CHAPITRE m

de Grwfké. — De l'Éqoililire des Solldts. «i- De U BalaBce.— Da Poids , de la Mane et de la Dentité def Coipi.

41. Un corps pesant, quelque grand ou quelque petit qu'il soit, peut être considère comme un assemblage d'un nombre infiû de points matériels, dont chacun est sollicité par la. pesanteur.

Tofiles cres forces , quoique en nombre infini, peuTcnt être rambcées par «une force unique, appliquée en un certain point; cesfc cette, force , qui n'est autre chose que la somme ou la résultante deXoutes les actions de la pesanteur, que Ton appelle le poids d'un corps, et c'est le point où elle est appliquée qu on sfpdie son eeutre de gratté.

Cette définition suffit pour que l'on ne confonde pas X^pesan-^ temr avec le poids , puisque la pesanteur est la force élémentaire qui sollicite chacune des parcelles de la matière en général, tandis que le.poids d'un corps est. la somme de toutes les actions que la pesanteur exerce sur ce corps en particulier.

Il est très-important de savoir déterminer le poids des corps et leur ceotve de grarité , puisque alors on pourra substituer le poids, qui est une seule force, à toutes. les forces élémentaires (pu agiftSMitsur un corps; et le centre de gravité, qui est un senl.piMfit, à l'ensemble des points qui le constituent; et qu'ainsi une masac pesante, quelles que soient sa. grandeur et sa forme , pourra être considérée comme un seul ^ point soUicité par une seule forée.

4S. Du Centre de Gravité. — Dans un corps pesant, qui. n'a pas qudques centaines de mètres d'étendue , les actions que. la pesanteur exerce sur chaque m(décule peuvent être prises pour parallèles, puisqu'elles vont concourir au centre de laterre^^et dles sont>tautes égales, puisque ces molécules tombent également vite dans le vide; ainsi le centre de gravité n'est autre chose qfxvoi^cefUre de , farces parallèles et égales. -Helk résulte une propriété caractéristique du centre de gravité, c*est que oe

point est fixe dans l'intérieur des corps solides, et ne change pas , quelle que soit la position qu*on leur donne à Tégard de la pesanteur. Par exemple, le point g (Pl. 2, Fie. 6) étant le centre de gravité du triangle abc quand le point c est en haut, il sera encore le lieu du centre de gravité quand le point c sera en bas ou dans toute autre position qu'on pourrait lui donner , car le point d'application de la résultante des forces parallèles est indépendant de la direction de ces forces (SI).

Pour qu'un corps pesant soit en équilibre, il n^y a qu'une seule condition essentielle à remplir : c'est que le centre de gravité soit soutenu. Par conséquent, si. le centre de gravité est lui-même un point fixe , on pourra tourner le corps de toutes les manières possibles, il restera toujours en repos, parce qu'il sera toujours en équilibre. On en peut faire Texpérience avec un disque homogène, tournant autour d'un axe horizontal qui passe par le centre. Lorsqu'un corps est soutenu par un point fixe qui n'est pas le centre de gravité , l'équilibre est encore possible, mais il n'a plus lieu que dans deux positions seulement, savoir, quand le centre de gravité est dans la verticale du point fixe, soit au-dessus , soit au-dessous de ce point. On en peut faire l'expérience avec un disque homogène tournant autour d'un axe horizontal et excentrique.

C'est de cette considération que Von tire un moyen expérimental de trouver le centre de gravité d'un corps. On l'attache avec un fil en un point c de sa surface (Fig. 6), on le suspend, et, quand il est en repos, on marque, avec autant d'exactifwdc qu'il est possible, le point m où le prolongement du fil viendrait percer la surface inférieure , le centre de gravité est nécessairement sur la ligne cm. Ensuite on recommence Texpérience, en attachant le corps par un autre point a, et en marquant de même le point m' correspondant ; le centre de gravité est aussi dans la ligne am' , Donc, il se trouve à la rencontre des deux lignes cm et am\

Pour des corps trè&-Iourds , on pourrait faire l'expérience en sens contraire , en les tournant sur leurs arêtes ou en les posant sur des supports de petite étendue. Mais pour les corps homogènes qui ont des formes régulières, on détermine leur centre de gravité par des considérations géométriques assez simples.

M^Himm aÊfmiie. — Le centre de gravité est évidemment au milieu de la longueur.

CHAP. m. — DU CENTRE DE GRAVITÉ. 61

1 99 gptiMiTf^» A iw> |Mw*Mf«éiM. — Le centre de gralité est au milieu de Taxe (Fie. 12, 13 et 14).

jwwWrfi> jrwiMi >. — Le centre de graTité est à la rencontre des diagonales , car chaque diagonale coupe la figure en deux parties égales. Il en est de même pour un parallélogramme creux, comme un cadre.

r#rwfo. — Le centre de gravité est au centre du cercle ; ce point est pareillement le centre de gravité de la circonférence et celui de Fanneau compris entre deux circonférences concentriques (FiG. 15).

rt'igwjfg. — On mène les lignes cfe, fg\ etc., parallèlement à la base (Fie. 7), ensuite la ligne am qui coupe en deux parties égales cette base et toutes ses parallèles; on achève le parallélogramme dbcej hkli^ etc., par des lignes parallèles k am. Yol UgM am passe par le centre de gravité de tous les parallélogrammes extérieurs , et aussi par les centres de gravité de tous les parallélogrammes intérieurs au triangle ; et elle y passe , ^elle que soit la grandeur que Ton donne à ces parallélogrammes. Or, comme ils sont, les uns circonscrits au triangle, les autres inscrits, et, conime à leur limite de petitesse ils finissent par se confondre avec lui, il faut bien aussi que le centre de gravité du triangle soit sur am\ pareillement, il doit être sur bni (Fig. 8); donc il est en ^ à leur rencontre; et il résulte des triangles semblables abg et mgtn! que mg est la moitié de ag, ou que le point g est aux deux tiers de am , à partir du pointa.

jFi>yjyi. — On les décompose en triangles (Fig. 9), dont on cherche les centres de gravité; ensuite, on regarde les forces appliquées aux centres de gravité des triangles comme étant prc^rtionnelles à leurs surfaces, on en cherche la résultante par les règles ordinaires, et son point d'application est le centre de gravité.

^^■^■■iiy» iriMifftiiiiirv. — On mène une ligne du sommet s (Fig. 10) au point gy centre de gravité de la base abc ; et on démontre aisément , en faisant des tranches inscrites et circonscrites, comme pour les triangles, que le centre de gravité est sur cette ligne sg\ qu'il est pareillement sur a^^ et qu'ainsi il est en^' à leur rencontre. Ensuite , ou conclut , par la comparaison des triangles semblables, que ce point ^' est aux trois quarts de sg^ à partir du sonunet. Une pyramide quelconque se

I» LiniE PRm». — PKSAlITEItt;

dëooinpose €ii pjrraimdes triangulaires, et on anire à cette conséquence, que, dans tous les cas, le centre de gnmté tl'une pyramide est sur la ligne qui joint son somnet an -centre de gravité de sa base , et qu^il est aux trois quarts d^ œlte Kgae, à partir du sommet.

^^fytfjii'— ■ — On les décompose en pyramide, comme lespo^ lygones se décomposent en triangles.

cttM«k — Cest comme nne pyramide (Fi«. 11).

i»ftii^> — Le centre -de gnnrité est an centre de-là spbère ; de même pour une surface sphérique ; de même pour une couche comprise entre deux sphères concentriques.

43* »e l'É4«lllkre* -^ Nous aTons déjà vu que la sente oon> didon d'équilibre d*un corps pesant est que son centre de gn- TÎté soit soutenu ; mais cette condition se rerapHt de drrones manières, saivant que le corps est suspendu à des points bus ou posé sur des appuis.

1* Supposons, par exemple, un disque homogène (Fe«. 17) percé de trois trous égaux, a, &, c, et dont le centre de gravité soit'au centre de Bgare : ce disque sera en équilibre danstoaies les positions automr d\nt axe passant par le trou central a , et cet équilibre s'appelle indifférent ; si Taxe passe par le trou sa* périenr b , l'équilibre est stable , parce que le corps tend à j revenir quand on Ten écarte ; on voit en effet qu'en faisant un peu tourner le disque autour de cet axe^ le centre de gravité se déplace à droite ou à gauche sur l'are ift». Il n'est plas soutena, puisqu'il n'est plus daas le plan vertical de l'axe de suspeosioii^ et il descend pour revenir, après une série d'osciUMions , s'arrêter* dans ce plan ; si Taxe passe par le trou inférieur, c, le disque peut encore mathématiquement être en équiâire ; cela stfft He«r*si le centre de gravité se trouve exactement- dans* te plso vertical de l'axe ; mais c'est un équilibre instable ^t parce qu«« moment où le centre de gravité sort de ce plan, il s'e» écarte de plus en plus, et décrit ime demi-ciroonfiérence entière pour venir s'arrêter au-dessous de l'axe de snspensîofr.-

En généralisant ces* résultats, on voit qu'un corps cpielconque, suspendu par un axe, peut être- en équilibre > stable- , instaMé' oa indifFérent^ salvant que soncentre de gravité est aikHlessous (k Taxe, au-dessus de Taxe ou dans Taxe lui-raêine.*

V Examinons ce qui arrive à un disque smqptement'posé siff jxtupkkn horkontal oa incliné, et supposons^que cet disque,- eon^

CHAP: Ilh.^ DU CBNTilE DE GRWIfÊ. C3

par exemplOf do plomb. et de bois, fttt so« centm de grai«lé> sui>- la o^rconféreiice abd (Fig. 18r) à uqo dûlance aseez grande-de son centra de figure. Il résulte de ce qui précède qulil 7 aura seulement deux positions d'équilibre : Tune stable quand leoentredè gravité sera en a, l'autre instable quand le centre de gruvité sem en fr« Si ce mémO' dbque est posé sur un plan indiné (Fin* 10), il y awM encore équilibre quand le centre de gnii4lé'Se trottiwra dans le plan vertical pb mené par Taréte/^ du contact , la stabilité correspond toujours au point le plus bas a, et Tinsitabililé au point le plus élevé b.

Dans ce dernier cas> si.le. disque est poussé unpeu en avant on à droite, il tournera en remontant le plan sur une longueur égale à Tare pgi^^ et' il sera alors dans sa position de stabilité.

I^oiaque les corps reposent sur- le sol. par une base plus ou moins large ^ il est nécessaire h pour Féquilibre, que la verticale duoenlrede gravité tombe dans renoeinte de œtte base. On mt d'après cela que le cylindre oblique (Fig. 16) sera en éqiniibre s'il n'a qu'une longueur ai, et qu'il tombera st. on le surmonte d'un cylindre pareil qui délace le œntre de gravité au point de le porter en dehors des verticales du contour de :1a base.

43 bis. AlcnlUe ninclqve. — En composant des corps de formes variées avec des pièces différentes, les unes de matières lourdes, les autres de matières légères, on arrive à placer le centre de gravité en un point très-éloigné du point où il devrait être si les corps étaient homogènes. Alors l'équilibre, toujours soumis aux conditions générales, s'établit ici et se maintient' dans les positions les plus inattendues , du moins pour ceux qui ne savent pas se rendre compte de l'effet Que doit produire un grmn de plomb ou une goutte de meroure pour déplacer le centre de gravité dans un corps léger et vcdumineux.

G*est ainsi que l'on fait des .5orei>/V'qni retombent toujours sur leurs pieds , des mëgotê qui se balancent de mille, manières surprenantes^ des danseurs qui font des pirouettes sur le sommet d%ne colonne, en s'indinant presque horizontalement) sans Jamais tomber, des culbuteurs qnieemblent d'em-mAmea grimper des escaliers, etc., etc.

Sans m'àrrèler à ces' jeux, qui- sont* trop< simples, je* dirai quel^pes mots de l'aiguille magique^ dont> la iK^osition est moinS' fiieile à deviner»

Uaiguille magique a la singulière propriété de se mettre d'elle-même toujours à Fhem'e quand on l'applique sur un cadran vertical. Ainsi, la figure 21 représente une glace dans laquelle on a percé un trou de 2 ou 3 millimètres de diamètre qui sert de centre à un cadran d*horloge; Taiguille magique porte un axe saillant d'un diamètre un peu moindre que le trou;, on la met en place, et elle se tourne d'elle-même pour se mettt*e à l'heure , puis elle fait le tour du cadran comme une aiguille ordinaire , avec cette difFérence qu'elle est libre et que si on la dérange , elle revient à la position voulue.

La figure 21 fera comprendre le principe de ce mécanisme. Désignons par a l'axe de l'aiguille , par g son centre de gravité, qui doit être à une certaine distance de Taxe du coté de la pointe, par/7 son poids, par m un poids additionnel destiné à déplacer le centre de gravité^. Supposons que du point &, pris sur le prolongement de ga^ on décrive une circonférence de rayon bzy qu*ensuite, par deux de ses points z et.js', on vienne appliquer successivement le poids additionnel o ; pour les deux positions de cr , le centime de gravité du système viendra tomber en deux points xelx\ donnés par les proportions

p zx^ p ^^ zV

Si , de plus , le poids additionnel o a été choisi de telle sorte que Ton ait

p ab

on voit que Von a en même temps zz\ parallèle à xaf^ et bz'y parallèle à aa/y et par suite at' = at.

Ainsi , la drconférence décrite du point a , conune centre , avec oj? pour rayon, doit passer par le point x'.

Or, le point z' ayant été pris arbitrairement sur la première circonférence , il en résulte que le centre de gravité du système doit se trouver sur la deuxième, et qu'il y occupe toujours le point correspondant à celui que le poids additionnel occupe sur la première. Si l'on a, par exemple, divisé celle-ci en douze parties égales, comme l'indique la figure, et que l'on applique le poids additionnel successivement sur chacune de ses dirisionSf

GBAP. III. — DE L*£QUIUBRE. 65

3 fiiut , à chaque fois , que Taiguille se tourne pour que le numéro . correspondant du petit cercle qui marque le centre de gravité du système vienne se placer verticalement au-dessous de Taxe de rotation a. Ainsi, le poids additionnel est-il au n" 12, U pointe de Taiguille se tourne en haut ; est-il au n*6, elle se tourne en bas ; est-il au n* 3, elle se tourne horizontalement vers la droite^etc., etc.

n est facile^à peu de frais, de vérifier ce principe par Texpérience. Mais la véritable aiguille magique agissant d'elle-même , et ssrvant d^horloge, est un peu plus compliquée ; on devine maintenant qu'elle porte dans le cercle bz un mouvement d'horiogerie chaîne de faire rouler le poids additionnel dans une rigole dr* colaire , dont la circonférence zz' représente Taxe.

44. Les conditions d'équilibre , telles qu'on les donne habi* tueUement et telles que nous venons de les établir, ne sont réelfement suffisantes que dans les spéculations de la théorie , car elles supposent à la matière une propriété dont elle ne jouit pas; elles supposent que tous les corps sont parfaitement rigides, c'est-à-dire qu'ils ne sont ni élastiques ni compressibles, et que leurs molécules ont , à l'égard l'une de l'autre , une immobilité absolue. En effet, concevons un long tube de verre mince, posé par son milieu sur un appui quelconque : son centre de gravité sera soutenu, et cependant l'équilibre n'aura pas lieu, car il fléchira en vertu de son élasticité ; il fléchira d'autant plus que l'on chargera ses extrénûtés d'un poids plus considérable; il en est de même d'un arbre soutenu sur ses coussinets : il fléchit toujours plus ou, moins , suivant son poids , son élasticité, sa ténacité, et suivant les pressions qu'il supporte. Ce qui est vrai des corps inorganiques l'est à plus forCle raison des corps organisés , qui sont bien moins tenaces et bien plus élastiques. Une plante est soutenue , parce que la verticale de son centre de gravité tombe dans l'enceinte qui est déterminée par ses radnes ; mais cela n'empêche pas que les rameaux ne fléchissent par leur propre pesanteur, et que la tige elle-même ne puisse fléchir et se rompre par la même cause. Un éléphant est soutenu , parce que la verticale de son centre de gravité tombe dans l'enceinte des quatre colonnes qui supportent sa masse : mais il faut, en outre , que les vertèbres et les côtes soient assez fortement articulées pour porter un tel poids, et que les muscles et la peau puissent résister à la pression qu'ils en éprouvent.

66 LIVRE PmOER. — PESANTEUR.

On compiend pareillement que les changement! de fotme^qui résnltent, soit de Télasticité, soit de la «ompresstbilité^ soit dos. mouTements Toloo^aires qui déplacent les membi«s et les or<ganes , sont autant de causes cpii font varier le cenU« de gravité. Quand un hoimne 1ère- le bras , son oentire de graTité change de place; quand un otsean allonge le cou, son centre de gravilé eat très-sensiblement porté en avant. On voit (Fig. 2S), auK points m, r, /i, ^, lesquatt^ positions du centre de gravité d'un oiseau dans les quatre stations principales de.lamarche, du repos, de la nage et du- vol.

4tf . He la Balanee. — La balance ovdinaire se. compose d'un fléau ab (Pl. 3, Fie 9), scnitenu par son ndlîeu ut, et dont les bras am et bm sont destinés à porter les bassins c, dj très^mobiles autour de leurs points d'attache. Après avoir équilibré ces bassins, on met dans l'un d'eux le corps à peser, et dans Tautre des poids marqués, jusqu'à ce que l'équilibre soit établi, c'est^ à-Klire jusqu'à ce que le fléau soitparfidtement horizontal. Alors, si la balance est juste, le poids du corps est exprimé par le nombre de grammes et fractions de gramme qu'il a fallu mettre dans l'autre bassin; mais si la balance n'est pas juste, si sel deux bras ne sont pas mathématiquement égaux , il est évident que le poids du corps n'est plus représenté par les grammes qà lui font équilibre dans l'auti'e bassin , car les poids sont entre eux en raison inverse de leurs bras de levier, ou des bras de la balance, et ils ne sont égaux que quand les bras sont égaux.

Comme il est à peu près impossible de faire une balance dont les bras soient parfaitement égaux, on a imaginé- diverses méthodes pour remédier à cet inconvénient. La plus simple est la méthode des doubles pesées ou des pesées par subsiitution. Elle consiste à équilibrer le corps avec du plomb, du sable ou d'au* très objets, puis à retirer le corps quand l'équilibre est établi, et à lui substituer lès grammes et fractions de gramme qui sont nécessaires pour rétablir l'équilibre. Les poids marqués prenant ainsi la place du corps à peser, l'inégalité des bra^s ne peut plos avoir d'influence.

La balance ordinaire dont nous venons de parler peut serrir lorsqu'on ne veut atteindre qu'à une approximation d-enwiron 1 décigramme.

Pour les pesées trè&-exactes, il faut employer une balance plus parfaite, qui trébuche aisément à 1 milligramme lorsqu'elle