CHAP. III. — VIBRATIONS DES PLAQUES

papeDdicalaires comme les plaques, et se partagent aussi en dims parties séparées par des lignes nodales, dont la trace peut jke extrêmement irrégulière. Pour prendre une idée de ces li- ^nodales, il suffit de mettre de Teau ou du merciu*e dans ■e cloche ou dans un grand verre à pied , et d*en ébranler le kocdaTec un archet; alors, on Terra distinctement la surface lifâdese partager; par exemple, comme dans les figures 12 et U, où il y a 2 diamètres perpendiculaires dont les extrémités correspondent à 4 lignes nodales parfaitement marquées. On pu constater aussi que ces lignes nodales se déplacent conune les plaques circulaires.

Aes. — Les membranes présentent des modes de vibrain qui ne sont pas sans analogie avec ceux des plaques solides; • peut s'en assurer avec du papier ou du parchemin , ou , ce fiiaut mieux encore, avec de la baudruche très-souple et trèscple; seulement , il faut employer un moyen particulier pour tente «pour ébranler ces espèces de plaques trop minces pour se Mtenir d'elles-mêmes. Savart, qui a fait une étude particulière it ces phénomènes , fixe les membranes par leui's bords , en les enflant sur des cadres de bois ou sur l'ouverture d'une cloche ^▼erre; il les humecte plus ou moins pour leur donner des Ittioiisplus ou moins grandes; ensuite, pour les ébranler, il • tpproche à quelque distance un timbre vibrant, ou un tuyau forgue dont le son est plein et soutenu : dès que le son se fait ^■tendre, la membrane vibre comme si elle était directement Aranléc; les grains de sable qui la recouvrent sautillent sur sa •Ace et s'accumulent sur les points de repos pour y dessiner •alignes nodales. Les figures que l'on obtient sont extrêmement '*»««, elles dépendent de la tension de la membrane et de Ijcoité du son qui la frappe.

Savart a essayé d'analyser la série des figures que peut don- *r une membrane ébranlée comme nous venons de le dire , et ■owaDons rapporter ici les observations qu'il a faites sur ce sujet «cessant {y4nn. de Chim. et de Phys., t. XXXII, p. 386) :

• Pour plus de simplicité , je supposerai toujours qu'on ait •abord obtenu une figure composée de lignes nodales rcctili-

, pcsqiii se coupent rectangulairement , et j'examinerai par quel ifmin cette figure peut passer à une autre , composée simple- ■wrt de lignes parallèles.

• Par exemple , je suppose qu'on soit parvenu à produire le

mode de division représeoté par le n* 1 de la %we H; ai la tension de la membrane est constante et que le son devÂeuie on peu plus aigu, il pourra arriver que les angles opposés a» sommet en aa ^ bb\ cc\ dd\ se désunissent conune dans le n^ 2, <pii prendra peu à peu Taspect des n^' 3 , 4 et 5 , si le sou monte toujours; et ensuite celui du n® 6, composé seulement de 4 lignei parallèles ; mais ce moyen de passer du premier mode de division à celui du n® 6, par cette première espèce de séparation des angles, n'est pas le seul que puisse employer la membrane ; les -figuras 15 et 10 présentent des exemples de transformations dîffërenlM par lesquelles elle peut encore parvenir au même but de 4 lignes parallèles. Il peut aussi arriver (Fig. 17), que les anglssopposés en aa\ hb\ cc\ dd\ soient ceux qui se divisent d'abord, et ffm la figure tracée par le sable prenne successivement Ta^iect dis n*^ 2 , 3 , 4 , 5 et 6 ; ou bien que cette division ait lieu comme dans le n® 2 des figures 18 et 19, ce qui prochiira enooM de nouvelles modifications dans les figures successives qui oondw^ ront à 4 lignes parallèles. Enfin, il pourra même se fiûve que les angles opposés ne se divisent pas , comme dans le n^ 2 de la figure 20, qui passe au n° 6 par de simples inflexions des lîgmv droites en sens contraire.

« Maintenant , 4 lignes parallèles peuvent passer à d*aHim nombres de lignes parallèles ou dirigées rectangulaûrement : k figure 21 présente une transformation de ce mode de divisicm à deux lignes nodales parallèles, et la figure 22 un passage d« même mode de divLsion à quatre lignes également parallèles^ coupées rectangulairement par quatre autres.

« Ku général , quand on part d'une figure composée de lignei qui se coupent rectangulairement , le caractère des modifieatioai successives dépend de la manière dont les angles opposés au aooi« met se désunissent : c'est ce qu'on peut voir d'une manî^ fort nette dans les ligures 23 et 24 , qui sont des passages de quaue lignes parallèles. Au contraire, si l'on part des lignes parallèles, <» peut dire en général que le caractère des modifications dépend des iuilexions diverses que ces lignes peuvent affecter. C^est ainsi que , dans les mêmes figures 23 et 24, les n^ 5, considérés comme première modification des lignes droites, doivent produire des phénomènes tout différents , di^)endant de ce que daHS Twa les lignes se courbent d'abord eu dehors, tandis que dansTautse^eUes se courbent en dedans. Mais , de toutes les modifications aux-

GBAP. m. — VIBRATIONS DES MEMBRANES. 95

pvleiks ligaes droites peuvent donner naiwance, il n'eu est mt qui oflfrent des phénomènes plus singuliers que ceux qui srimit des inflexions alternatives que ces lignes peuvent d'abord mbe, selon qu'il se présente deux courbures dans un sens et le duK Fautare, etc., ou trois dans un sens et deux dans l'autre. ■ CB voit des exemples remarquables (Fig. 25 et 26). « n résulte donc de ces observations , non-seulement que les flofanmes oarrécs sont susceptibles de produire tous les nom- ■iposHbles de vibrations, et que pour ciiacun de ces nomb» eBes se divisent d'une manière particulière , mais encore ffvimème nombre de vibrations peut être donné par plusieurs s de division. Quant aux membranes dont les contours diffiérents, circulaires, triangulaires, etc., elles présentent kpfaénomènes analogues, quoique plus compliqués. C*est ainsi , {■tumjde, que dans une membrane circulaire (Fig. 27), trois }f» diamétrales peuvent passer graduellement à trois lignes IHes, et ensuite à une seule diamétrale accompagnée d'une %B drcolaire; que cinq diamétrales peuvent passer à cinq liymmullèles, et de là à d'autres modes de division ; par exemple, i4nxligiies circulaires divisées par une seule diamétrale.

■ Les transformations successives des lignes nodales sont beaus^pbis difficiles à observer sur les lames rigides que sur les ■eabnnes, parce que , comme on ne peut produire des modes t dhision donnés qu'en rendant immobiles plusieurs points de Il Afne de ces corps, il arrive presque toujours que ces points ifiartîeiment en même temps à un ou plusieurs autres systèmes leligiies nodales, de sorte qu'on tombe souvent d'un son très- 7»^e àun son très-aigu, et réciproquement, sans pouvoir passer pks intermédiaires. »

Ces résoltats remarquables ne peuvent pas être sans influence « ks phénomènes de l'audition, puisque la membrane du tym- ?■ est analogue à celles que Savart a soumises à rexpérience. ^«jwtmi encore ici cette autre observation de Savart : il pendit que les membranes, produisant sans doute des sons harmo- ■!■», comme les plaques circulaires, par les vibrations de leurs F'fa centrales , il est très-probable qu'en écoutant un instni- •W «pri ne produit qu'un seul son , il nous arrive cependant 'cttesdre à la fois ce son solitaire et ses harmoniques, ceux-ci P*uit naissance dans notre organe lui-même à cause de sa

9(i LIVRE V. — ACOUSTIQUE.

41 . EffetH de l*air sur la forme des ll(g^es ■•dates. ——M* Faraday avait reinai^uc que les lignes nodales qiie l'on obtient dans le vide n*ont pas toujours exactement la même apparence* que celles que Ton obtient dans Tair, surtout lorsqu'on emploie la poudre de lycopode. Savart a confirmé ces résultats par plusieurs expériences décisives , et en même temps il a assigné la véritable cause de cette différence. Il a constaté qu'une plaque queliH^nque d*iuie certaine largeur ne peut pas vibrer dans Tair, s;ius quil se forme, de part et d autre des lignes nodales, de petits tom-billons trcs-singuliers qui emportent les poussières légères et qui les déposent au point où ils se joignent et où leur yitesfle tend à les prt*sser sur la plaque. Par exemple, si Ton plonge dans Teau Textréniilé d'une lame large qui vibre de manière qu'il y ait une ligne nodale dans le milieu de sa longueur, on voit distinctement , par les jioussières flottantes au milieu de l'eau, on double tourbillon représenté dans la figure 28. Or, ce qui se pmduit dans Teau se pn>duit aussi dans Tair, et l'on comprend qu'au croisinnent des lignes nodales ces tourbillons contraires se modifiant 1 un fautre, il doit eu résulter, au moins en apparence, tantôt des points, tantôt des lignes de repos supplémentaires, où la poussière^ légèn* se déi>ose , bien qu'eu réalité il se produise di*s vibrations s*>us ces dépôts trompeurs; ce sont ces points et o>s lignes s\ipplementaires qui disparaissent en effet dans le vide.

12. Vibralieas des rerps qai a'oal pas la aiéaie élaatlrité daasi t«HH les seas. — Siivart a publié sur ce sujet deux mémoirei cxtromemont intéressants .-innttl, dv C/iitfi, rt de Phys.^ t. XL) dont nous ne ]H)uvons donner ici qu'une analyse succincte.

Savart nMiianiue d'abord que , si l'on fait vibrer une plaque elliptique honio^ôue, do verre ou de métal Pl, 30, Fie. 22), le s\>tènie do doux lijjui^ diainotraU^ porjMMidioul aires se place iiu*\ ilablomont suivant W dinvtions «lu jnrand axe aa et du jH*tit a\o t-i* • et quo, si l'on veut à toute fonv déplac<?r ce systômo on ébranlant lune dt^ oxlnniiiti^s de ces axes, il se dépUuv on oiYc^ , nuùs non p.) s s;in> sultorer. car il se cliange en une osjHw^ d'hyjvrJv>lo h ; ot \> dont le premier axe est dirigé suivant lo i^rand a\o v!o lolapM^: alors lo S4>n est plus grave.

Il tant un plus grand offor; }v>ur plier reir!î>>e suivant aa que suivant K*» ; ainM lo prt^nior a\o de rayj>o:! o!o est dirigé suixanl la plus o-iiiàt rx^ista'.uv à !a i'avîo.i.

CliP. ni. — EFFETS DE L'AIR SUR LES LIGNES NODALES. 07

ÏMt plaque circulaire de laiton présente des phénomènes ana-

\tpts lorsqu'on a diminué son élasticité dans un sens par plu-

ns traits de scie parallèles qui ont enlevé seulement une

ftét de son épaisseur. Dans cet état, le système des deux

ijpes diamétrales perpendîculaii'es ne peut plus tourner autour

Jesoa centre; Tune des lignes qui le composent reste fixée

iasla direction parallèle aux traits de scie, et l'autre pcrpen-

fadairement ; mais, si l'on ébranle ces points, il se déforme et

âcfient une hyperbole dont le premier axe est encore dirigé

mnt la plus grande résistance à la flexion.

PbuT étudier ensuite les phénomènes que présentent les pla-

^ dont rélasticité varie graduellement dans des sens perpen-

Uaires , ou dans des sens différents , Savart a taillé un grand

Mnbre de plaques circulaires de bois ayant leurs faces parai-

Bes plus ou moins inclinées soit au plan des fibres , soit aux

Ars elles-mêmes. Supposons par exemple que ce' (Pl. 30,

k. 23) représente un cube de bois de hêtre, dont la surface p

parallèle au plan des fibres , la face t perpendiculaire

ikor tranche,^ et la face b perpendiculaire à leur bout. Si

*• a plusieurs cubes pareils , tirés de la même pièce de hêtre ,

te sans défaut, et parfaitement homogènes entre eux, on en

|"«na tirer des plaques de même épaisseur et de même rayon ,

fi sera permis ensuite de comparer comme si elles sortaient

« même cube : les unes seront coupées perpendiculaire-

■ïût à la face/7, dans les directions /?/w , /?/«', pd^ et dans les

fections intermédiaires ; les autre s perpendiculairement ù la

fe^ aussi dans les directions tm^ ttn" ^ td^ etc.; les autres enfin

PpwMliculairement à la face b , et aussi suivant les directions

**î4w*, W, etc. En faisant vibrer toutes ces lames, mais seu-

«nt pour obtenir le systcîme des lignes nodales diamétrales

Ppcndiculaires, ou le système des deux branches hyperboliques,

^■^ïrt a trouvé des rapports remarquables entre les positions de

* systèmes et les directions des différents axes d'élasticité du ■** de helre. Il a reconnu que les nombres de vibrations ne *I liés (ju'indirectement avec les modes de division , car deux y^ nodales semblables peuvent résulter de sons différents, et ^^Çrocpiement un même son peut résulter de deux figures no- ^ différentes. Enfin, dans ces plaques hétérogènes, tous les **«* de division sont doubles ; c'est-à-dire , que chaque mode

* division , considéré en particulier , peut toujours , en subis-

sant toutefois des altérations plus ou moins considérables, s\ blir en deux positions déterminées.

En faisant vibrer trois petites verges prismatiques à h carrées , qui avaient été taillées dans des cubes pareils aux j cédents et suivant les directions dc\ df^ et r/r, Savart a déi des sons donnés par ces verges le Apport des résistances qui bois de lidtre oppose à la flexion dans ces trois sens rectan laires. Il trouve qu'en représentant par l'unité la résistance \ flexion suivant dc\ cette résistance est 2,25 suivant rfr, 16 suivant df.

Savart a soumis le cristal de roche à des recherches analogi On sait que cette substance se présente assez ordinairement d la nature sous la forme d'un prisme hexaèdre terminé par à pyramides (Fie. 24); la ligne ss' qui joint les deux sommet» la pyramide est l'axe du cristal. Or, dans les plaques { pendicolaircs à cet axe, le système des deux lignes nodt diamétrales perpendiculaires ( Fig. 25 ) pouvant en gén* tourner autour du centre , sans altération sensible , il en suite que l'élasticité est à peu près la même suivant tou» rayons.

Les plaques taillées parallèlement à Taxe n'ont pas toute même élasticité : celles qui passent par Taxe et par im des wf de la coupe abcdef du prisme (Fig. 26) donnent les lignes dales perpendiculaires ou le sj-stème hyperbolique (Fie. S tandis que celles qui passent par Taxe et par Tapothème of la section pn*cédente , ne peirvent offrir que doux systèmes perboliques à peu pri»s semblables , mais correspondants n« moins à des sons différents (Fig. 28). Lt^s axes de <*es hyi l)oles semblent faire entre eux im angle de 51 ou 52 •.

D'autres plaques taillées dans des directions difTérentes d nent encore des résultats différents, et Savart était porté à c dure, de l'ensemble de ces expériences, que le crisul de ro paraît avoir trois systèmes d'élasticité, cha<*un reprt\senti' trois lignes. Il avait même* essayé , par des considérations in nieuses, de déduire leurs directions; mais nous ne pouvons trer ici ni dans tous ces d^'tails, ni dans la discussion qui den les accompagne*!-.

43. vibrations dlea c#r|Hi dont a«r«Me lilMeDsioa ■>•! •Ile par rapport aax aoCrev. — Il résulte évidemment de ton qui prwède que des masses sf>lides quelconques {>euvent en

ClAF. m. — VIBRAXIORS 1^E& CORPS D'IKËGJkLE ÉLASTICITÉ. 9$

«iièratioik eomne les rergts, ou les lameA, ou les meni<» toMS, et que pendant leurs mourements elles se partagent en innés parties Tibrantes, séparées les unes des autres par des mrfmDeM nodales plus ou moins irrégulières. Ainsi, loi^qu'un Hk lie bo», de pierre ou de fer, retentit sous le dioc du mar* IBM, on peut sÛTre par la pensée les pressions qui se commuât de proche en proche dans toutes les directions, depuis Lk première molécule qui reçoit le coup jusqu'aux molécules qui Y^ sont le plus éloignées , et cette diffusion du mouvement se Ità comme dans une colonne d'air, c'est-à-dire par ondes con- Ifaisées ou raréfiées; seulement, les ondes sont d'autant plus llMes que la matière est moins compressible. Mais, poiu* ifcanler des masses un peu considérables et en faire sortir des ipurs et soutenus, on éprouve toujours de grandes diffil*kés, et c*est sans doute pour cette raison que Ton n'a fait pà présent que très-peu d'expériences sur ce sujet. Les i de différentes substances et de différentes formes offrit cependant des modes de division et des traces de lignes i qui seraient , sans doute, le moyen le plus efficace d'étur leur structure intérieure et tous les accidents de leur élas-