrer le théorème proposé. En effet, le nombre 38 712 pouvant être eoDsidéré comme formé de deux parties. Tune qui est un multiple de 6, et l'autre qui égale la somme du chiffre des unités et du quadruple des autres chiffres, on dira : si le nombre 6, qui divise la première partie, divise la seconde, le nombre donné sera divisible par 6 (la condition sera montrée soflisante) ; mais s'il ne la divise pas, le nombre donné ne sera pas divisible par 6 (la condition sera montrée nécessaire).

Or l'égalité (1) se déduit naturellement des suivantes en les ^dilionnant membre à membre :

10 = m''^6-f-lX4

La question est donc ramenée à la démonstration de cet autre théorème :

Tout nombre formé d'un chiffre significatif suivi de zéros est un multiple de 6 plus quatre fois ce chiffre significatif.

Il faut démontrer que Ton a, par exemple,

8000 = me H- 8x4.

Or cette égalité, à son tour, peut se déduire de la suivante :

en en multipliant les deux membres par 8. Ce qui conduit à démontrer le théorème qui suit : Toute puissance de 10 est un multiple de 6 plus 4. Pour la première puissance de 10, on a bien» en effet,

Pour les suivantes, on obtient successivement :

ou, en remplaçant 4 par 6 — 2,

= (fM6H-4)(6-|-4),

ou, en remplaçant 4 par 6 — 2,

= in,6 -H 4 ;

et ainsi de suite. On conçoit, en eifet, que si la proposition est vraie pour une n« puissance quelconque de 10, elle sera vraie pour la (n + 1)' puissance, car de Tégalité

on obtiendra 10»-+-* = (m^fi + 4)(6 h- 4),

et, en remplaçant 4 par 6 — 2,

MÙrUODBS DE DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES 169

Cette dernière proposition étant ainsi reconnue vraie, tontes les autres, en remontant de proche en proche jusqu'à la proposée, s'en déduisent successivement par voie de conséquence, ainsi qa'on Ta fait voir, et la proposée se trouve de la sorte démontrée.

§ VI. — Démonstrations synthétiques.

210. I. La différence des carrés de deux nombres impairs quelconques est divisible par 8.

La démonstration de ce théorème repose sur cet autre que nous allons d'abord établir :

Le carré de tout nombre impair est un multiple de 8 plus 1.

Soit 2A + i un nombre impair ; on a

on^ en groupant les deux premiers termes du second membre et mettant Ak en facteur commun,

{U-hiy = 4ft(Ai-hl)-hi.

Les deux nombres k et A + i étant consécutifs, Tun des deux est nécessairement divisible par 2; il en résulte que le produit 4^(A;h- i) est un multiple de 8. On peut donc écrire

Gela établi, revenons au théorème proposé et soient ^k + 1 et 2// + I deux nombres impairs quelconques. D'après ce

qui précède, on aura

(2A-hi)« = m.8-Hi

et (2A''-Hl)«=m'.8 4-i,

d'où, en retranchant ces deux égalités membre à membrOi (2A H- i)* — (ÎA'-I- 1)2 = m.8 — m'.8

211. II. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit premier est qu'il divise le produit^ augmenté d'une unité, de tous les nombres entiers qui lui sont inférieurs, (Théorème de Wilson.)

Cet important théorème fournit la seule propriété exclusî et partant caractéristique des nombres premiers.

Pour le démontrer, nous avons besoin d'établir préalablement les deux principes suivants :

i° Si a et n sont deux nombres premiers entre eux^ les (n — 1) premiers multiples de a divisés par n donnent pour restes^ dans un certain ordre^ les ?i — 1 premiers nombres entiers.

Soient a, 9a, 3a, . . . , (n — i)a les n — i premiers multiples de a. Gomme n est premier avec a et supérieur à chacun des facteurs 1, 2, 3, . .,. , (n — 1), il ne divise aucun de ces multiples de a.

D'autre part, tous les restes obtenus dans la division de ces multiples par a sont différents, car si deux de ces multiples ah et ak donnaient des restes égaux, leur différence a{k — A) serait divisible par n (74, III), ce qui ne peut pas être, puisque n est premier avec a et qu'il est plus grand que {k — h) comme étant supérieur à chacun des nombres k et h.

Les n — 1 restes, étant ainsi tous différents et inférieurs à n, représentent donc, dans un certain ordre, les n — 1 premiers nombres entiers.

2® Si p est un nombre premier plus grand que 2, il divise le produit 2x3x4X...x(p — 2) diminué d'une unité.

Soit h Tun des facteurs de ce produit ; nous disons qu'il

existe dans ce même produit un autre facteur /:, et un seul,

tel que Ton a hk = mult. de p -hi. En effet, considérons la

suite

Gomme p est premier avec /i, il y a dans cette suite, d'après le principe précédent, un terme, et un seul, qui divisé par p donne 1 pour reste. Ge terme ne peut être ni A, ni A*, ni (p — 1)A : le terme A, plus petit que p, divisé par p donne pour reste A; si A* divisé par p donnait pour reste 1, A* — i ou (A -h 1)(A — 1) serait divisible par p, ce qui est impossible, p étant premier absolu et plus grand que chacun des facteurs A -ni et A — 1; enfin, (p — i)A, étant égal à p(A — i)-f-(p — A), divisé par p donne pour reste p — A,

nombre supérieur à Tunité puisque h par hypothèse ne peut pas être plus grand que p — 2.

Soit h' un troisième facteur du produit 2x3X4X...xCp— 2). D existe dans ce produit un facteur ^, et un seul, différent de h\ tel que Ton a h'Isf = mult. de ;? -f- 1 . On le démontrerait comme précédemment. De plus, ce facteur k! est différent de h et de k^ car sMl était égal à Tun quelconque de ces facteurs, h par exemple, la suite A, 2/i, 3A, . . . , (p — i)h comprendrait deux termes hk et hf^ qui divisés par p donneraient pour reste 1 : ce qui est impossible (1**).

En continuant ainsi, on prouverait que les facteurs du produit 2x3x4X ... X(p-r2), qui sont en nombre pair, puisque p est impair par hypothèse, peuvent être groupés deux h deux par multiplication, de manière que chaque résultat divisé par p donne pour reste Tunité.

Il en résulte que l'expression

[niip -h IXwiïp -h IXffiap -*-!)... (rrinp -f- 1),

qui représente le produit de ces groupes, donne pour reste 1 quand on la divise par p. On s'en rend compte d'ailleurs en effectuant les calculs de proche en proche : les deux premiers facteurs donnent (miWsp + wii h- wijjp -hi ou m'p -f- 1 ; ce résultat multiplié par le troisième facteur donnera également une expression de la forme ml'p -h 1 et il en sera de même pour les résultats suivants jusqu'à ce que tous les facteurs soient épuisés.

Donc le produit 2x3x4x ...x(p— 2) divisé par p donne pour reste l'unité.

Tout cela posé, revenons au théorème de Wilson.

!• La condition est nécessaire^ c'est-à-dire que Ton doit avoir

lX2x3x...X(p — l)-f-l = mult. de p.

En effet, le principe précédent permet d'écrire

2x3x... X{p — 2) = mult. dep-h^.

Or si Ton multiplie les deux membres de cette égalité par (p — 1) et si Ton introduit dans le premier le facteur 1 qui n'en change pas la valeur, il vient

1X2 X^X ...xfp — 2)(p — 1) = (mult. de;)H-l)(p— 1)

= mult. de p — i.

D'oii, en augmentant d'une unité les deux membres de cette dernière égalité,

Ix2x3x ...x(p — 1)-4-1 = mult. de p.

Ce qui démontre la nécessité de la condition.

2** La condition est suffisante^ c'est-à-dire que si Ton a

lX2x3x... X(p — l)-h 1 = mult. dep,

p est un nombre premier.

En elîet, si p n'était pas un nombre premier, il aurait nécessairement pour diviseur un des facteurs du produit

Or ce facteur diviserait à la fois la somme

lx2x3x...X{p--l)H-l,

qui est un multiple de p, et la première partie

de cette somme, donc il devrait diviser la seconde» i, ce qui est absurde.

La condition de suffisance est donc aussi démontrée.

§ VII. — Démonstration par la réduction à rcd>8urde.

212. I. // n'existe aucun nombre qui divisé par 8 donne pour reste 4, et qui divisé par 12 donne pour reste 3.

Supposons pour un instant que ce nombre existe et désignons-le par n. On aura, d'une part,

n = Sqr -h 4,

et d'autre part n = 12^' -h 3,

d'où 12ç'4-3 =8^-4-4.

Si Ton retranche 3 + 89 de chaque membre, il vient

on^ en mettant 4 en facteur commun dans le premier membre,

Dans cette égalité, q çt q' étant des nombres entiers, le nombre (3g'' — iq) ne peut être aussi qu'un nombre entier, à moins qnMl ne soit' nul : s'il est entier, son quadruple ne peut pas être égal à 1, et s'il est nul, son quadruple est aussi nul et non égal à Tunité.

La double absurdité à laquelle on arrive prouve que la proposition contradictoire du théorème proposé est fausse, par suite que le théorème est vrai.

213. II. Si a et h sont entiers et si a* — 6* est un nombre premier y les nombres a et b sont consécutifs.

On sait que la différence a* — 6* des carrés de deux nombres a et 6 est identiquement égale au produit de la somme de ces deux nombres par leur différence. On peut donc

écrire

Si a et 6 n'étaient pas consécutifs, la différence (a — b) serait plus grande que Tunité, et comme la somme (a -+■ b) est elle-même plus grande que l'unité, le nombre a^ — 6* aurait pour diviseurs deux nombres distincts (a -f- b) et (a — b), différents de I et de a* — • 6^ ; il en résulterait que ce nombre à* — A* ne serait pas premier, ce qui est contraire à l'hypothèse.

a et 6 sont donc deux nombres entiers consécutifs.