CHAP. VIII. — INTERFÉRENCES

gaudie, sp' — sp pour celle de droite. Donc , on ne fait autre diose «{u'exprimer un fait en disant : Les rayons se détruisent quand ils se rencontrent après avoir parcouru des chemins dont k différence est sp — sp\ Or, Fresnel ayant déterminé les positions des points/» et/»' et mesuré exactement la distance ss , il en a pu conclure aisément la différence des chemins parcourus ; et c'est ainsi qu'il a constaté que les rayons des différentes couleurs se détruisent lorsqu'ils ont parcouru des chemins dont la différence est 310 millionièmes de millimètre pour les rayons rouges, et 212 millionièmes pour les violets, etc., conformément an tableau précédent.

Fresnel a mesuré de même la distance s* s' des franges sombres du deuxième ordre , puis celle des franges du troisième ordre , etc. ; puis celle des franges brillantes du premier , du deuxième, du troisième ordre.... Comparaison faite de ces mesures , il en est résulté le principe fondamental que nous avons énoncé plus haut, savoir, que les rayons s*ajoutent quand la différence des chemins parcourus est 0 , -^, —, etc., et qu'ils''se dé-

tniisent quand cette différence ^^t -, —, —, etc.

La marche hyperbolique des franges est une conséquence immédiate de ce principe : car il est facile de voir que la série des points pour lesquels la différence sp — sp' des distances aux points p et p' reste constante , forme une branche d'hyperbole ayant ses foyers en p et p'\ que la série des points pour lesquels la différence s'p — sp' reste constante , forme une autre hyperbole ayant les mêmes foyers; de même pour la série des points dont la différence s'p — s^p' reste constante, etc.

Considérons, en général, la. frange brillante correspondante à «ne différence de n ondulations , ou à une différence de chemins parcourus égale à nd ; représentons par 2a et 2& le premier et le second axe de l'hyperbole correspondante, et par 2c h distance connue des deux images p et p' ou des deux

foyers. On aura pour caractères de cette hyperbole a =: — ,

bz=z^€^ — ."2?; si l'on suppose que les franges soient reçues sur OD tableau perpendiculaire à la ligne Icb et placé à une distance /n de la ligne pv'^ la frange dont il s'agit sera éloignée de la

urvife vu — opimcn.

centrale d'une quantité x==aU -g^ + USil^fMeui^ WBÊÊtÊ, loin f^w i^M flpi âoît ^rès^^gnoMi pur n^ppdÉt ii 9<9 os

peut négliger 1 par rapport à -r^ et Ton a seulement x == -r^i

am / à'Xû iim / a* \ » » J

oo^^— (1^ — ^— 1 oojF^-;-(lH-^] en s arrêtant aul

deux premiers termes du développement j parce que c est plii^ grand que a^ ou enfin^ eu mettant pour a sa valeur, I

Quand iz ne svréi pas exçesâÎTemênt grand , ou pourra néglige^' le second terme et prendre seulement

ndm

Alors rintCTTallc z entre deux franges consécutives , qui est i que Ton appelle la largeur d'um frange^ sera donné en ne par cette formule sîjaiple :

dm

Ce qui permet dr déduire b valeur de <^ ou I si lon^^teiu' d*ôti-^ didation , quand par des niesures précises oa a obtenu les valeurs de Cy de z et de m.

On peut aussi déterminer quel est l'angle des miroirs correspondant à des firanges d'une largeur donnée, et reconnaître qut cet angle s'élève à plusieurs dcfpnés avant que les firanges cessent d'être visibles.

On conçoit maintenant pourquoi les franges disparaissent Ion» qu'on supprime la lumière réfléchie par l'un des miroirs , car 3 ne peut plus alors y avoir d'interférences : les rayons du miroir découvert suivent leur route sans être partiellement détruits, el il«n résulte une lumière de teinte uniforme dans toute Técendut du fiEÙsceau réfléchi.

On conçoit pareillement pourquoi les franges sont déplacées |>ar Tinterposition d'une lame transparente dans le faisceau de Vun des miroirs ; car, la vitesse de la lumière étant diffimnti dans les difiérents milieux, les rayons ne mettent pas le mèoie temps pour traverser l'épaisseur de la lame interposée et pour

CHAP. YUI. — INTERFÉRENCES. di9

traverser une même épaisseur d*ai]\ S'ils mettent plus de temps dans la lame, ils sont €omme s'ils avaient plus de chemin à Êiire dans Tair. H en résulte par consécpient une véritable inégalité èios les chemins parcourus , bien que les longueurs de ces che- ■ins soient gëoHiétriquement égales. De là le déplacement des fcuiges , et comme le sens de ce déplacement , observé pour la pemière fois par M. Arago, annonce toujours un retard dans k kiaûère qui traverse la lame de verre, il en résulte d'une ma- ■îère incontestable que la lumière se meut plus lentement dans k verre que dans l'air.

ISl. Em^lteatlMi d« priaelpe des Ineerférenees dans le

tfsiéBBe des éndnlatlons. — Concevons une ligne indéfinie ax

^. 39, Fie^ 8), suivant laquelle se propage de la lumièi*e simple

d*uiie nuance quelconque. Admettons d'abord, pour rendre

Feiplication plos facile , que les mouvements de vibration s'ac-

iDoiplissent dans le sens du rayon, c'est-à-dire, que sur la

Igné ojT une molécule donnée d'éther reçoive succes^vement

deux vitesses contraires :.par exemple^, des vitesses positives qui

k poussent dans le sens or de la propagation, et ensuite des

esses négatives qui la rappellent dans le sens aa vers l'origine

èi mouvement que nous supposerons quelque part à gauche du

foint a. Les vitesses positives passent nécessairement par divers

itpts d'intensité ^ elles sont nulles d'abord, elles deviennent

Qoissantes, atteignent un maximum , et décroissent ensuite jus-

fia redevenir zéro. Q en est de même des vitesses négatives,

tt Ton admet de plus que celles-ci passent exactement par les

knes périodes que les premières. Par conséquent, si Toncon-

iikie au même instant toutes les molécules de la ligne ax , on

il trouvera dans tous les états et avec tous les degrés possibles

'e vitesse. Au point e , par exemple , la vitesse sera nulle ; puis

ks points précédents jusqu'au point d auront des vitesses posi-

fevtt , qui seront croissantes jusqu'en p^ puis ensuite décrois-

Mttes; àbd em:^ les vitesses seront négatives, ayant aussi leur

ftttkaum au point jv; de c en a se renouvelleront exactement

kl aiémes périodes , et ainsi de suite sui* toute l'étendue de la

%w lumineuse La longueur de la ligne ec sur laquelle se trouve

wm période a»nplète des vitesses, dans leur ordre, est ce que

Foa appelle la longueur de Vondulation. C'est cette longueur

' f« est de 620 millionièmes de millimètre pour les rayons rouges

■oyens, et de 423 millionièmes seulement pour les violets.

Ain»! , en suspendant par la pi.nisé€ la course rapide d'un tmjott lumineux^ et en robservanl tel qu*il est à cet instant, Ton ^^UTink pour la lumière rouge un million d ondulation» dans la longiii dp MQ millimètres ou un million d'espaces tels que tœ^ ce^ ctc

Mainienant., pour mieux peindre auY yeux les divem états molécules dans la longueur d'isne ondulation^ Ton peut, de d que molécule , élever stir la ligne ax une perpendiculaire (jot présente en longuenr la vitesse correspondante; et comme 11 rection de cette vitesse est de a vers .r pour les points contpri* entrer et d^ et au contraire de x vers a pour les poinis eompE entre d et c, si Ton élève ces perpcndi rida ires aH'-de^^xus de pour le premier cas, et a U'fiessou s "pour le second, lu ii^iie nueuse ermitm\ formée par les extrémités de ces perpendi^H laires, pourra donner nne juste idée de la direction et de grandeur des vitesses. Les lignes courbes des vitesst^, funné d*après ces principes et ces conventions, peuvent servir ainsii caractériser les ondulations; et comme on peut concevoir ui infinité de courbes diRerentes , passant par les points e, r/ et et remplissant les conditions voulues de grandeur et de svmé il est évident cju*il peut y avoir une inJlnîté d'omlulations dil renies, ayant tontes la m^^me longtieur.

Après avoir reconnu Tétat dans lequel se trouvent les dh pùints de la ligne lumineuse a,r à un instanf dormé^ nous de^ exam i n er e n cSre F é r a t d Vf /^ w/^ We />f » /// f , ea r ï si d éré d a us /^ Imh instants con.wcutifs* Le point e, par exemple , est en repos ^ M vitesse est nulle; mais, dans les instants suivants, toutes les 4| tesses qui aiïectent prt'senfement les points précédents, jusqu'à ^ viendront affecter siiccessUfemenf le point €. Ainsi, dire qu'une imdulntion passe par un point donné, c'est dire qtie ce jmm^ reçoit successivement, et dans leur ordre, toutes les vîtesâes fd constituent Tondulation. • - ^ • * M

Cela posé, considérons ime autre ligne âjc (Fie, 0), cl«i autre ondulation identique à la préeédeme, qui se frf^êfjtwé^ Tant cette ligne ; supposons de plus que eette seconde onduls— tîon se triHiTc d* accord avec la première, c^est-à-dire quk *■ instant donné les points de repos et de mouvement se corre»^ pondent exactement. Il est clair que s'il y a ainsi accord parto k un instant^ cet acenrd se soutiendra toujours. Quand le porM # M'ra en repos sur la première ligne, il sera en repos sur Li seconde ; quand il aura le maximum de vitesse positive sur k pfo-

CHAP. YIII. — INTERFËRENCES. 321

mière, 3 aura le maximum de vitesse positive sur la seconde, etc. Qr, si Ton pouvait, par un moyen quelconque, amener le rayon hnnineux eue de la .figure 9 en coïncidence avec le rayon ax de k figure 8, sans rien changer à Taccord où ils se trouvent, il est fiîdent que toutes les vitesses seraient doublées par la superpoàion des petits mouvements, et que Fintensité de la lumière en mit augmentée.

Le résultat serait le même encore si Tun des rayons était en ictard ou en avance sur Tautre, d'une ou de plusieurs ondulaliras entières, ou, ce qui est la même chose, d'un nombre pair le demi-ondulations.

Et enfin il serait encore le même si les deux rayons , au lieu it se superposer, venaient seulement concourir au même point .

Î' H se rencontrer sous une petite obliquité. Donc, premièrement, deux rayons homogènes ajoutent leur f«lat quand ils se rencontrent sous une petite obliquité , et que d'eux est, à l'égard de l'autre, en avance ou en retard d'un litmhre pair de demi-ondulations.

Mais, si l'un des rayons est en retard sur l'autre d'une demi* Mnlation, comme le rayon aV (Fig. 10) à l'égard du rayon Il (Fig. 9), les phénomènes changent complètement d'appae : alors le point «, par exemple (Fig. 9), correspond au It f (Fig. 10). Le premier de ces points va être traversé par loode edcy et le deuxième par Tonde f'e'd! ; ainsi, l'un prendra 4es vitesses positives, tandis que l'autre recevra des vitesses nées égales, et vice versa.

Par conséquent, si l'on suppose que les deux rayons ax et Wj^ soient amenés en coïncidence, les vitesses se détruiront à ^dkMjue instant par leur superposition, et tous les points seen repos; il n'y aura plus de mouvement et plus de lu-

Aiosi, la coïncidence de deux rayons homogènes peut produire ^ki ténèbres complètes.

Le résultat serait le même si l'un des rayons était en retard M en avance sur l'autre , d'un nombre impair quelconque de ^Bî-oiidulatioiis.

n serait le même encore si les rayons se rencontraient sous

le petite obliquité.

Donc, secondement , deux rayons homogènes se déti*i{isent et fvoduisent les ténèbres quand ils se rencontrent sous unte petite II. 21

un sti&pendant par la pensée la course rapide d\n i lumîneuic, et en robservanl t^lqu il est à cet instant. Ton tirm^ pour la lumuVe rouge un million d'ondulations dans la lon{ fie 6iO millinielTes on un million d'espaces tels que ac^ r<% c

Maintenant, pour mieux: ]3eindre aux yeux les divers eta molécules dans la longueur d'une ondulation, Ton peut, de que molécule , élever sur la ligne ax une perpendiculaîr repi'ésenle en longueur la vitesse correspondante^ et eomi direction de cette vitesse est de tt. vers r pour les points en» entre e et d^ et an contraire de s vers a pour le^ points co en Ire fi et c, si Ton élève ces perpendiculaires au^fessus t j)our le premier cas, et mi-f/eA".¥^w.r pour le second, la ligi ïuiense crmime^ ftirmce par les extrémités de ces per|>en laires, pourra donner une juste idée de la direction et grandeur des vitesses. Les lignes courbes des vitesses ^ foi d ''a près ces principes et ces conventions , peuvent servir a caractériser les ondulations; et comme on peut coneevoi infinité de courbes différentes^ passant par les points e, rf et remplissant les conditions voulues de grandeur et de s\iii il est évident quHl peut y avoir une itifiniié d'ondulations rentes, ayant tontes la même longueur.

Après avoir rer^nTînTi Tétsit dîtns l<*{jnel se tronvrnt les i points de la ligne lumineuse tue k un instant donnée nous d examiner enc8re l'état dVm même points considéré dans/^/f/, instants consécutifs. Le point e, par exemple , est en repc vitesse est nulle; mais, dans les instants suivants, toutes I tesses qui affiectent présentement les points précédents, jusq viendront affecter successwement le point e. Ainsi , dire q ondulation passe par un point donné, c'est dire que ce reçoit successivement, et dans leur ordre, toutes les vitessi constituent l'ondulation.

Cela posé, considérons une autre ligne ojc (Fig. 9), c autre ondulation identique à la précédente , qui se propag vant cette ligne ; supposons de plus que cette seconde on tion se trouve d'accord avec la première, c^'est-à-dire qu instant donné les points de repos et de mouvement se a pondent exactement. Il est clair que s'il y a ainsi accord [ à un instant, cet accord se soutiendra toujours. Quand le p sera en repos sur la première ligne, il sera en repos sur conde;*quand il aura le maximum de vitesse positive sur 1î

CHAP. YIII. — INTERFÉRENCES. 321

ière, fl aura le maximum de vitesse positive sur la seconde, etc. r, si Ton pouvait, par un moyen quelconque, amener le rayon mineux ax de la .figure 9 en coïncidence avec le rayon ax de ^[ure 8, sans rien changer à l'accord où ils se trouvent, il est ident que toutes les vitesses seraient doublées par la superpoion des petits mouvements, et que Fintensité de la lumière en nit augmentée.

Le résultat serait le même encore si Tun des rayons était en ïtard ou en avance sur Tautre, d'une ou de plusieurs ondula- ODS entières, ou, ce qui est la même chose, d'un nombre pair e demi-ondulations.

Et enfin il serait encore le même si les deux rayons , au lieu le se superposer, venaient seulement concourir au même point . tse rencontrer sous une petite obliquité.

Donc , premièrement , deux rayons homogènes ajoutent leur irbt quand ils se rencontrent sous une petite obliquité , et que fîm d'eux est, à l'égard de l'autre, en avance ou en retard d'un wmhre pair de demi-ondulations.

Mais, si Tun des rayons est en retard sur l'autre d'une demi* iwlolation, comme le rayon aV (Fig. 10) à l'égard du rayon ir (Fig. 9), les phénomènes changent complètement d'appa- KBce : alors le point «, par exemple (Fig. 9), correspond au pint f (Fig. 10). Le premier de ces points va être traversé par ronde erfr, et le deuxième par l'onde f'e'd! ; ainsi, l'un prendra ies vitesses positives , tandis que l'autre recevra des vitesses népdves égales, et vice versa.

Par conséquent, si l'on suppose que les deux rayons ax et i(y soient amenés en coïncidence, les vitesses se détruiront à «b(pie instant par leur superposition, et tous les points sénat en repos; il n'y aura plus de mouvement et plus de lu-

Ainsi , la coïncidence de deux rayons homogènes peut produire kl ténèbres complètes.

Le résultat serait le même si l'un des rayons était en retard ^ en avance sur l'autre , d'un nombre impair quelconque de ^aû-ondulations.

Il serait le même encore si les rayons se rencontraient sous tte petite obliquité.

Donc, secondement , deux rayons homogènes se détnfisent et ■oduisent les ténèbres quand ils se rencontrent sous nvie petite II. 21

obliquité , et que l'un est à Tégard de l'autre en retard ou ei avance d'un nombre impair de deuii-oudulations.

L^analyse que nous venons de faire des mouvements o&cill» toires qui s'accomplissent dans le sens du rayon s'applique évi* demmcnt à ceux qui pourraient s'accomplir peipendiculairemen au rayon, pourvu qu'ils se trouvent dans le même plan, car s'il se trouvent dans des plans différents , leur composition est son mise à d'autres lois.

C'est ainsi que le principe des interférences devient une gqii< séquence nécessaire du système des ondulations. En se repor tant maintenant a rexpérience des miroirs, on pourra facilemfli en faire Tanalyse, et reconnaître que l'inégalité des chemins pai courus par les rayons qui viennent former les franges somba et brillantes , produit un retard d'un nombre impair de dem» ondulations dans le premier cas , et d'un nombre pair dans li second.

152. DeserlptioB de l*apparell séaérml de dUTraetUMu — lé figures 1 à 6 représentent les diverses pièces dans Tappainj complet* de dif&action ou banc de diffraction que j'ai fait ooai struire pour la Faculté des sciences, par M. Soleil, qui appoil des soins minutieux et une ingénieuse habileté dans la constntt tion des instruments d'optique. ^

a est un plateau de bois, supporté par des vis calantes, il a ^ peu plus de deux mètres de longueur ; b est une pièce de fooi très-solide , de deux mètres de longueur, ajustée à la maniai d'un banc de tour, c'est-à-dire que ses deux bords supériafl sont parfaitement droits; Tun c est plat, et l'autre d prismatique; sur ce banc viennent s'adapter des supports de cuivre, tel que s (FiG. 1), s' (FiG. 2), s" (Fig. 3), ayant tous la même lu» teur et le même axe; on voit dans le support/ Tespèce deoNi lisse destinée à recevoir successivement les fiches u** 1 à u* lï (Fig. 4) , sur les^juelles sont disposi's les appareils qui doives agir sur la lumière. Panni ces appareils, les deux premiers sotf destinés à être mis sur \c premier support s\ c'est-à-dire à la tàl du banc; ils servent seulement à disposer la lumière en faiseeavi de formes et de dimensions convenables; les autres sont dL'Stiiii à être mis sur le di'iuième support a", c'est-à-dire à une certaÎM distance dctcrniince derrière le premier support, pour n^eevoîl la lumière el produire les dilfèi ents phénomènes d'interféreiioi ou de diiïraclion.

CHAP. YIU. *- APPAREIL DE DIFFRACTION. 313

If* 1. LeatBle cylindrique pour la tète du banc;

II* 2. Appareil i biseaux, donnant une fente de grandeur va« m^s; il doit, pour plusieurs expériences, se substituer à la Icn* liecylindricpie;

If* 3. Écran à biseau qui couvre la moitié de rouverture de kficbe;

IP 4. Un fil fin de métal, un crin ou un cheveu;

N* S. Une aiguille, ou une bande taillée en pointe;

IP 6. Une tige d'environ un millimètre de diamètre. Il y a de éÊtpe coté un écran mobile, Tun opaque pour Texpérience docteur Young , l'autre transparent pour Texpérience de

.Arago»

H* 7. Petit cerde opaque sur une lame de verre;

; R* 7 bis» Ouverture circulaire plus petite que le cercle opaque

^7; elle doit être mise sur le premier support, quand on met

icoxde n® 7 sur le deuxième;

^tf*8. Appareil à biseatuL pour le deuxième support ; la tête i h vis dkût être divisée pour que Ton puisse mesurer avec ide la largeur de Touverture, ou la dètance des bi-

IrS^ 9. Ouverture circulaire d'environ un millimètre pom- les > dbrculaires; il en £aut deux pareilles, Tune pour le pre- 'support, Fautre pour le deuxième;

10. Mircûr de verre noir, pour les franges qui se produii par rinfluence des bords sur la réflexion ; on en voit la coupe

^If* 11. Miroir semUable au précédent, mais assez étroit pour

lies deux bords agissent à la manière de deux biseaux voi-

i; on en VEoit la coupe au-dessous;

i I* Id. Trois tiges de un à deux millimètres de diamètre; les

i tiges des bords ne servent qu'à produire des fentes de cha-

toôté de celle du milieu; dans cet état, elle sert à faire avee

Aère solaire l'expérience des fentes étroites, du docteur

[ ; il y a en outre un écran opaque pour fermer à volonté

t des fentes , sur une partie de sa hauteui* ; de l'autre côté ,

i de verre de M. Arago, poiur couvrir les deux fentes ou

rieule;

â^ 13. Appareil semblable au précédent, mais à liges plus «Ott, pour faire les mêmes expériences avec la lumière de la

324 LIVRE YI. — OPTIQUE.

N^ 14. Deux ouvertures circulaires très-petites pour Te périence de Grimaldi, avec des écrans semblables aux préo dents ;

M® 15. Disposition du bi-prisme de M. Pouillet, reprëseolc part (FiG. 6);

M® 16. Disposition des miroirs de Fresnel, représentés à p (FiG. 11);

N® 17. Réseau, formé par des traits aux diamants éqaidist» parallèles , soit sur du Terre , soit sur des plaques de métal ; i a de 20 à 100 traits au millimètre.

Pour £aiire les expériences avec la lumière solaire , on ramà dans la chambre noire, au moyen de l'héliostat, un faisceau i lumière suivaht l'axe optique du banc de diffraction , et cette 1 mière , préparée par la lentille n* 1 ou par l'ouverture n* i < premier support, vient tomber sur l'appareil du deuxième sif port. Si l'on veut agir sur la lumière homogène, on met un vol rouge derrière le premier support, ou bien l'on adapte un pridi au volet même de la chambre noire , et Ton projette succesôi ment ses diverses couleurs sur le banc de diflBraction.

Lorsqu'on veut se servir de la lumière artificielle , on mef^ avant de la tête du banc une flamme d'alcool salé ou une laii Carcel , portant , outre sa cheminée de verre , une cheminéei tôle percée, vis-à-vis la flamme , d'une petite fenêtre par laqod la lumière se dirige suivant la longueur de Tappareil, et T procède comme avec la lumière solaire.

Dans l'un et l'autre cas, les franges produites viennent s'oi server près de l'autre extrémité du banc avec le micromètre Fresnel qui est mis en place dans la figure 1 . Cet appareil compose d'une vis micrométrique v dont le pas est par exemple* ^ millimètre, et dont la tête t est divisée , je suppose, en 500 (N ties, en sorte qu'une division corresponde à un déplacemc d'un millième de millimètre; la vis entraîne dans son mouf ment une pièce de cuivre percée d'un trou dans lequel s*ada{ une loupe représentée à part en /, et au foyer de la loupe \ tendu un fil vertical très-fin qui se déplace avec elle et avec pièce de cuivre sur laquelle elle est montée. On comprend 9 près cela que , pour mesurer la distance absolue de deux firanj sombres ou brillantes , il suffit d'observer sur la tête de la vis combien de divisions elle a dû tourner pour que le fil mîcf métrique passe du milieu de Tune des franges au milieu

CHAP. Vm. — APPAREIL DE DIFFRACTION. 395

Toitre. Pour amener la loupe Tersle point où tombent les franges, m bit mouToîr latéralement tout le système du micromètre m la grande pièce j^ au moyen d'un pignon denté z et d'une oniailière tv. Les distances entre l'appareil agissant du deuxième upport et le fil micrométrique de la loupe se mesurent ayec ■e grande exactitude au moyen de la division du banc lui- ■tne.

k Les miroirs de Fresnel sont, comme nous l'ayons dit, montés

pr la fiche n* 16, mab nous ayons pensé qu^il était nécessaire

^ les représenter à part et plus en grand (Fig. 11). Le premier

m est fixé par trois yis; le deuxième m' est mobile sur les

des deux yis a et 6 , et il s'incline plus ou moins , au moyen

h troisième yis c. La fiche qui les porte se met à environ 2 dé-

de la tète du banc, et Ton peut alors avancer le micro-

depuis l'extrémité du banc jusqu'auprès des miroirs, pour

rer les firanges dans diverses positions , soit qu'on les pro-

au moyen de la lumière du spectre, ou au moyen de la

I Carcel et d'un verre rouge.

Comme cette expérience est assez délicate , j'avais imaginé

is d'y sup[déer par le double prisme de la fiche n^ 15 9

la section est représentée à part dans la figure ô : Findi-

des bœs a et î est fort exagérée , car elle doit être exces-

it petite ; on comprend que les épaisseurs du verre tra-

par la lumière étant très-peu différentes, on obtient

i des différences de chemins parcourus analogues à celles que

les miroirs, et par conséquent des franges qui présentent

I Blêmes caractères.

Lorsqu'on fait ces expériences ainsi que les suivantes avec de

Innière blandie, les phénomènes changent d'apparence : on

eplus des fi:iuiges alternativement sombres et brillantes,

bien des franges diversement colorées. En effet , les franges

étant toujours plus étroites que les rouges, et parcon-

it plus serrées, on voit que les différents systèmes de

des diverses couleurs se superposent en empiétant les

sur les autres, de manière à former des teintes corn*

qui se succèdent dans un ordre parfaitement régulier.

ligore 7 donne une idée de cette composition; elle repré-

JMe seulement les franges rouges, vertes et violettes, et il est

■Ole de juger à l'œil de ce que Ton obtiendrait en les super-

8i6 LIVRE TI. — OPTIQUE.

ItfS. FnuBges produites pmw les ksHbi des éewmmmm — Lon-

<ju'on met sur le premier support de l'appareil général la fiAa n* 1, et sur le deuxième support la fiche n* 2, la ligne qui ^di foyer de la lentille cylindrique au bord de Fécran décernuBl l'ombre géométrique , et Ton reconnaît qu'il n'y a aucane fmgi dans cette ombre à quelque distance qu'on l'observe ; il y a se» lement une teinte qui va en se dégradant rapidement : mais m dehors de l'ombre , dans l'espace qui devrait être uniformémori éclairé, on distingue plusieurs franges sombres et brillanM lorsqu'on emploie de la lumière homogène , et plusieurs franii de diverses couleurs lorsqu'on emploie de la lumière blandii En les observant) avec le micromètre, à diverses distances, dj constate aisément que la première, la deuxième et toutes ■! suivantes se trouvent sur des branches d'hyperboles de plus H plus ouvertes, ayant leur sommet au bord de l'écran et kl centre commun au milieu de la distance qui sépare l'écran 41 point lumineux, c'est-à-dire du foyer de la lentille. Ces obi^ vations, pour constater la marche hyperboUque des franges,^ font aisément au moyen d'un écran large à bords parallâtfj puisqu'il su£Bt alors de mesurer la distance de deux franges é même ordre, situées l'une à droite, l'autre à gauche, d'en li trancher la largeur de l'ombre de l'écran, et de prendre la mê tié du reste, qui exprime la distance de la frange à l'onli géométrique.

Voici maintenant le principe général au moyen duquel FrcaH explique la formation des franges et toutes leurs propriél» quel que soit Tappareil qui serve à les produire :

A IjCs vibrations d*une onde lumineuse dans chacun de tf points peuvent être regardées comme la somme des mouvemefll élémentaires qu'y enverraient au même instant , en agissil isolément , toutes les parties de cette onde considérée dans ui quel<*onque de ses positions antérieures. »

Ainsi, le point /* (Fig. 13) étant un point lumineux, oui foyer d'un faisceau de lumièn^ simple , et le cercle xzx' repré sentant une portion de Tune des ondes envoyées par ce poi lumineux, la vitesse (jni se produira en un point quelconque/ lorsque cette portion <\r Tonde y passera , sera la même que I vitesse qui serait produite en ce point par la résultante de to«* les actions que les divers <»loments nrnc de Tonde pourrais exercer sur lui , en les considérant comme autant de contP

(TAnmlement ou de points lumineux particuliers. Il arrive même que dans la composition des mouvements élémentaires anojés en p par les diverses parties de Tonde xzjr\ Ton ne iok tenir compte que des parties qui avoisinent le point z situé m k ligne /^ , et négliger complètement celles qui en sont WÊti éloignées pour que les lignes correspondantes , telles que ^jmp, cpj aient une inclinaison sensible , parce que leurs actons deviennent contraires et se détruisent mutuellement. En dfet, prenons, par exemple, les trois points a , /i? , r, de malOre que ap — mp soit égal à mp — cp et égal à une demi- «idalation ; à cause de Tobliquité de ces lignes, et de leur Ionhnnir qui est comme infinie par rapport à la longueur si petite pmie demi-ondulation , il est clair que les arcs très-petits ma

Ë seront égaux entre eux ; or, les ondulations qui arriveen p suivant ap et suivant mp étant en discordance, c'esten différence d'une demi-ondulation , se détruiraient ; ■reillement, les ondes qui partiraient de tous les points comlii entre a et m étant en discordance avec celles qui partiraient kl points correspondants compris entre m et c, il y aurait destaction complète, puisque am^=mc. Donc la résultante des toîons de Tonde xza^ sur le point p ne dépend que des actions [nites par les divers points de cette onde qui sont à une distance du point z. Ce que nous disons du point /? s'apau point/?' et à tout autre point quelconque; c'est-àque la résultante des actions que les divers points d'une 'mk exercent sur un point donné dépend seulement des actions |roduites par les points de cette onde qui se trouvent à une fitite distance de la ligne menée du point lumineux au point Ponné. Quand Tonde se propage librement , toutes ces résullintes sont égales pour des points qui sont à la même distance h point lumineux, et la lumière est uniforme.

Mais quand Tonde xzx' rencontre un obstacle, par exemple, ^ écran zç (Fie. 14), la portion za/ étant arrêtée , la résull«e des actions qui s'exercent au point p est seulement protee par les divers points de la portion zx de Tonde qui est fce. Par conséquent, pour connaître Tinfluence d'im écran , il kt savoir calculer la résultante des actions que les divers points lp la partie libre de Tonde peuvent exercer sur un point fenne* Or, si ce point est en p' par exemple, de telle sorte que la

aS8 UVB£ Yl. — OPTIQU£.

ligne fp' vienne percer la surfoce de Tonde xzJ en un point i un peu éloigné du bord z de récran, il suit de ee que-no» venons de voir que la résultante étant seulement dqpendanle des points qui avoisinent le point :^ et tout à &it indépendaHli des points éloignés comme z et af^ l'éclat de la lumière refaf en./»' ne sera modifié en rien par la présence de récran. VoA pourquoi les franges diffractées ne s^étendent jamais qu'à vati petite distance angulaire du bord de l'écran.

Mais si le point donné est en p' de manière que fp' pensa Fonde en un point z" assez voisin de z pour que Faction exerol| suivant zp" ne puisse être négligée , alors la lumière qui arriq^ en ce point /»* est modifiée par la présence de Fécran. é

Nous allons essayer de faire comprendre le principe de ci| modifications et la cause des alternatives d^ombre et de lumiim qu'elles produisent. Pour simplifier les idées, nous raisonneroq seulement sur ce qui arrive dans le plan de la figure ; il fA fiidle. de voir que tout sera pareil dans les plans voisins m celui-ci , soit que le foyer /* provienne d'une lentille cylindri^ parallèle au bord de Fécran, soit qu'il provienne d'une kmM| sphérique ou d'une très-petite fente. I

Soient /*le point lumineux (Fig. 15), et xzx la portion d'M onde qui se propage vers le point/». Menons la ligne /Jv, 4 séparons par la pensée les effets produits sur le point p par l^ deux portions xz et zx' de l'onde xzx\ ces portions étant étendues pour comprendre tous les points de Fonde qui pcu^ transmettre en p des actions sensibles ; car, d'après ce qui pffi cède, nous pouvons négliger tout ce qui est à une distance lU peu grande du point z. Tout étant symétrique de chaque coB de fzy il est évident que la somme des actions produites eaj pai* xz ^ sera identique à la sonune des actions produites a* même point par x'z , et que si l'on représente par 1 la viteiP qui résulte des premières, 1 sera aussi la vitesse que doit poasttio le point/? quand il reçoit pleinement et sans obstacle la somflB des actions que tous les points efficaces de Fonde xzx' peurol exercer sur lui.

Du point /> comme centre, et d'un rayon />s, décrivons tti arc de cercle et traçons des lignes/^, pSjpb\ ps\ etc., de tfllk sorte que les parties bi , jr, 6'*, /r', etc. , comprises entre k arcs zx' et zk , soient respectivement égales , la première à uni «lemi-ondulation , la deuxième à deux demi-ondulations, I

troîsîèoie à trois demi-ondulations , etc. ; alors de cette cou- MCÙoa sbnple on pourra tirer les conséquences suivantes :

1* Les arcs correspondants zb^ bs, sb\ b's\ etc., dépendront, pour leurs grandeurs, et de la distance de Tonde xzx' au point lumineux /^ et de la distance du point p à Tonde xzx' ; mais hns tous les cas ils iront en décroissant avec plus ou moins de npidité : le premier zb étant plus grand que le deuxième , ce- Im^d plus grand que le troisième, etc.

V Tous les points compris de ^ en 6 ou sur le premier arc emceront sur le point/? des actions conspirantes entre elles, fid que soit d'ailleurs Tordre suivant lequel décroisse Tintensité de ces actions à mesure que Ton s'éloigne de z ; il en sera de ■ème des actions exercées par les points compris de b en j, ou m le deuxième arc, et de s en b\ et de V en s\ etc.

3^ Les actions exercées par les points compris de ^ en 6 , ou 4V le premier arc, seront discordantes avec les actions exercées |v les points compris de £ en ^ ou sur le deuxième arc ; cellesci seront discordantes avec celles du troisième , qui seront ^Kordantes à leur tour avec celles du quatrième, etc.; car Faction qui s'exerce suivant zp sera en discordance complète nec celle qui s^exerce suivant pb^ puisque par hypothèse les [fangueurs de ces lignes diflerent d'une demi-ondulation. Par la '■ème rabon , chacun des points compris entre z et b sera eu discordance avec Tun des points compris entre b et *, puisqu'on iftxA choisir ces deux points de manière que la différence de leurs distances au point p soit d'une demi-ondulation , etc.

4* llalgré ces discordances complètes, Taction du premier arc ^ ne sera que partiellement détruite par celle du deuxième arc k, parce que zb est plus grand que bs , et parce que les points 4e zb agissent sur le point p moins obliquement et par conséfient avec plus d'énergie que les points de bs ; de même Taction du troisième arc ne sera que partiellement détruite par celle : di quatrième , etc. ; la résultante totale des actions de Tare zx «» le point p n'est donc autre chose que la différence des actions discordantes et contraires produites sur ce point par le fremier et le deuxième arc, le troisième et le quatrième, etc. ; *, si Ton veut, cette résultante est l'excès des actions pro- AhIcs par les arcs de rang impair sur les actions produites pv les arcs de rang pair, tous ces arcs étant déterminés, comme ■DUS Tavons vu, par la condition que les lignes pz^ pby ps diffè-

rent d'une demî-ondulation. C'est cette difïerence on cet excès qui donne au point p une vitesse dans un sens ou dans l'autre, que nous avons supposée être égale à 1 .

5^ Cest le premier arc , ou le plus voisin de la ligne fp qui détermine le sens de cette vitesse qui est imprimée par la résultante totale ; et si Ton pouvait , par exemple, arrêter ou supprimer Taction de tous les points compris entre j; et &, la résuhanle de tous les arcs restants donnerait en b une vitesse moindre que 1, et le point b vibrerait dans le sens de la résultante de bs^ c'està-dire qu'il serait en discordance avec la résultante des actions àe zb. Il suit encore de là que l'action produite par le premier arc seul l'emporte en intensité sur l'action produite par tous les autres ensemble ; car le résultat change de signe suivant que le' premier y entre ou n'y entre pas. Ce que nous disons ici Ai premier, par rapport à tous les autres, s'applique à l'un quiconque des arcs par rapport à tous les suivants ; l'action isolée de chacim l'emporte toujours en intensité sur la somme de» actions de tous ceux qui le suivent.

Ces conséquences nous conduisent à la véritable cause de k production des franges.

En effet, supposons !• qu'un écran arrête toute la partie jMf de l'onde xzx' (Fig. 15); le point p reçoit alors l'action de la partie xz et prend une vitesse égale à 1 .

Supposons 2" que le bord de l'écran soit en A, alors la partie hj^ est seule arrêtée, le point p reçoit l'action de .rr, plus raction de zb\ ces actions sont conspirantes, et il en résulte en p une vitesse égale à 1 de la part de xz et plus grande que 1 de la part de zb. Donc quand le point p est placé à l'égard de récran de telle sorte que la somme des distances fb-^-pb au bord de récran l'emporte Xnne dern i -oriffiil a ti on sur la ligne droite fp/\\ reçoit phis de vitesse qu'il n'en recevrait si V écran n existait pas.

Supposons 3® que le bord de l'écran soit en s^ la partie sx* est seule arrt^tée; le point p reçoit l'action de .r", plus l'action de zs : la prcmiort* donne en p une vitesse égale à 1 ; la seconde étant seulement l'exccs de la résultante de zb sur celle de r*, donne une vitesse bien moindre que 1 ; donc, quand le point p <'st placé à Tc'gard de r<»cran de telle sorte que la somme des distances fs-\'ps^ au bord de l'écran, l'emporte de deux demi^ ondulations sur la ligne droite fp^ il iTcoit beaucoup moins de vitesse qu'il n'en recevrait si l'écran n'existait pas.

CHAP. Tni. — FRANGES. 331

En suivant le même raisonnement, nous pouvons conclure d*ime manière générale que la présence d'un écran augmente la fhesse de vibration sur tous les points pour lesquels la ligne brisée, qui arrive an point lumineux en passant par le bord de Tecran, surpasse d'un nombre impair de demi-ondulations la Igné droite qui arrive directement au point lumineux; la trace de tous ces points forme donc la trace de toutes les franges biillantes; et qu'au contraire la présence de Técran diminue la vitesse de vibration dans tous les points pour lesquels la ligne Usée qui arrive au point lumineux en rasant le bord de l'écran iBpasse d^un nombre pair de demi-ondulations la ligne droite foi arrive directement au point lumineux ; la trace de tous ces pomts forme donc la trace de toutes les franges sombres. Nous pouvons condare de là que les traces de ces franges forment des bjpeiboles et non des lignes droites; qu'elles sont plus serrées [ ims la lumière violette que dans la lumière rouge ; enfin que [ kur» distances à Fombre géométrique changent avec la distance iai point lumineux à Técran, et avec celle du tableau sur lequd n les reçoit.

Dans ce qui précède nous avons seulement parlé des vitesses dcTibradon que doit prendre le point p suivant sa position par Apport à la partie de l'onde qui n'est pas arrêtée par l'écran, pETce qu^en eÎFfet ce sont ces vitesses qui résultent immédiate- Beat de la composition des mouvements élémentaires qu'il reçut des différentes parties de l'onde lumineuse. Quant à Vinten^ tHé de la lumière^ ou à la vivacité de l'impression que nous en pouvons recevoir, elle n'est pas proportionnelle à ces simples vkesses, mais bien au carré de ces vitesses ; car elle est évidemlent proportionnelle à la force vive, c'est-à-dire au carré de la vitesse multipliée par la densité du milieu; et, au fond de notre c3, cette densité de l'éther est constante poiur la même organisation. Remarquons en6n que pour la lumière, conune pour le IDD, le changement de vitesse ne change pas l'isochronisme des librations, mais seulement leur amplitude; un son grave reste toujours grave, parce que ses vibrations s'accomplissent toujours dutt le même temps; la lumière rouge reste toujours rouge par Il même raison, et la lumière rouge diffère de la lumière violette parce qu'elle correspond à un moindre nombre de vibrations dans le même temps, comme un son grave diffère d'un son aigu par la même cause. C'est en partant de ces données

33i UVRS VL ^ OPTIOUE.

que Fresnel est parvenu non-seulement à expliquer la fonnAtk» des franges dans tous les cas possibles, mais i donner des formules pour calculer Tintensité de la lumière et la nature dei teintes qui se développent dans les principaux phénomènes d'interférence ou de diffraction.

Itf4« Wwmmgmm Intériewrea pr^éaltes 4«m l>aibre émm OMfi «elles M dtos émwmmm éêwoitm. — Soient of (Fi6. 16) un écnn, fnn point lumineux, xtfj/ Tonde incidente, que nous suppoterons appartenir à la lumière rouge homogène, g le foyer de la loupe sur laquelle on reçoit Tombre de l'écran, ggf la laigev de l'ombre géométrique, et /i un point quelconque situé dans cette ombre, dont Taxe est suivant la ligne fin/.

Sur le cercle attW, qui représente l'onde incidente, on prend à gauche de pi des points a, i, c, d^ etc., tels que, en les joignant au point /», la différence de deux de ces lignes oonséou* tives soit égale à la demi-longueur d'une ondulation.

A droite de/»/, on prend psûrdllement des points a\ b\ c\ etc., qui remplissent la même condition.

Gela posé, pour connaître la vitesse que doit prendre 1» point/», il suffit de remarquer qu'elle résulte des quantités partielles de mouvements envoyées par la portion te de l'onde in* cidente et par la portion fx'»

Qr, les arcs ta et ab étant essentiellement inégaux, et de pifls rintensité des ébranlements que leurs divers points peuvent exciter en p étant différente à raison de leur inclinaison croîs* santé sur la ligne pf^ il en résulte que ces deux arcs pris ensemble envoient de la lumière au point/», qu*il en est de même des deux suivants, jusqu'à ce que Ton arrive à un groupe de deux arcs pour lesquels les lignes menées au point p soient tellemenl inclinées sur pf que Ton puisse considérer comme tout à frit nulles les différences des ébranlements qui arrivent dans ces directions.

On peut essayer de déterminer par le calcul l'intensité et la direction de cette résultante de tous les ébranlements partiek que les divers points de Tonde ta envoient au point/», mais jusqu'à présent la théorie n'a pas appris à résoudre cette question d'une manière générale, et d'ailleurs nous devons nous borner ici à faire remarquer que Tare ta est celui de tous qui produit le plus grand effet sur le point /», parce qu*il agit de plus près et sous la moindre obliquité. Ainsi la résultante aura,

dans tous les cas, une direction telle que/^r, plus ou moins rapprochée de pt. Mais cette direction changera par deux causes : 1* la distance du point lumineux à Técran restant la même, la résultante s'éloignera d'autant plus de pt que le point /> s'approdiera davantage du bord de Tombre géométrique du coté de g^ parce que les lignes /?a,/?6 deyenant moins obliques, les ftranlements qui arrivent au point/? suivant ces lignes prennent phs d'intensité; 2® le point/? restant le même, si le point lumineux se rapproche ou s'éloigne de l'écran td^ le cercle qui représentera Tonde incidente, et qui passe toujours par les points t et r', sera en dedans ou en dehors du cercle a:f, et cette circonstance changeant la di^sition des points a, ft, c, etc., et l'obliquité des lignes menées de ces points au point/?, il est évident que la direction de la résultante pr des ébranlements qu'ils excitent en ce point sera elle-même changée, et d'autant plus rapprochée de pt que le point lumineux sera plus près de l'écran.

Ainsi, en dernier résultat, la lumière que la portion ta de l'onde envoie au point p dépend de la largeur de l'écran, de sa distance au point lumineux, et de la position de ce point/? dans l'ombre géométrique.

Ce que nous venons de dire de la portion tx de l'onde s'applique à la portion l!x\ qui donne donc aussi au point /? une résultante /?/, dont la direction est plus ou moins rapprochée de pt. Mais, pour une même distance du point lumineux à Fécran, on voit que cette résultante se rapproche Aeptf à mesure que le point p se rapproche du bord g de l'ombre géométrique, et par conséquent à mesure que la résultante de ta s'éloigne de fi\ et réciproquement la résultante /?/ s'éloigne de pi! à mesure qne le point/? s'approche du bord ^ de l'ombre géométrique, et par conséquent à mesure que la résultante pr se rapproche ^pt.

Ces deijx résultantes pr e\.pr^ déterminent la vitesse du point/? ; toutes les fois qu'elles seront concordantes, il y aura vitesse phis Srandé et lumière plus vive, et il y aura moindre vitesse, et par <^nséquent ténèbres, toutes les fois qu'elles seront discordantes. I^ premier cas arrivera quand la différence des chemins par- <^UTus pr et pr' sera nulle ou égale à un nombre pair de demi- ^olations; et le second cas arrivera quand cette même diffé- ^"^Qoe sera égale à un nombre impair de demi-ondulations.

Pour tous les points qui sont situés sur l'axe de l'ombre géo-

) fmjir^ la différence dés chemin» parcourus sera toujours

f^i. le ceniœ même de Toûibie sem toujourâ une fratigê

» ï^artant de l'axe^ sur la li^e yg^ le poînt p arriTera j 6t dans une posiùoti pour laquelle la différence des» Ugneâjir mtpr sei*a égale à une demi-ondulaiion^ alors il y aura disc^M daïice complète, et par conséquent obscurité ; ce phcoom^^ie m produira à la même distance à dioite et à gauche de la irai bri Haute du centre, et les deux Ji^anges sombres qui en rt teioût formcïitJe système des fraiiges sombres du premier ordre!?

En cûutiiiuaut de s'écarter de part et d*auti*e de l'axe, || point yj passera sucH^essivemetit par des positious pour lesquelli la différence des chemuis paj-couruà pr et pr sera deux dei ondulaiions, ce qui douiiera les franges brillantes du deuiLiè ordre^ puis trois demi-ondulationSf fninges sombre» du deuxiè ordre, puis quatre demi-oudulatîons, franges brillantes du sîème ordi*e, puis cinq demi -ondulations, franges sombres < troisième ordre, etc*

Si Ton arrête la lumière qui rase l*nn des bords de Tecmn, fait à Tinslant disparaître les fianges , car il n y a plus d'intoj renée possible; c^e&t ce fait fondamental ^ deconyert par le doeiea Youn^^ y qui Tayait conduit à la tlieoric des ondulations.

Si Ton fait passer par une lame transparente quelconque lumière qui rase Tun des bords do Técran, les franges dîspa^ raissent encore l^sque la lame est un peu épaisse , et elles np font que se déplacer lorsque la lame est très-mince; cesl un^ observation de M. Arago qui confirme celle du docteur Yoiinf^ et qui constate en outre que dans les corps solides les ondulii^ lions n'ont pas la même longueur que dans Tair. En obserraflll le sens du déplacement des firanges et sa grandeur, comparée %• répaisseiu* de la lame , on arrive à conclure que le rapport dip longueurs d'ondulations est égal à Tindice de réfraction; eC comme une ondulation doit totyours s'accomplir dans le méap temps, dans tous les milieux ^ il en résulte que la vitesse dv proif: pagation de la lumière dans un milieu est d'autunt moindre fiiift ce milieu est plus réfringent. n

Pour vérifier, par Texpérience, la foimation des franges, ]aat disparition et leur déplacement, et toutes leurs propriétés, il soffiL de disposer sur le premier support la fiche n^ 1 ou la fidie vf \ el stu: le deuxième si^iport le a"" 4 , le jq'' 5 ou le m* 6. Ces

rapports doivent être à environ un mètre de distance, et Ton observe le« firanges avec le micromètre que l*on promène à diverses distances derrière le deuxième support.

En développant les principes dont nous venons de parler , il ctt Sicile de voir qu un écran circulaire opaque de 1 à 2 millide diamètre^ éclairé par une lentille ou par un trou rond petit, doit donner une ombre circulaire dont le centre se trouve éclairé comme si l'écran était diaphane. Cette conséquence le vérifie aisément : on emploie pour, cela la fiche n® 7 bis au fRmîer support, et la fiche n^ 7 au deuxième ; leur distance doit 1 ÉR de S à 10 décimètres, et Ton doit alors placer le micromètre ai ou 3 décimètres derrière Técran opaque.

155. Wrmm^fem pivdnltoa par les petites •avertares. — Soient/* ^ifi. 17) le point lumineux bb' la largeur de Touverture que la Jaittcre traverse , et fg^ fg\ les limites de l'ombre géométrique.

Pour mieux fidre sentir la cause qui produit ici les firanges ,

MIS distinguerons trois cas. U peut arriver :

1* Que l'on observe seulement des franges extérieures y c'est- Mire des firanges produites dans l'ombre géométrique de part et faitre du faisceau lumineux intérieur;

I 3* Que Ton observe seulement des franges intérieures , c'est-àire des fianges produites dans le faisceau lumineux intérieur;

3* Que Ton observe à la fois des firanges intérieures et extélieiires.

156. Fraages extérleares. — Les firanges de cette espèce ne purent jamais être obtenues que par des ouvertures très-étroites, taéme il arrive souvent que près de Touverture elles se trou- Wtt mêlées de firanges intérieures plus ou moins nombreuses , ^ telle sorte qu'il est nécessaire, pour les avoir pures, d'aller

k observer à une grande distance. Voici les conditions sous lestes elles se produisent, et les lois de leur formation :

Du f>oint f, comme centre , décrivons un arc a:bzb' x' , qui repûente l'onde incidente (Fie. 17), et sur la ligne /b, qui passe fvlemilieu de l'ouverture, concevons un point/? à une distance ^ piques décimètres des bords b eib' . Si l'ouverture est assez •wte pour que la différence des distances pb et pz oxxpb' etpz foit égale seulement à une demi-ondulation , il n'y aura jamais it fianges intérieures à une distance des biseaux plus grande ' ftepz. En effet, pour tous les points, tels que/?' situés sur i'ue fz , et plus éloignés que le point /?, la différence des cbe-

mins parcourus p'V et p'z ou p^h et p'z sera moindre ijpi'uoe demi-ondulation ; par conséquent , de tous les ébranlements envoyés en p' par Tare zh , aucun ne sera détruit ; il en sera de même des ébranlements envoyés au même point par rare Ji\ de plus, la résultante des pi*emiers sera conspirante avec œDe des seconds , il y aura donc une vive intensité de lumière. Ainâ, au delà du point /;, jamais l'on n'observera de firanges sombies sur l'axe fz.

Maintenant , si par le point p Ton mène la ligne indéfinie ^ parallèlement aux biseaux , et que Ton détermine sur cette ligne les points s^ /, s* ^ etc. , pour lesquels les différences des cèe* mins parcourus sV — sb^ s'V — /i, s^b' — s'b^ etc., soient re^Mo tivement 2 demi-ondulations, 4 demi-ondulations, 6 demi-OD» dulations , et en général un nombre pair de demi-onduladoos, ces points s^ /, s"* ^ etc., seront les milieux des franges sombra du premier ordre , du deuxième ordre, du troisième ordre, etc. Au contraire, les milieux des franges brillantes du premier, da deuxième, du troisième ordre, etc., seront donnés par les poiob r^r\ r* , etc., compris entre les premiers, et pour lesqodi les différences des chemins parcourus rV — rA, r'b* — /i, r^V — r'i, etc., sont respectivement 3 demi-ondulations, 5 devondulations , 7 demi-ondulations , et en général un nombre ûh pair de demi-ondulations.

En effet, dans le premier cas , il s'agit du point s\ par exeDple , on conçoit que la portion bzb^ de Tonde incidente puiste être divisée, h partir du point &, en quatre parties telles que lo distances de s' à la fin de la première , de la deuxième , de h troisième et de la quatrième, qui se termine en 6', surpassent /t de 1 demi-ondulation , 2 demi-ondulations , 3 demi-ondnlitions, et 4 demi-ondulations. Alors la résultante des ébranlements que la première partie envoie en j' sera discordante awe celle de la deuxième partie , et sera détruite par elle , tandis que celle de la troisième partie sera , par la même raison , détruiie aussi par celle de la quatrième. Ainsi le point s' est le mifa d'une frange sombre. Pour le point j, on partagerait YzicèJf en deux parties, en six pour le point s' y etc. , et Ton ferait k même raisonnement.

Dans le second cas, s'il s'agit du point r', par exemple, oe conçoit que la portion bzb' de Tonde incidente puisse être diiisée , à partir du point b , en cinq parties telles que les distance*

CBAP. YIII. — FRANGES EXTËRIEURES. 337

r^ à la fin de la première , de la deuxième , de la troisième , la quatrième et de la cinquième, qui se termine en 6', surlent respectiTement /& de 1 , 2 , 3 , 4 et 5 demi-ondulais. Alors, la résultante des ébranlements que la première de envoie au point / sera détruite par celle de la deuxième, lis que celle de la troisième sera détruite par celle de la quame; mais il restera celle de la cinquième partie, qui viendra lirer le point / de toute son intensité. Ainsi le point / sera nilieu d'une frange biîllante. Pour le point r, on diviserait c bzb' en trois parties, en sept pour le point r', etc. , et Ton lit le même raisonnement.

Telle est la cause de la formation des franges extérieures par ouvertures étroites.

11 nous reste à présent à indiquer les lois qu^elles suivent dans r développement.

hiisque les milieux des franges sombres du premier ordre sent la série des points dont les distances aux points b et &' it de 2 demi-ondulations , il est évident qu'elles se trouvent deux branches d'hyperbole ayant pour foyer les points b et et pour grand axe une longueur égale à 2 demi-ondula- Ds. Par la même raison les franges des divers ordres se meu^ it suivant des hyperboles dont les foyers sont encore en b et et dont les grands axes ont respectivement pour longueurs 6, 8, etc., demi-ondulations. Or, ces hyperboles se confdn- II sensiblement avec leurs asymptotes , et il est facile de voir, représentant par ^ la largeur de l'ouverture et par d la demiigueur d'une ondulation, que la tangente de l'angle des

ffliptotes avec Taxe des franges est — ; pour les franges bril«

Mes du premier ordre , du deuxième ordre , etc. , n sera 2 , etc., et pour les franges sombres, 1 , 3, etc., les angles étant Kl petits pour être proportionnels à leurs tangentes. On en Aot les lois suivantes :

t* La largeur des franges ou la distance des milieux de deux ■ges sombres consécutives est en raison inverse de la largeur Vouvcrture ;

!• De chaque côté de Taxe les franges sombres consécutives t équidistantes , et leur distance est égale à la distance de ce à la frange sombre du premier ordre, ou, ce qui revient même, les distances des franges sombres à l'axe forment une n. 22

388 LIYRB VI. -^ OPTIQinL

progrettkm aritiimétique dont la raisoa est égale an terme;

3^ Les largeurs absolues des franges intérieures < partionndlement à la distance à laquelle on les reçoit i les biseaux;

4* Les laigeurs absolues des franges sont enraisoaî rapports de réfraction des milieux dans lesqueb elles sont ps duites, car elles sont en raison inverse des cmdes, et nous avoH vu plus haut que les longueurs des ondes sont en raison inven des rapports de réfracticm.

Ces lois, qui se déduisent si simplement de la théom 4 Fresnel , ont été établies pour la première fiais dans le nml que nous avons fait en 1815, M. Biot et moi, sur les phrniTi nés de diffraction; elles étaient alors un pur résultat d*eip^ rience ; nous n^ avions pu trouver aucune théorie pour ka ia ou pour les expliquer, parce que nous adoptions exdusiveml le système de rémission, qui ne .peut en réalité expliquer k moindre circonstance des phénomènes de la diffiraction.

157. Fvaa0«i IntésiMivea. — Soient f le point lunÛMB (FiG. 18), £ et i' les biseaux, etp un point pris sur Taxe firk une distance telle que la différence pb — pzy ou pb' — pz sok «I demi-ondulation. Nous venons de voir qu*au delà du point |tl n'y a pas de franges intérieures; mais nous allons montrer qa*ai deçà du point/?, c'est-à-dire plus près de l'ouverture , il js. successivement sur Vaxe des franges sombres et brillantes, b effet, on conçoit qu'il existe des points f, /, j', pour ksqueb les différences sb — sz ou sV — sz^ s'b — ê'z ou s'V — #'«, s'b^'i ou s''b' — s'z, etc., seront respectivement 2, 4, 6, ou en géoénl un nombre pair de demi-ondulations ; et ces points seront li milieux de franges sombres , puisque chacun des rhimiU iUJii qu*ils reçoivent des parties zb et zb^ de Tonde incidente est è^ tnùt par lui-même. Au contraire, les points r, r', etc., oompî , entre les premiers, sont tels qiie les différences rb — rz oixrV^-^ ' rb — r'z ou r'b' — r'z, etc., seront de 3, 6, ou en généndtf j nombre impair de demi-ondulations , et ces points seront fat ' milieux de franges brillantes, puisqu'ils éprouvent de la part J» \ arcs bz et bz! des ébranlements concordants, qui sont séparément capables de les éclairer. Ainsi , la condition qui i a servi plus haut à déterminer les distances où les firanges tài^ ricures commencent à être seules , nous donne parcillemeot ^

CHAP. VIH. — FRANGES INTÉIIEURES. 339

Kniles desquelles il faut partir pour observer des firanges inténeores en se rapprochant des biseaux.

Maintenant , pour donner une idée du nombre et des distan* 0» des (ranges intérieures j nous examinerons seulement le ca» où la lumière incidente est de la lumière parallèle. L'onde qui tombe sur l'ouverture étant alors représentée par la ligne droite ^(FiG. 19), prenons sur l'axe du faisceau un point/? tellement «tué que la différence /7À — pz on pb' — pz soit un nombre pair de demi-ondulations 9 par exemple 10 demi-ondulations. Ce poiiit/7 sera le milieu d'une firange sombre, puisque chacun de» Aranlements des arcs zb et zb' se détruit séparément, bien que cette destruction ne soit pas totale. Pour des points voisins du point /y, et comme lui âtués sur l'axe, ou plus près ou plus loûi des biseaux , la différence sera 1 1 demi-oscillations ou 9 demi^

f^ulations; donc il y aura liunière, conune nous venons de le fœ dans la figure précédente , et le chemin qu'il faudra faire ^ pour arriver à ces points sera d'autant plus court que les biseaux seront plus écartés Tun de l'autre. Mais arrêtons-nous aoi ^ .pomt /7, et essayons de faire voir que sur la ligne horizontale : J^^J ^ura à côté de lui dans le faisceau lumineux lui-même i des franges intérieures alternativement brillantes et sombres. Concevons que Ton prenne sur ph un point s^ déteiminé par la double condition que les différences sb — sm et sV — sm soient l*vie et l'autre un nombre pair de demi-ondulations, par exem- Vfc la première 8 et la seconde 14 , il est évident que le point s tcra alors le milieu d'une frange sombre, et, en généra], il y ^nra sur /lA autant de franges sombres qu'il y aura de points analogues au point ^, c'est-à-dire tels que les différences sb — sm ^ sV — sm soient l'une et l'autre égales à un nombre pair qpttlconque de demi-ondulations : d'ailleurs, il est facile de "Voir que ces franges sombres seront d'autant plus nombreuses et fins serrées que l'ouverture sera plus grande , et le point lumiiwux et la ligne pk l'un et l'autre plus rapprochés des biseaux : i an contraire, les franges brillantes seront déterminées par les "points r, pour lesquels les différences rb — rn et ri' — m sont chacune égale à un nombre impair de demi-ondulations , puisque ^lors ces points recevront de chaque partie bn et b'n de l'onde wi^eate des â>ranlemento conspirants , et dont chacun séparera» serait capable de les éclairer.