X120H-8ON

ou, en effectuant les calculs et simplifiant les indications,

Nous retrouvons ainsi l'égalité (a) de la première solution, sur laquelle on opère comme précédemment.

331. III (Problème inverse). — Pour se libérer d'une dette de 5000^^' payable au bout d^un an^ un négociant souscrit ti^is effets de lOOO^"*, ISOOfr et 2500^'", payables le premier dans 5 mois et le deuxième dans 10 mois. Quelle doit être V échéance du troisième effet? . ,

Dans la formule

qui s'applique exactement à la question, si N" représente l'effet dont réchéance f est à calculer, en remplaçant N*^ et les autres quantités connues par leurs valeurs respectives, on a

1000x5-hi500xl0-h2500<'

En effectuant les calculs indiqués au numérateur du second

membre, il vient

et si, dans cette dernière égalité on divise par 2500 les deux

teimes du rapport qui forme le second membre, on obtient

d où, en multipliant par 2 les deux membres de cette nouvelle lelalion, 24 = 8 h- f.

On est ainsi amené à trouv(*r un nombro qui augmenté de 8

Ce nombre est évidemment égal à 24 — 8 ou 16. On Tobtient aussi en retranchant 8 des deux membres de la dernière égalité, ce qui donne, en efTet,

L'échéance du troisième effet aura donc lieu 16 mois après Topération.

Remarque. — La solution de ce problème peut être aussi obtenue directement comme celle du problème précédent.

332. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la nleur nominale de Teffet unique est constamment égale à la somme des valeurs nominales des effets qu'il représente, et DOQs avons fait ainsi des calculs d'échéance moyenne ; mais il peut arriver qu'il n'en soit pas ainsi et alors l'échéance commune n'est plus indépendante du taux de l'escompte.

En nous plaçant à ce nouveau point de vue nous allons résoudre les principaux problèmes directs et inverses de l'échéance réellement dite commune.

333. IV (Problème direct). — Un marchand a souscrit trois effets ^ le premier de 1 000'*" payable dans 90 jours y le deuxième de 1200'' payable dans 105 jours et le troisième de 1500^'' payable dans 120 jours ; il se propose de les remplacer par un effet unique de 3750'' ; quelle en sera Véchéance, le taux de Vesrompte Hant de 6 pour 100 ?

Le point de départ de la solution <le ce problème et de ceux qui vont suivre est le même que précédemment : la valeur au comptant de l'effet unique doit être égale à la somme des valeurs au comptant des effets à remplacer.

Ici, la valeur au comptant du premier effet est de

celle du deuxième, de

et celle du troisième» de

36000 La valeur actuelle de TelTet unique doit donc être égale à

dès lors la différence entre cette valeur et la valeur nominale, 3750fr — 3634^1' = li6'f, représente l'escompte commercial fait à 6 pour iOO, pour un temps à calculer, sur un effet de 3750^r.

La question est ainsi ramenée au problème d'escompte commercial suivant :

Quelle est l'échéance d'un effet de 3 750'^ qui donne au taux de 6 pour 100 un escompte commercial de llô^*" ?

Cette échéance est donnée par le calcul qui suit :

360JX 100x116 ,„^ . 3

ce qui fait, en nombre rond, 486 jours.

334. V (Problème direct). — Une personne doit deux effets^ le premier de 6^^^ payable dans 5 mois et le second de IW^ payable dans 9 mois ; elle veut les remplacer par un effet unique payable dans 8 mois ; quelle doit être la valeur nominale de cet effet unique, Vescompte commercial étant calculé au taux de 6 pour 100 ?

La valeur actuelle du premier effet est de

et celle du second, de

,O0rr-i:i>i^ =668^50;

la valeur actuelle de Teffet unique est donc de

526f',504-668fr,50 = 1195^^.

Le problème revient donc à celui-ci :

Quelle est la valeur nominale d*un effet payable dans 8 mois et ■}ui escompté commercialement au taux de 6 pour 100 a été ramené à i iW^ ?

La solation de cette question, précédemment développée, est donnée par la formule (3) de l'escompte commercial ; on en tire

= AXlOO " 100 — ixT

et, en remplaçant les letti-es par leur valeur,

335. VI (Problème inverse). — Troiseffets^ le premier de ^20^^^ payable dans 6 mois, le deuxième de 740^^ payable dans 8 mois, et le troisième^ dont le montant est inconnu^ payable dans 156 jours^peuventêtre remplacés par un effet unique de 2^100^^ payable I dans 7 mois. Quelle est la valeur nominale du troisième effet, l'escompte commercial étant calculé au taux de 6 pour iOO ? La valeur au comptant de Teffet unique est de

celle du premier des effets à remplacer, de

celle du deuxième, de

de sorte que celle du troisième doit être de

âiaaf»- — (504fr,40 -f- 710fr,40) = 908fr,20.

La question revient à résoudre celle à laquelle on a été ramené dans le problème précédent :

Quelle est la valeur nominale d'un effet payable dans i^6 jours c/ qui escompté commercialement, au taux de B pour 100, a été ramené à 9OHfr,20 ?

En appliquant la même formule, on a

336. VII (Problème inverse). — Deux effets, l'un de 90(K«payable dans 100 jours^ l'autre de i iW^ payable à une époque indéterminée^ peuvent être équitablement remplacés par un effet unique de \^W^ payable dans 160 jours. Trouver l'échéance du second effet, le taux de Vescompte commercial étant de 6 pour iOO.

La valeur au comptant de TefTet unique est de

celle du premier effet à remplacer est de

il s*ensuit que celle du second est de

La question est ramenée à cette autre :

A quelle date était payable un effet de 1100^"* qui escompté commercialement au taux de 6 pour \{^a été ramené à i 042f'',20 ?

L'escompte prélevé est de \ iW^ — 1 042^^,20 = 57^^,80, et le temps pour lequel l'effet de 1 100^^ produit un escompte commercial de 67'r,80 est donné en jours par l'expression

360JX 100x57,80 ^^^ . 3

-— — — = 315 jours -— ->

OU; en chiffre rond, 316 jours.

La vérification des solutions précédentes se fait en introduisant chaque nombre trouvé dans renoncé du problème correspondant et en se proposant de calculer une des données considérée comme inconnue.

337.' (Autres problèmes). VIII. Trots effets, Tun de 1 000^% te deuxième de 400^'', et le troisième de 700^'*, sont souscrits pour être payés, le premier dans 3 mois, le deuxième dans 6 mois, et le troisième dans 9 mois. Le débiteur de ces effets les remplace

équitablement par un autre de 2 160^' payable dans 10 mois ; à ([uel taux a-l'On calculé l'escompte commercial ?

Soit X le taux à calculer. La valeur au comptant des trois effets remplacés est respectivement de

et celle de l'effet unique, de

2160- ^152><iO><^= 2460 '^

La somme des trois premières valeurs au comptant étant égale à la quatrième, on a

lOx 8a? 2ia: 72ar

oa, en simplifiant dans le premier membre de cette dernière relation,

La question revient à trouver un nombre tel qu'yen retranchant

; «et -j- de 2100 on ait le même résultat qu'en retranchant ses

— rf€2160.

La différence entre les deux fractions du nombre cbercbé est donc égale à 2160 — 2 100 ou à 60. On a donc

72ar 39ar

el op = = 7

Le taux demandé est ainsi de 7 -— - pour 100.

288 ARITHMÉl'lQUE |>RÀTIQUE

On vérifie en montrant que d'après ce taux la valeur au comptant de Teffet unique est égale à la somme de celles des trois effets remplacés.

338. IX. Quelqu'un a acheté des marchandises pour 4*500^'', qu*il s'est d'abord engagé à payer dans un an ; mais il a obtenu de payer comptant 1500'' et de solder les 3000^' restants en quatre payements égaux de 750^' à des termes équidistants. Quel est l'intervalle d'un terme au suivant ?

Soit X cet intervalle et supposons un taux d'escompte commercial^ 6 pour iOO par exemple. Les échéances successives des quatre payements égaux de 750^'' seront représentées par Xf 2x, dx et ix; les escomptes prélevés sur ces quatre payements, au cas où ils auraient lieu au comptant, seraient de

1200 * tauO ' 1200 * 1200

et leur somme égalerait l'escompte prélevé sur 4500^' payables dans un an, les 1500^' payés comptant ne donnant pas d'escompte ; on a donc Tégalité

750x6 Xa? 750x6x2x 750x6x3a? 750x6x4ar 1200 "^ Ï2ÔÔ ^ 1200 '^ T^Ô

ou, en en divisant les deux membres par 6 et en les multipliant

par 1 200,

750a? -h 1 500x -h 2250x -♦- 3000ar = 54000,

et, en simplifiant, 7500a? = 54000, •

d ou X = = 7 —

L'intervalle entre les payements consécutifs est donc de

7 mois -r-

On vérifie ce résultat en montrant que la somme des escomptes prélevés sur les quatre payements de 750'»*, considérés comme eCTectués au comptant, est égale à celui qui provient, dans les mêmes conditions, de 45O0'r payables au bout d'un an.

339. X. J'ai acheté pour ^OOC' de marchandises à 6 mois de crédit ; au bout de 2 mois je ferai une avance qui me permettra de garder le reste un an sans faire tort à mon créancier. Quel est k montant de chaque payement ?

Soit X le montant du payement à faire dans un an, Tautre sera de 2000 — x, Eo supposant un taux d'escompte commercial, 6 pour 100, par exemple, la somme des escomptes prélevés sur les deux payements partiels, au cas où ils auraient lieu au comptant, serait de

xx6xl2 (2000-^a:)x6x2

et représenterait Tescompte fait, dans les mêmes conditions, sur la somme de 2000''* payable dans 6 mois, soit

ilôô '

d'où l'égalité

JX6X12 (2000 — a?)x6x2 __ 2000x6x6 1200 "^ 1200 ~ 1200

qui devient, en divisant ses deux membres par 6 et en les multipliant par 1 200,

12jr-+(2000 — x)x2 =2000x6, el, en effectuant les calculs indiqués,

Si Ton retranche 4000 des deux membres de cette dernière égalité et qu'on eflectue la soustraction \^x — 2ar dans le premier membre, il vient

IOj = 8000,

d'où X = -^^ = 800.

Le montant du payement à faire dans un an est ainsi de 800 '' ;

l'autre est de 2000'^ — 800'' = 1 200f^

On vérifie par un procédé analogue au précédent.

340. Certaines questions se rattachent à celles de Téchéance commune parce qu'elles se résolvent de la même manière. En voici un exemple :

bADZAT. — «trilODOL. 19

341. XI. Un propriétaire s'était engagé par contrat à laisser paître sur sa prairie 400 vaches de son voisin pendant 16 mois ; le voisin en envoie d'abord 200 du consentement du propriétaire ; 7 mois plus tard, 250, et 8 mois après ce second envoi, i50 autres. Combien de temps le propriétaire doit-il laisser paître ce troupeau de 600 vaches sur sa prairie pour remplir son engagement ?

Soit X le nombre de mois, comptés après le troisième envoi de vaches, pendant lesquels devra pattre le troupeau entier.

Les 200 premières vaches paissant pendant (7 -+- 8 + a?) mois, ou (i5-har) mois, consomment comme un nombre de vaches égal à 200(15 -h x) pendant un mois.

Les ^0 suivantes, paissant pendant (8 + x) mois, consomment comme un nombre de vaches égal à 250(8 + a?) pendant un mois.

Et les 150 dernières, paissant pendant x mois, consomment comme un nombre de vaches égal à 150x pendant un mois.

En somme les 600 vaches consomment comme un nombre

de vaches représenté par Texpression suivante, pendant un

mois :

200(15 -hx)-h 250(8 -h a?) -h 150;r.

Ce nombre de vaches doit être égal à celui qui aurait pu paître pendant un mois d'après la première condition du contrat, c'est-à-dire à 400x16 ; d'où Tégalité suivante :

En effectuant les calculs et simplifiant, il vient

ou, en retranchant 5000 des deux membres de cette égalité,

C'est-à-dire que le troupeau de 600 vaches pourra paitre pendant 2 mois -— •

§ Vm. — Rentes sur TÉtat.

342. Lorsqu'un Etat a besoin de grosses sommes d'argent, au lieu de recourir à une augmentation ou à une création d'impôts, il fait parfois des emprunts à des capitalistes grands et petits et s'engage à leur servir un revenu annuel qui s'appelle rente sur l'État,

Si les emprunts doivent être remboursés à des époques déterminées d'avance, la rente est dite amortissable-; dans le cas contraire, qui est le plus général, c'est-à<-dire lorsque les capitaux prêtés ne peuvent être exigés à aucune époque, la . rente est dite perpétuelle.

Actuellement il y a trois sortes de rentes françaises : le 3 pour 100 perpétuel, le 3 pour iOO amortissable et le 3 i/2pour 100 ; ce qui veut dire que 3^' de rente, dans les deux premiers cas, et3'%50, dans le troisième, sont le revenu d'un capital nominal de 100^' que TËtat s'oblige à verser le jour où il veut effectuer des remboursements.

On donne le nom de litre ou d'inscription de rente au certificat qui atteste le droit à une rente déterminée.

La somme qu'il faut au jour de l'emprunt pour avoir 3^' ou 3'^50 de rente s'appelle cours d'émission de la rente.

Si le possesseur d'un titre de rente ne peut en exiger le remboursement par l'Ëtat, il a le loisir de le vendre ; la somme qu'il reçoit pour 3'' ou 3'%60 de rente, suivant le cas, représente le COUTS de la rente. Soumis aux lois de l'offre et de la demande, le cours est très variable. La vente des titres de rente se fait à la Bourse par l'intermédiaire des agents de change qui prélèvent un courtage calculé ordinairement à mison de 1 pour i 000 du capital brut et que payent à la fois le vendeur et l'acheteur ; elle est au comptant ou à terme selon qu'elle est suivie d'un règlement en espèces ou qu'elle est une opération fictive, un jeu de Bourse.

Nous ne nous occuperons que des négociations au comptant et sans tenir compte du courtage. Ces questions conduisent

pour la plupart à des règles de trois. Nous allons résoudre les principales. .

343. I. Quel revenu aura-t-on en achetant ;>ou/-6615^'* de rent^ 3 pour 100 au cours de 94,50 ?

Du tableau

3fr

3fr -

on tire

On vérifie ce résultat en montrant que 210'»' de rente 3 pour 100, au cours de 94,50, valent 66i5f^