t- 20 -f- 15 -h 12 est égale à 77, il vient
232. IV. Partager une somme de 107'%40 etitre deux ouvriers qui ont travailb' à un même ouvrage^ le premier pendant S jours et 10 heures par jour, et le second pendant 11 jours et 9 heures par jour.
La rémunération du Iravail, variant proportionnellement au nombre de jours employés et au nombre d'heures fournies chaque jour, est proportionnelle au produit de ces deux nombres (161, III). Le partage doit se faire dès lors proportionnellement aux nombres 8 X 10 = 80 et 11 X 9 = 99. On est ainsi conduit au problème I et Ton a
Rkmarque. — On peut résoudre comme il suit la question, sans invoquer le principe sur lequel s^appuie le raisonnement précédent. Le partage de la somme de 107'%40 doit se faire proportionnellement au temps employé par chaque ouvrier. Ce temps^ qui ne peut être représenté ici par un seul nombre que s'il Bst exprimé en heures, est de 10>» x 8 ou 80^ pour le premier, et de 9** x il ou 99*» pour le second, et Ton retrouve ainsi les deux nombres précédents.
233. V. Partager une gratification de ^70^' entre trois employés «n raison directe de leurs années de service et en raison inverse dp leurs appointements. Le premier à 18 ans de services et 2000'' i'd'ppointements ; le deuxième^ 15 ans de services et 1800'^ d^appointements, et le troisième^ 12 ans de services et 1 600'' d'appoin* tements.
La part de chaque employé dans cette gratification devant être en raison directe de ses années de services et en raison inverse de ses appointements, sera directement proportionnelle au produit de ses années de services par le rapport inverse de ses appointements (161, V).
Ces trois produits seront respectivement
*8x^-7^» «Xi-57^1 12x
OQ
en simplifiant ces fractions, on aura
lOOO' 120' 125'
et, en les réduisant au plus petit dénominateur commun,
3000' 3ÔÔÔ' 3Ô5Ô*
La question est ainsi ramenée à cette autre :
Partager la somme de 570'*" en trois parties directement pro portionnelles aux nombres ^1, 25 et 24, qui soDt les numérs.teurs de ces trois fractions.
On a, de fa sorte, d'après le problème I,
ec70fr
Remarque. — On peut résoudre directement la question, c'est-à-dire sans Tintervention du principe qui a servi de base au raisonnement précédent. Pour cela, représentons par a ce qui reviendrait de cette gratification à un employé qui aurait 4 an de services et 1" d'appointements. Le premier employé, d'après cette hypothèse, aurait 18 fois plus en raison de ses années de services et 2000 fois moins en raison de ses appointements, ou -^^^ ; le même raisonnement nous amène-
rait à écrire ^ pour la part du deuxième et
pour celle du troisième. Or, ces trois parts, qui contiennent le
facteur commun a, sont respectivement proportionnelles aux
nombres
qui représentent, pour chacune d'elles, Tensemble des autres facteurs, et qui sont ceux que nous a donnés le premier procédé.
^ IV. — Méthode de réduction à l'unité.
234. La méthode de réduction à Tunité, plus élémentaire sinon plus rapide que la précédente, s'applique surtout aux règles de trois, aux partages proportionnels et aux problèmes
qui se rattachent par leur nature à ces deux ordres de questions.
Dans une règle de trois, elle consiste à chercher^ pour la grandeur correspondante à l'inconnue, d'abord sa valeur quand chacune des autres grandeurs du problème prend une valeur égale à Tunité, puis sa valeur lorsque les autres grandeurs prennent les valeurs données correspondantes à l'inconnue.
Dans un partage proportionnel, elle consiste à chercher ce que serait chaque partie à former si le nombre à partager était ronité, pour passer ensuite à ce que doivent être ces parties lorsqu'on revient au nombre proposé du problème.
L*application de la méthode à quelques exemples va éclairer ces indications.
235. I (Règle de trois simple directe). — Quelle est la hauleur d'un arbre dont Vombre a 12^,40, sachant qu'un bâton de 3",50 tenu ve$'ticalement donne 2™ d'ombre ?
Après avoir converti en décimètres, pour les rendre, entiers Fun et l'autre, les deux nombres {^"^,40 et 3», toutes les données et l'inconnue du problème étant, d*autre part, disposées comme il suit :
xm 124'*",
on raisonne ainsi :
20 décimètres d'ombre étant donnés par une hauteur de
3*,50, l décimètre d'ombre sera donné par une hauteur 20 fois
moindre que 3",50 c'est-à-dire égale à
et 124 décimètres d'ombre le seront par une hauteur 124 fois plus grande que cette dernière, par conséquent égale à
3»,50xi24 ^,
Cette hauteur de 2l»,70 représente celle de l'arbre.
236. II (Règle de trois simple inverse). — i^ ouvriers ont employé 2i jours pour faire un certain ouvrage; combien fau-
drait'il de jours à 18 ouvriers travaillant dans les mêmes conditions pour faire cet ouvrage ?
Le tableau des deux séries de valeurs du problème est le
suivant :
et Ton raisonne ainsi :
15 ouvriers mettant 24 jours pour faire le travail en question, 1 ouvrier mettrait 15 fois plus de temps ou
24JX13,
et 18 ouvriers, 18 fois moins de temps qu'un seul, ou
— ^g — = 20 jours.
237. III (Règle de trois composée). — Un ébéniste a poli 75 planches d'acajou de 1",2 de longueur sur 0",6 de largeur, en travaillant 7 heures par jour pendant d jours. Combien polir a i'il de planches de 1™,5 de longueur sur 0",8 de largeur, en travaillant 9 heures par jour pendant 21 jou7*s ?
Les deux séries de valeurs du problème étant disposées comme il suit :
75P iSMlm Q^m gj 7h
arP 15^" 8'*'^ 2iJ 9*»,
on raisonne ainsi :
Lorsque les planches ont 12 décimètres de longueur, l'ébéniste en polit 75 de 6 décimètres de largeur, eu 9 jours à raison de 7 heures par jour ; si les planches n'avaient que 1 décimètre de longueur, toutes les autres conditions restant les mêmes, il en polirait 12 fois plus, ou
