CHAP. I. — RÉFLEXION SUR DEUX PLANS PARALLÈLES

i sont comme s'ils partaient du point c , et donnent par consquent une image en ^ ( le point d étant symétrique de c par ipport à ut), etc.

On comprend comment les réflexions successives font apercedr un nombre infini d'images de plus en plus sombres ; il seul très-facile d'exprimer algébriquement la loi de leurs distants mutuelles.

Si Ton voulait distinguer parmi les images celles qui résultent l'une première réflexion sur m et celles qui résultent d'une premère réflexion sur m% on pourrait placer entre les miroirs un Dorps qui serait rouge , par exemple , du coté de /» , et bleu du ofttédem'; alors, d'un côté, toutes les images seraient alternativement rouges et bleues, et de l'autre, alternativement bleues et rouges.

75. Réflexion sur deux miroirs InellBés. — Les phénomènes précédents se reproduisent entre Meux miroirs inclinés, arec cette différence que le nombre des images visibles est alors dépendant de l'angle des miroirs. Il suffira d'examiner les cas où les miroirs font entre eux un angle droit : me (Fig. 19) représente la coupe du premier, et m'c celle du second ; du point c de leur intersection commune on a décrit une circonférence de cercle amm* . Un objet placé en a fait une image en h par la réflexion sur me , et une image en V par la réflexion sur nie : de plus, les rayons qui ont subi une première réflexion sur me et qui retombent sur irie donnent une image en d (le point d étant symétrique de V par rapport à nie) , et ceux qui ont subi une première réflexion sur mie et qui retombent sur me donnent une image au même point d (puisque ce point est aussi le symétrique de h par rapport à wc). Il en résulte que si l'on place l'œil à Fun des bouts des miroirs et près de leur intersection commune, pour recevoir en même temps les rayons dii*ects et ceux qui ont éprouvé une ou deux réflexions, on verra quatre images du point a, savoir l'image directe en a, puis les images réfléchies en i, V et d.

C'est sur ce principe que repose la construction du kaléidoseope.

Les positions relatives des images qui peuvent être obtenues aisément par une construction graphique ne peuvent pas être Bées par une formule aussi simple que dans le cas des miroirs parallèles; par l'effet de l'inclinaison , les images, en s'enfonçant circulairement derrière les miroirs , finissent par tomber dans

Taiigle oppose par le sommet à celui que les miroirs font entre eux; alors elles deviennent improductives^ comme Ta remar^ M. Bertin {j4nn.de Chim. et dePhys.^ t. XXIX, p. 257, aniiée 1850); c'est-à-dire qu'elles doivent être assimilées à des points lumineux qui ne peuvent plus envoyer de lumière sur les minûn. En tenant compte de ces circonstances, M. Bertin arrive aux conclusions suivantes : quand Tangle des miroirs est contenu n fois dans la circonférence {n étant un nombre entier) , il y a en général 71 H- 1 images , y compris l'objet , et seulement n si n est pair ou si l'objet est à égale distance des miroirs ; quand 1 angle des miroirs est contenu dans la circonférence un nombre de fois n + une fraction, il y a toujours n-f-l images et même /i+2 pour les objets convenablement placés.

76. Rcflexioii sur les miroirs courbes. — On adopte en Optique ce principe fondamental , que la réflexion se fait en un point quelconque d^une surface courbe, comme elle se ferait sur le plan tangent en ce point. Nous verrons tout à l'heure que ce principe est en effet confirmé par de nombreuses expériences, mais Ton pourrait aussi le démontrer directement par la théorie, n en résulte que les lois générales précédentes s^appliquent sans restriction à toutes les surfaces , et que tout se réduit à trouver pour chaque point la direction du plan tangent ou de la normale , ce qui est simplement un problème de géométrie.

Ainsi , un point lumineux placé au centre d'une sphère creuse et polie à l'intérieur enverrait des rayons sur tous les points de la surface, et chacun de ces rayons serait réfléchi sur lui-même, et reviendrait directement au centre après la réflexion. Demémef un point lumineux placé à Vuu des foyers d'un ellipsoïde enverrait des rayons sur tous les points de la surface, et tous ces rayons iraient par les réflexions se réunir et se concentrer en Vautre foyer; puis, en continuant leur route, ils retourneraient au premier foyer après une seconde réflexion , reviendraient au second foyer après une troisième, et îiinsi de suite.

Un point lumineux placé au foyer d'un paraboloïde enverrait des rayons qui seraient tous réfléchis parallèlement à l'axe et s'en iraient se perdre à l'infini ; ré( iproquenient, un point placé à l'infini comme une étoile, et sur Taxe d'un paraboloïde, enverrait des rayons qui viendraient tous se concentrer au foyer.

77. Réfle^Kion sar les miroirs spliérlquos. — Si l'on imagine une sphère dont rintérieur soit très-poli , et qu'on la coupe par

CHAP. I. — RÉFLSXIOll SUR LES WlOiaS SPHfiRlQUES. i5i

jHuBLj on en détache une calotte qui est un miroir sphérique ce senit uo miroir sphérique com^exe û U sphère était pdie en debon.

U ouverture du miroir est Tangle des deux rayons cm et cm' nenéft dn centre c de la sphère aux bords opposés de la calotte (Fie. 20) ; son diamètre est la ligne mm' ; son axe est la ligne ac menée du centre de la calotte au centre de la sphère.

Le point a s'appelle aussi le centre de figure du miroir, et le point c son centre de courbure.

Loisqu'un point lumineux s est situé sur Taxe du miroir (FiG. 21 ), tous les rayons qu'il envoie à une petite distance ingulaire du point a Tiennent, après leur réflexion ^ se réunir en un même point f. Pour le démontrer, soient si Tun de ces rayons, ci la normale au point d'incidence, et if\e rayon ré- UAà ; daignons par j;, /, z les angles asi^ aci^ a fi ; par d Tangle dlncidenee c/# et l'angle de réflexion ci f qui lui est égal, et par i, r, /7i les trois distances as, ac ^ af. Puisqu'on suppose que j,7, J5 ne dépassent pas 3 ou 4* , ces angles peuvent être pris pour leors tangentes, en même temps l'arc ai peut être pris pour me ligne droite perpendiculaire à ai , et les triangles rectangles oii, aci^ a fi donnent

ai ai ai

On a d'une autre part

x=j — d et 5=/-hrf, fou 5-4-x = 27, ou j = 2/— j:,

fB devient par les valeurs précédentes rt# itf / ai

OQ

Cette valeur de — étant indépendante des angles x, 7 et s,

on doit en conclure que tous les rayons émis par le point s tiennent en effet se réunir et se concentrer au même point /*, qui s'appelle pour cette raison le foyer du point s\ mais cette conséquence est vraie seulement sous la condition que les angles x^y^ z puissent être pris pour leurs tangentes, ce qui limite

i52 LIVRE YI. — OPTIQUE.

essenûellement Touverture du miroir, et la réduit à ne pts dépasser S ou 10*. Pour une ouverture plus grande, le conooo» de tous les rayons ne serait plus exact , et il y aurait ce <ju*on appelle aberration de sphéricité.

Si le point lumineux était situé hors de Taxe du miroir, on pourrait toujours par ce point et par le centre c du miroir mener une ligne droite qui s'appelle alors axe secondaire; et comme les mêmes raisonnements s'appliqueraient encore à l'égard de cet axe secondaire , on eu conclut enfin que la formule préoédente est une formule générale qui convient à tous les cas. Nous devons ajouter cependant que si Taxe secondaire faisait avec Taxe principal ac un angle de 15 ou 20*, les angles x,7,r ne pourraient plus être assez petits , et c'est là ce qui limite le champ du miroir , c'est-à-dire l'étendue conique dans laqudle doit être compris un point lumineux , pour que tous les rayons réfléchis concourent au même foyer avec une exactitude soflisante.

En se concentrant au même point , tous les rayons réflédiis forment une image nette et brillante du point luminrâx d'où ils sont émanés , et le lieu de cette image est toujours iadie i trouver, puisqu'elle est, d'une part, sur la ligne menée par k point lumineux et le centre du miroir, et puisque, d'une autre part, elle est à une distance du miroir donnée par la valeur de m, que l'on obtient aisément quand on connaît r et & , c'est-à-dire le rayon du miroir et la distance du point lumineux.

Pour mieux faire comprendre la formule générale , nous allons discuter quelques-uns des résultats qu'elle donne.

V Quand b a une valeur infinie , to.us les rayons sont parallèles ; on a m = - ; c'est-à-dire que le foyer est alors à la moitié

du rayon (Fig. 22). Ce foyer se nomme foyer principal ^ et sa distance au miroir, distance focale principale ou longueur focale, La figure 23 représente la marche des rayons pour un feisceau parallèle, et oblique à l'axe du miroir.

2** Pour i== lOOr, ou a /;/ = —— ; ainsi, il suffit que la dis-

tance de l'objet au miroir soit égale à 100 fois le rayon pour que l'image se fasse sensiblement au foyer principal.

3"* Pour i = 2r, on a w = ~; ainsi, pendant que l'objet se