CHAPITRE

l éqvilibrt, ler«qu'oo toi oppose Pane à Taatro , sur on point , ou aux extrémités d*une droite inflexible. Iteox lerae égalée donnent une force double quand on les ejovto, c'est-à-dire quand on les fait agir dans le BBiéaa sens et dans la mène direction $ on aurait une esrce triple» si l\m faisait agir dans le mime sens trois flwees égales « et ainsi de suite.

Ihiprèa oelt, si Ton convient de représenter une farce par mm nombre o« par une ligne, la farce double de c^e4à aéra représentée par un nombre double ou par une Hgne double . etc. C*est ainsi que nous pouvons leséonrs représenter les forces par des grandeurs nu* ■iripea ou liné^res , et feire sur elles les mêmes opérations 9M nous fideons sur ces grandeurs.

iê. QÎmI que soit le nombre des forces qui agissent s«r nn peint , et quelles que soient leurs directions , eOes le peuvent, en dernier résulat, imprimer à ce peint qn*^ seul mouvement dans une direction déter* minée. Or ou conçoit qu'il existe une certaine force qai ssrait , è elle seule , capable de produire le mime eftt,- et cette fèrce unique, qui pourrait remplMcr rcnsemUe de toutes les autres , est ce quVn appeik Iwr rétuilufile. Ainsi , quand un bateau se meut I la lois par la farce du courant, par la force des ra- ■ss et par cdle du vent, on peut concevoir une force naîque, m fil asseï fort, par exemple , qui , étant atta- «bé au batenu , serait tiré dans une telle direction et avec «I tel effort qu*à lui aeul il lui imprimât à chaque instant le menue mouvement que toutes ces forces réu- ■itt} U eu serait la résultante. Le courant , le vent et Isi ramea ceaaant d'agir , et le fil dout noua parkuis kar étant subetitué , tkm ne serait cbao^ quant au

\ forcée qui concourent à produire un i un ^Uèmé de forcée ; ces forces s*a|K Nient aussi dot eompotanteê, quand on les considère per rapport à lu réêulitanH qui pourrait les remplacer. Il est évident que , si è ua qpstème de forces ou ajoutait une fèrce nouvelle qui fût égale à la résistante et dirigée eu sens contraire , Téquilibre aurait lieu dans ce ueuveau «retèuM de forcée. C'est là la propriété caractéristique de U résultante.

Ainsi, dans Texemple que nous avons choisi , Undis que les i^^eee du eoumut , du vent et des rames , exeresut leur Ktiou , ai l'eu ajoutait un fil assex résistant , dirigé eu aeue eoutraire de celui qui représente la résidtante et tiré avec le même effort , cette nouvelle force fiséniiuit réquUibro : le bateau serait plus fixe <pie tll Hait à l'aueffO} A m pourrait avanqer ni reculer, ni se meuteii é^fMKuu celé , jus<|u'à ce qu'il arrivât quebque lafee nouvelle ou quelque changement dans let Iweeeagiasanfes pour déranger l'effort par lequel elles tedétruiseuL

17. JMusifiiflisfe lie plmiemrê fbrûM qui ûgÎBêmt dans lu uiduio éim^^im^ — Quand toutes lee forces qoiagiaaentaar un point tendent è le mouvoir sur une •émn ligue » 11 feut se grésenter 4eut cm : l"* «i toutes

ces forces agissent dans le même sens , la résultante est égale à leur somme; 9« si elles agissent les unes dana un sens et les autres dans le seqs opposé, la résultante est égale à la différence des deux résultantes partidlea et agit dans le sens de la plus grande.

18. Réêultantt dû d9u» forcée qui a^êÊUtangUf lairemeni êur un nUtÊte point — Deux forces agissent sur le point a {fig. 5)^ l'une dans la direction as, et l'autre dans la direction a^ \ la première est représentée en grandeur par a6, et la deuxième par ao : il est clair que le point a ne peut se mouvoir , ni suivant ab , ni suivant oc, et qu'il doit prendre une directiou intermédiaire. C'est ce que le bon sens nous Indique d'abord , mais c'est à peu près tout ce qu'il peut noua faire voir,* car, pour déterminer et cette direction moyenne que doit prendre la résultante et rihtensité qu'elle doit avoir par rapport aux composantes , il faut recourir à des considérations que nous devons supprimer ici. Nous nous contenterons d^énoncer le principe général de la compoetiion dos forces, parce quil est très-simple et très-facile à comprendre. Voici en quoi il consiste : on construit le parallélogramme akre sur les grandeurs des deux forces données et l'on mène la dia£K>nole or; cette diagonale représente â la fois la grandeur et la direction de la résultante. Ainsi, le point a^ solUcité par les deux forces o^ et oc, est exactemoit dans le même cas que s'il était sollicité par une seule force qui serait dirigî&e suivantujs et qui aurait une grandeur égale â ar. Ce principe est vrai pour les forces égales comme pour les forces inégales ; pour oeUes qui font un angle aigu , droit ou obtus, comme pour celles qui fOnt un angle quelconque : c'est le principe fondasiental de toute la statique, il est connu sous le nom éeparaliélogramme des forces.

Quand les deux forces sont égales , la résultante divise tOHiours leur angle eu deux parties égales, mais » pour sa grandeur, eHe est tantét égale â ceHe des composantes, tanlât plus grande et tautât plus petite (/^. e,7et8).

Quand le* deux farcea sont inégales, la résultante divise leur angle eu deux parties inégales, et eUe est tOHiours plus rapprochée de la force la |4us grande

19. Puisque deux forces peuvent être remplacées par une seule , réciprocpiement une seule force peut être remplacée par deux autres ; ou voit même qu'il y a une infinité de systèmes différente qui peuvent donner lieu à la même résultante ffig. 10), et que, réciproquement, il y a une Infinité de manières de remplacer une seule force par le système des deux autres , quand on n'exige rien ni sur leur grandeur ni sur leur direction , si l'on demande, par exemple {fig. 11), de remplacer la forcear par deux autres forces, dont l'une soit dirigée suivant iir> et soft d*ttne grandeur oc, alors le problème est déterminé , parée qu*il n'y a plus qu'une manière d'achever le parallélogramme et de trouver la composante uK

NOTIONS PRÉLIMINAIRES

90. Réiulianie d'un nombre quelconque de fàrceê agiêsanî au même point, — Quand on sait trouver la résultante de deux forces qui agissent au même point , on IrouTe aisément la résultante d*an nombre quelconque de forces; car on prend la résultante des deux premières , puis la résultante de cette résultante et de la troisième force ^ puis celle aussi de cette nouvelle résultante et de la quatrième force, et ainsi de suite , en commençant à volonté par Tune ou par Tautre (/S^. 13).

91. Résultante des /brces parallèles i^QiiBud deux forces parallèles ab et cd (flg. 1 3) agissent sur une ligne ac, elles peuvent être aussi remplacées par une fèrce unique qui est leur résultante , et dont on trouve Tintensité, la direction et le point d*application , par les principes suivants :

lo La résultante des deux forces parallèles est égale à leur somme quand elles agissent dans le même sens , et à leur différence quand elles agissent en sens contraire.

2<» Elle est parallèle aux composantes.

3** Elle est appliquée en un point ^, tel que les distances ag et cg soient en raison inverse des forces ab et cd. Ce point d*app1ication de la résultanie s*appelle le centre des forces parallèles. Une propriété remarquable de ce point, c^est qu*il reste le même quand les forces changent de direction absolue , en conservant leur parallélisme, car, si les mêmes forces agissaient suivant am et suivant en, leur résultante passerait encore par le point (^^ puisque, les forces n*ayant point changé d*intensité , leurs grandeurs seraient encore en raison inverse des distances ag et cg.

La résultante d*un nombre quelconque de forces parallèles se trouve : en composant d*abord les deux pre* mières , puis leur résultante avec la troisième , et ainsi de suite.

99. Des Coupies. -^ Deux forces égales, parallèles et opposées , agissant angulairement sur une ligne ac (flg, 14), forment ce qu*on appelle un couple. D'après ce que nous venons de dire , la résultante d*un couple est égale à séro, et cependant le système n'est pas en équilibre ; c'est un des cas très-particuliers où deux forces ne peuvent pas être remplacées par une seule. Un couple peut bien être transformé en un autre couple , on peut même le transformer d'une infinité de manières, mais jamais on ne peut le remplacer par une force unique; et par conséquent, pour un couple, il n'y a Jamais de condition d'équilibre : si on le laisse agir, il fait tourner la ligne ac jusqu'à ce qu'il se soit déployé dans la longueur dcab {flg, 15) ; alors il n'y a plusde couple, et l'équilibre est stable : si l'on avait reployé le couple dans la position marquée {flg. 16), il y aurait aussi équilibre , mais équilibre instable , car , en le déployant un peu , Il ferait tourner la ligne et se déploierait tout à fait.

98. Levier. — On appelle levier une barre droite ou courbe qui peut (ourner autour d'un point fixe, qu'on appelle point d'appui (flg. 17, 18).

Un levier ne peut jamais être en équilibre sous l'ac-

tion d'une seule force, à moins que le prolongement de cette force ne passe par le point fixe.

Un levier étant sollicité par deux forces situées dans le même plan, il y a deux conditions pour qu^ retle en équilibre : il fout, premièrement, que oes /brces t^s^ dent à faire tourner en sens contraires et, seconde^ ment, que leurs intensités respectives soient en red' son inverse de leurs bras de levier. On appelle bras de levier d'une fbrce la longueur de la perpôidiculafa^ abaissée du point d'appui sur la direction de cette force ou sur son prolongement : ainsi /)> (flg. 99) est le bras de levier de la force ab, et fq celui de la* férce do. Cet deux forces étant supposées dans le même plan, on voit qu'elles tendent à faire tourner en sens contraires et qu'elles remplissent la première condition ; mate, poor qu'elles remplissent aussi la seconde, il faut que tapro' mière force contienne la seconde autant de fois que le bras de levier de la seconde contient le bras de le» vier de la première. Si, par exemple, ab est double de cd, il faudra que fq soit double de fp;%\ab était mille fois cd, il feudrait que fq fût mille fois/]». Ces conditions d'équilibre s'appliquent à un grand nombre de machines, qui ne sont, en dernier résultat, que des systèmes de levier plus ou moins compliqués : dans le treuil et le cabestan, par exemple (flg. 19 et 90), la résistance V et la puissance tangenlielle p qui tend à la vaincre sont entre elles en raison inverse de leurs bras de leviers, o« du rayon ab du cylindre et du rayon cd de la roue.

94. Pression sur le point d'appui. — Dans l'équilibre du levier, le point fixe supporte une certaine pression qu'il est utile de connaître. Pour cda, il sufllt de transporter les forces au point de rencontre de leurs directions prolongées (flg, 93), et de chercher leur résultante par la règle du parallélogramme des forces; cette résultante passe par le point d'appui , et exprime par conséquent la grandeur et la direction de la pression qu'il supporte. Si les forces étaient parallèles (flg. 94), on sait que la résultante serait parallèle aux composantes et égale à leur somme.

95. Dans l'usage ordinaire , on emploie le levier à soulever des fardeaux : alors Tune des deux forces s*appelle la résistance, c'est le fardeau que l'on veut soulever; l'autre s'appelle la puissance, c'est la force quelconque qui est mise en jeu pour soulever le fardeau. Dans ce cas , la condition d'équilibre s'exprime en ces termes : La puissance et la résistance sont en rai» son inverse de leurs bras de levier.

On distingue aussi trois sortes de levier , suivant les positions relatives du point d'appui a et des points d'application delà puissance pet de la résistance r(/I^. 91) : dans le levier du premier genre, le point d'appui est entre la puissance et la résistance , la balance est on levier de cette espèce; dans celui du deusième genre, la résistance est entre le point d'appui et la puissance; dans celui du troisième genre , la puissance , au contraire, tombe entre la résistance et le point d'appui.

Nous renvoyons I pour de plus amples détaiit, à