CHAP. III. — VIBRATIONS DES CORPS SOLIDES

résobrant habilement des équations qui avaient été posées autrefois par Euler , et qui contenaient implicitement la solution du problème. Voici le résultat de ses calculs et de ses expériences, pour le cas où la lame est posée comme nous Favons dit , ayant ses deux extrémités libres :

Oy étant la kmgpaeur de la kme^

n , le nombre des nœuda ,

z j rintevTsdle coHpm entre deux nœuds Ters le milieu de la lamoi

y, l'intervalle compris, soit entre le deuxième nœud et la pre«' aûère extrémité; soit entre ravant-demier et la deuxième

z'^ Vespace ÏSiMte, en deçà do premier nœud on an delà du

dernier, On a toujours les relations suivantes :

fg , Sfl . „ 0,6608.a ,

^— §;;=? ^—îiprs' ^ ~ 2/1— i *

(Toù 3 résulte :

1* Que tous Tes nœuds intermédiaires sont équidistants, et que leor intervalle est égal au double de la longueur de la lame, dî- TÎsé par le double du nombre des nœuds moins 1 .

Î^Qoe la longueur relative des espaces libres aux deux ex-

trémîtéft, exprimée par — est égak à 0,3304 , c'est-à-dire , à

tris-pett près le* tiers de Fintervalle des nœud^ intermédiaires. 3* Que Fiueervalte relacif du premier nœud an deuxième , on

du dernier à Tavant-demier, exprimé par ■ est égal à 0,9196^

on envâron lee 92 centièmes seulement de Tîntervalle des nœuda» iairmédmrea.

M. lissajons a examiné , avec le même soin et le même suecis, les cinq antres cas des vibrations transversales, savoir :

2* Qmmd la bme est fiocée à ses deux extrémités^;

3^ libre à une extrémité et fixée à Vautre;

4^ L3m« à me extrémité appu]fée à Vautre ;

St Fixée à une extrémité, appuyée à Vautre ;

6^ Appuyée à ses deux extrémités.

Peur le denxième cae, les espaces libres disparaissent, tes extranîtés forment elles-mêmes le premier nœud et te dermer. .^lon ze^z' conservent leur ferme et leur valeur.

Pour le troisième cas, i*espace libre disparaît à Vextrémilé fixée qui devient un nœud, z^ ne convient donc qu'à reitvé-

mité libre, t! pareillement, mais convient aux deux extré*

mités.

Pour le quatrième et le cinquième cas, il faut dans les valeun de 2, z ^ z' changer a en 2a et n en 2w — 1 ,

Enfin dans le sixième cas, les deux extrémités appuyées dm« vent elles-mêmes être considérées comme des nœuds, alors tout

les internœuds sans exception sont égaux et Ton a jj = .»

Quant à la valeur des sons , M. Lissajous simplifie les règles qui avaient été données, en démontrant que, dans tous les cas,

ils sont exprimés par -çy ^^^^ ^^ seule condition de prendre pour

son 1 celui qui est produit par la lame quand elle vibre avec deux nœuds ayant ses deux extrémités appuyées.

Nous allons maintenant considérer les vibrations longitudi^^ nales , c'est-à-dire , celles que Ton peut e ici ter dans les tubes ^ les verges, les cordes, etc. , en imprimant à leurs molécules de% vitesses parallèles à Taxe.

Supposons , par exemple , que Ton prenne un tube de verre d'environ deux mètres de longueur et de trois ou quatre centi» mètres de diamètre, et qu'en le soutenant d'une main, juste es son milieu, on exerce de Vautre main, sur Tune de ses moitiés, une légère friction avec un morceau de drap mouillé : à l'instant on entendra un son, et avec un peu d*habitude on par* viendra à lui donner beaucoup d'éclat et de pureté. Les vibrations que l'on détermine ainsi sont évidemment des vibrations longitudinales. En frottant toujours de la même manière par un mouvement de va-et-vient, mais avec plus ou moins de vitesse, et en pressant plus ou moins, on pourra produire une série de sons difTérents , et, si Ton représente par 1 le premier son de la série, c est-à-dire, le plus grave, il sera facile de constater que les autres se trouvent représentés par la suite des nombres naturels 2 , 3 , 4 , etc. ; il sera déjà diflicile de faire sortir le son 4 quand le tube n'aura que deux mètres de longueur.

On obtiendra les mêmes n*sultats avec de longues lames prismatiques de verre, ou avec des cylindres pleins de la même substance, et aussi avec des tubes, des lames et des cylindres de bots

CHAP. III. — VIBRATIONS DES VERGES. 8i

ou de métal. Seulement, pour ces derniers, il sera beaucoup plus commode d'adopter un autre mode d'ébranlement : au lieu de frotter avec du drap mouillé, on pourra frotter avec du drap enduit de résine, ou , ce qui sera plus sûr encore , on pourra fixer avec de la cire à caclieter, à Tune des extrémités des cylindres ou des lames et sur le prolongement de leur axe , un petit tube de ▼erre creux ou plein, d'environ un décimètre de longueur et de 5 ou 6 millimètres de diamètre ; c'est alors ce tube auxiliaire qui sera ébranlé avec du drap mouillé, et les vibrations se communiqueront sans peine.

Ainsi , quand les verges droites sont soutenues au milieu et libres à leurs extrémités, elles vibrent comme les tuyaux ouverts, et rendent des sons qui suwent la série des nombres naturels 1 , 2, 3, 4, etc.

Il est facile de s'assurer par l'expérience que des uerges de même substance sont toujours à r unisson pour leur son fonda^ mental quand elles ont la même longueur , quelle que soit leur largeur ou leur épaisseur, pourvu toutefois que ces deux dimensions restent toujours petites par rapport à la troisième. Ainsi , toutes les verges du même verre de 2 mètres de longueur donneront le même son, qu'elles soient minces ou épaisses et qu'elles soient travaillées en lames, en tubes ou en cylindres. Mais, à ^lité de longueur, des verges de diverses substances donneront des sons différents.

Pendant que ces corps solides sont en vibration , le mouvement se distribua très-inégalement dans toutes leurs molécules ; ' la plupart d'entre elles font des excursions plus ou moins grandes, el il y en a au contraire, mais en petit nombre, qui restent toujours en repos. La série des points de repos forme , sur la surface, des lignes que Ton nomme lignes nodales; et nous allons faire voir, d'après les ingénieuses observations de Savart, que, dans les vibrations dont il s'agit, les lignes nodales tracent autour des tubes et des cylindres, des courbes à peu près semblables omj: hélices^ c'est-à-dire aux filets d'une %ns^ et que les courbes plus irrégulières qu'elles tracent autour des lames prismatiques semblent imiter encore des bélices plus ou moins imparfaites.

Supposons d'abord que l'on expérimente sur un long tube de

Terre dont on tire seulement le son fondamental : on tient ce tube

^ peu près horizontalement; sur celle de ses moitiés qui n'est pas

frouéc avec le drap mouillé, on passe un anneau de papier très-