GH. ¥1. — D£8 INTBBFIÎRENGES ET DE LA DIFF

k distHMe de deux franges de même ordre, situées lune à dimle, l'autre à gauche, d'en retrancher la largeur de ! de récran, et de prendre la moitié du reste, qui la distance de la frange à Tombre géométrique. Voici maintenant le principe général au moyen duquel FimmI explique la formation des franges et toutes leurs fnpriéléi, quel que soit Tappareil qui serve à les produire : ■ Les Tibrations d une onde lumineuse dans chacun de • lae points peuvent être regardées comme la somme des ■ BoaTements élémentaires qu'y enverraient au même inst, en agissant isolément, toutes les parties de cette I considérée dans une quelconque de ses positions « antérieures. »

Ainsi, le foïnl f {fig. 360) étant un point lumineux, mk le foyer d*un faisceau de lumière simple, et le cercle SMJif représentant une portion de l'une des ondes envoyées par ce point lumineux , la vitesse qui se produira en un point quelconque /?, lorsque cette portion de l'onde y passera, sera la même que la vitesse qui serait produite en ce point par la résultante de toutes les actions que les divers éléments amc de l'onde pourraient exercer sur lui , en les considérant comme autant de centres d'ébranlement os de points lumineux particuliers. Il arrive même que dans k composition des mouvements élémentaires envoyés en f par les diverses parties de Tonde xzx\ l'on ne doit tenir eompCe que des parties qui avoisinent le point z situé sur k ligne y^, et négliger complètement celles qui en sont assez éloignées pour que les lignes correspondantes , telles fM ap^ mp^ cp^ aient une inclinaison sensible , parce que hors actions deviennent contraires et se détruisent mutndlement. En effet, prenons, par exemple, ces trois points «y m, Cy de manière que ap — mp soit égal à mp — cp et égal èuM demi-ondulation; à cause de l'obliquité de ces lignes, et de leur longueur qui'est comme infinie par rapport à la longueur si petite d'une demi-ondulation, il est clair que

298 LlVap VI« — OFTIQUB.

le& arcs trèft-petits ma et me seront ^auz entre eux ; or , les ondulations qui arriveraient en p suivant ap et suivant mp étant en discordance , c'est-à-dire en diff^rencâ d*UDe demi-ondulation , se détruiraient; pareillement » les ondes qui partiraient de tous les points compris entre a et m étant en discordance avec celles qui partiraient des points correspondants compris entre m et c, il y aurait destruction complète I puisque am^nmc. Donc la résultante des actions de Yondexza: sur le point ^ ne dépend que des actions produites par les divers points de cette onde qui sont à une petite distance du point z. Ce que nous disons du point/? s'applique au point ^' et à tout autre point quelconque ; c'est-à-dire que la résultante des actions que les divers points d'une onde exercent sur un point donné dépend seulement des actions produites par les points de cette onde qui se trouvent à une petite distance de la ligne menée du point lumineux au point donné. Quand l'onde se propage librement, toutes ces résultantes sont égales pour des points qui sont à la même distance du point lumineuX| et la lumière est uniforme.

Mais quand l'onde a;zx' rencontre un obstacle | par exemple , un écran zv {Jig. 261 ), la portion zs' étant arrêtée , la résultante des actions qui s exercent au point p est s^ulemfînt produite par les ilîvers points de la portion zj:

CR. TI. DES nrTKRrtREirCKS » 1>E LA DIFF. 9B9

ftéÊmm de l'écran. Voilà pourquoi les franges di^ctées M s'ëMndeDt jamais qu'à une petit» distance angulaire du boid 06 l*€OfAn«

Mak ai le point donne est en p" de manière qn^fp' perce l'oade tn un point a" assea voisin de a pour que Taotioti «raétaniTant Bp" ne puisse être négligée, alors la lumière qni arrÎTe en ce point p" est modifiée par la présence de réenn*

Noua allons essayer de faire comprendre le principe de Ces mod&ficatioDS et la cause des alternatives d'ombre et de qu'elles produisent. Pour simplifier les idées, nous seulement sur ce qui arrive dans le plan de k figora; il est facile de voir que tout sera pareil dans les plsnt niisina de celui-ci, soit que le foyer /* provienne d'âne lentille cylindrique parallèle au bord de l'écran, soit fo'il provienne d'une lentille spbérique ou d'une très-pe>- Ée fente.

Soity le point lumineux {/ig. 26a), et xza^ la portion fane onde qui se propage vers le point/?. Menons la ligne Jp, et séparons par la pensée les efTets produits sur le point p par lea deux portions xz et za/ de l'onde xz^, ces portiona étant assez étendues pour comprendre tous les points de l'onde qui peuvent transmettre en p des actions sen- Bblea;car9 d'après ce qui précède, nous pouvons négliger tonl GO qui est à une distance un peu grande du point a. Tout étant symétrique de chaque coté de/j, il est évident fM la aomme des actions produites en p par aZf sera iden^tique à la somme des actions produites au même point par ar'ai et que si l'on représente par i la vitesse qui résulte des. premières^ i sera aussi la vitesse qui résulte des secondes, et par conséquent a sera la vitesse que doit posséder le point^ quand il reçoit pleinement et sans obstacle la somme des actions que tous les points ejfjfioaees de Tonde xzx' peuvent exercer sur lui* Dû point p conune centre, et d'un rayon pt ^ décrivons

300 iflWt^+t,~"6AiOT-^^ ^^^

un arc de cercle et trarnns dt?s lignea pby p$^ pl/\p$\ elp^ de telle sorte que leurs parties ùi^sryi/i\/r\ etc^f cctmprUn entre les arcs zx' elzkj soient respectivement égales, la première à une demi-ondulation , la deuxième îV dettx demiondulations , lit troisième à trois demi ondula lions, etcr^ alors de cette construction simple on pourra tirer les eao* séquences suivantes:

1^ Les arcs cortespoudants 2Â, bs^sh\ b's\ etc. j dépendront, pour leurs grandeurs , et de la distance de ronde xzx ^m point lumineux^, et de la distance du point /? à Vonàtxzati mais dans tous les cîis ils iront en décroissan t avec plus Ofi moins de rapidité : le premier zb étant plus graud qut le deuxième, celui-ci plus grand que le troisième, etc.

a° Tous les points compris de 5 en b ou &ur le premier arc exerceront sur le i^omtp des actions conspiranies en* tra elles, quel que soit craîtleurs Tordre suivant lequel décroisse rintensilédeces actions à mesure que ron s'éloigne de z ; il en sera de même dc's actions exercées par les poioii compris de b en j, ou sur le deuxième nrc, et de 5 en t*,et de h' en /, etc,

3** Les actions exercées par les points compris de - en K ou sur le premier arc j seront discordantes avec les actioBi exercées par les points compris de b eu s ou sur le deudèini arc 'y celles-ci seront discordantes avec celles du troisième « qui seront discordantes à leur tour avec celles du qatmême, etc. j car Faction qui s'exerce suivant zp sera en tliicordance complète avec celle qui s*exerce suivant pi, puiF que par hypothèse les longueurs de ces lignes difïèi^rt d'une demi -ondulation. Par la même raison , chacnti df* points compns entre :; et^ sera en discordance avec Tua Jô points compris entre b et j, puisqu'on peut choisir ces deaï points de manière que la différence de leurs distances âu point p soit d'une demi-ondulation, etc,

4" Malgré ces discordances complètes , Taction du fttmier arc ^ ne sera que partiellement détruite prtîelle J"

CH. TI. DES TUTERFl^RElfCES ET DE LA DIFF. 301

dcanème are bs, parce que zb est plus grand que bs^ et pnoe que les pointa de zb agissent sur le point /imoins obliquement et par conséquent avec plus d'énergie que les poÎDls de bs] de même l'action du troisième arc ne sera que partiellement détruite par celle du quatrième, etc. ; la i^tante totale des actions de l'arc zx sur lepoint/i n'est donc autre chose que la différence des actions discordiotes et contraires produites sur ce point par le premier et le deuxième arc , le troisième et le quatrième, etc. ; ou , âron Teut, cette résultante est l'excès des actions prodmtes par les arcs de rang impair sur les actions produites perles arcs de rang pair, tous ces arcs étant déterminés, comme nous Tavons tu , par la condition que les lignes pi^pb^ps diffèrent d'une demi-ondulation. C'est cette difou cet excès qui donne au point p une vitesse un sens ou dans l'autre, que nous avons supposée être égale à i.

5* C'est le premier arc, ou le plus voisin de la ligne^ qui détermine le sens de cette vitesse qui est imprimée parla résultante totale; et si l'on pouvait, par exemple , arrêter cm supprimer l'action de tous les points compris entre z et i, la résultante de tous les arcs restants donnerait enp une vitesse moindre que i, et le point p vibrerait dans le sens de la résultante de bs, c'est-à-dire qu'il serait en discordance arec la résultante des actions de zb. Il suit encore de là que Taction produite par le premier arc seul l'emporte en intensité sur l'action produite par tous les autre ensemble; car le résultat change de signe suivant que le premier y entre ou n'y entre pas. Ce que nous disons ici du premier, par rapport à tous les autres, s'applique à l'un quelconque des arcs par rapport à tous les suivants ; l'action isolée de chacun remporte toujours en intensité sur la somme des actions de tous ceux qui le suivent.

Ces conséquences nous conduisent à la véritable cause de la production des franges.

302 LIVRE V|.*^OPTIQUB«

En effet| supposons i° qu*ua écran arrâte toute la partie zxf de Tonde xzx' {Jig. 262); le point/? reçoit alors l'action de la partie xz et prend une vitesse égale a i.

Supposons 2° que le bord de Fécran soit en b , alors la partie bx est seule arrêtée, le point /i reçoit l'action de xz^ plus l'action Aezb\ ces actions sont conspirantes, et il en résulte en /i une vitesse égale à i de la part de xz et plus grande que i de la part de zb. Donc quand le point p est placé à regard de Técxan de telle sorte que la somme des distancesy& +pb au bord de l'écran l'emporte d^ une demi' ondulation sur la ligne droite^^ il reçoit plus de intâsse qu'il n'en recevrait^/ récran n'existait pas.

Supposons 3® que le bord de l'écran soit en ^ , la partie SX est seule arrêtée ; le point p reçoit l'action de xz^ plus l'action de z^ : la première donne en p une vitesse égale à i; la seconde étant seulement l'excès de la résultante de xb sur celle de zSj donne une vitesse bien moindre que i; donc I quand le point /i est place à l'égard de 1 écran de telle sorte que la somme des distancesy>+/?j| au bord de l'écran, l'emporte de deux demi -ondulations sur la ligne droite fp^ il reçoit beaucoup moins de vitesse qu'il n'en recevrait si récran n'existait pas.

En suivant le même raisonnement, nous pouvons conclure d'une manière générale que la présence d'un écran augmente la vitesse de vibration sur tous les points pour

GH. YI. — DES inniiFÉRElf CES ET DE LA DIFF. 303

de tons c€8 points ferme donc la trace de toutes les sombres. Nous pouvons conclure de là que les traoade ees frange forment des hyperboles et non des lignes dloilas; qu'elles sont plus serrées dans la lumière violette que dans la lumière rouge; enfin que leurs distances à Fonbce géométrique changent avec la distance du point hminenx à réorani et avec celle du tableau sur lequel on kl reçoit.

Dans ce qui précède nous avons seulement parlé des

liteiscs de vibration que doit prendre le point /i suivant sa

pontion par rapport à la partie de Tonde qui n'est pas ar-

iMe par l'écran , parce qu'en effet ce sont ces vitesses qui

Mahent immédiatement de la composition des mouve-

mats élémentaires qu'il reçoit des différentes parties de

Fonde lumineuse. Quant à ï intensité de la lumière , ou à

Il vivacité de l'impression que nous en pouvons recevoir,

die n*cst pas proportionnelle à ces simples vitesses , mais

hmn au carré de ces vitesses; car elle est évidemment pro-

pardoBBelle à la force vive , c*est-à-dire au can*é de la vi-

multipliée par la densité du milieu ; et , au fond de

orili cette densité de Téther est constante pour la

organisattoo. Remarquons enfin que pour la lumière,

le pour le son, le changement de vitesse ne change pas

Fisoohronisme des vibrations ^ mais seulement leur ampli-

^idù ; |in son grave reste toujours grave, parce que ses vi-

Imtîona s'accomplissent toujours dans le même temps ; la

Imnitee rouge reste toujours rouge par la même raison , et

It loaûère rouge diffère de la lumière violette parce qu'elle

MtePpopd à un moindre nombre de vibrations dans le

mèaifi temps « comme un son grave diffère d'un son aigu

par la même cause. Cest en partant de ces données que

Vroanel est parvenu non-seulement à expliquer la for-»

dea franges dans tous les cas possibles, mais à

dea formules pour calculer l'intensité de la lu*

et 4|i natiire dea teintes qui se développent dans les

304 LIVRK VI. — OPTIQUE.

principaux phénomènes d^interfërence ou de diffraction.

424. Franges intérieures produites dans Vomhrê des corps déliés ou des écrans étroits. — Soient It (Jig. a63), un écran , fxxn point lumineux, xlVx' Fonde incidente, que nou5 supposerons appartenir à la lumière rouge homogène, t le foyer de la loupe sur laquelle on reçoit l'ombre de l'écran , gg la largeur de Vombre géométrique, etp un point quelconque situé dans cette ombre, dont Taxe est suivant la ligneyir.

Sur le cercle xltx\ qui représente Tonde incidente, on prend à gauche de pi des points a, 6, c, </, etc. , tels que, en les joignant au point p^ la différence de deux de ces lignes consécutives soit égale à la demi-longueur d*une ondulation.

A droite de pl^ on prend pareillement des points a', £', c\ etc. , qui remplissent la même condition.

Cela posé, pour connaître la vitesse que doit prendre le point/;, il suffit de remarquer qu elle résulte des quantités partielles de mouvements envoyées par la portion Ix de Tonde incidente et par la portion lx\

Or, les arcs la et ah étant essentiellement inégaux, et de plus Tintensité des ébranlements que leurs divers points peuvent exciter e,wp étant différente à raison de leur inclinaison croissante sur la ligne pf^ il en résulte que ces deux arcs pris ensemble envoient de la lumière au point/i,

CB. VI. DES I^T£fiFÉUi::^CKS £T DE LA DIFF. 305

MMidre cette question d*une manière générale, et cVailleurs

Boos devons nous borner ici à faire remarquer que lare /a

otcdui de tous qui produit le plus grand efTet sur le point

/i pnœ qu'il agit de plus près et sous la moindre ohli-

fidté. Ainsi la résultante aura, dans tous les cas, unedirec-

lÎM tdlo que pPj plus ou moins rapprochée de pi. Mais

celte direction changera par deux causes : i° la distance

di point lumineux à l'écran restant la même, la résultante

lâoignera d'autant plus de pi que le point/? s'approchera

dbantage du bord de Tombre géométrique du coté de g,

{me que les lignes pa^ pb devenant moins obliques , les

Annlements qui arrivent au point p suivant ces lignes

prennent plus d'intensité ; a"* le point p restant le même ,

iik point lumineux se rapproche ou s'éloigne de 1 écran

/Ti le cercle qui représentera Tonde incidente, et qui passe

kmjours par les points / et l\ sera en dedans ou en dehors

da cercle xl^ et cette circonstance changeant la disposition

det points a, 6, c,etc., et Tobliquité des lignes menées de

eei points au point /», il est évident que la direction de la

XiBaItaDtej9rdes ébranlements quils excitent en ce point

som elle-même changée, et d'autant plus rapprochée de pi

fK le point lumineux sera plus près de l'écran.

Ainsiy en dernier résultat, la lumière que la portion la de Tonde envoie au point /» dépend de la largeur de 1 écran, de sa distance au point lumineux , et de la position de ce point j9 dans l'ombre géométrique.

Ce que nous venons de dire de la portion Ix de Tonde s'applique à la portion l'x\ qui donne donc aussi au point ^.nne résultante /?/, dont la direction est plus ou moins npproçhëe depl\ Mais, pour une même distance du point Imnineux à l'écran, on voit que cette résultante serapprock de pi' k mesure que le point p se rapproche du bord f ;de Tombre géométrique, et par conséquent à mesure qne la résultante de la s'éloigne de pi; et réciproque- Qient la itssultante pr s'éloigne de pi' à mesure que le II. ao

306 LIVRE VI. OPTIQUK.

point p s'approche du bord ^ de Tombre géométriqae, et par coDsé(juent à mesure que la résultaute/^r se rapproche Aepl.

Ces deux résultantes ^r et pr déterminent la vitesse du point p; toutes les fois quelles seront concordantes, il y aura vitesse plus grande et lumière plus vive, et il y aun moindre vitesse, et par conséquent ténèbres, toutes les fois qu'elles seront discordantes. Le premier cas arrivera quand la différence des chemins parcourus /?r ttpr' sera nulle oa éçale à un nombre pair de demi-ondulations; et le second cas arrivera quand cette même différence sera égale à un nombre impair de demi-ondulations.

Pour tous les points qui sont situés sur l'axe de l'ombre géométrique fmy^ la différence des chemins parcourus sera toujours nulle, et le centre même de l'ombre sera toujours une frange brillante.

En s' écartant de l'axe, sur la ligne ty le point p arrivent bientôt dans une position pour laquelle la différence des lignes pr et pr sera égale à une demi-ondulation; alors il y aura discordance complète, et par conséquent obscurité; ce phénomène se produira à la même distance à droite et à gauche de la frange brillante du centre, et les deux franges sombres qui en résulteront forment le système des

— DES INTBBPI^AENCES BT DE L4 DIFF. 907

ie docteur Young, qui l'avait cxindiiit à la thaonlationf.

it passer par une lame transparente queloonque qui ra9e Fun des bords de l'écran , las franges it encore lorsque la lame est un peu épaisse, et t que se déplacer lorsque la lame est très^mince ; iservation de M. Arago qui confirme celle du ung, et qui constate en outre que dans les corps ondulations n'ont pas la même longueur que £n observant le sens du déplacement des franges eur, comparée à Tépaisseur de la lame, on arlure que le rapport des longueurs d'ondulations indice de réfraction ; et comme une ondulation rs s'accomplir dans le même tempa, dans tous , il en résidte que la vitesse de propagation de dans un milieu est d'autant moindre que œ plus réfringent.

•ifi«r par l'expérience, la formation des frangea, ition et leur déplacement, et toutes leuraprosuffit de disposer sur la i**^ support la fiche n"* i n** 2, et sur le 2^ support le n^ 4 > le n^ 5 ou k leux supports doivent âtre i environ un iwtre 3, et l'on observe les franges avec lemicromàtre omène à diverses distances derrière la a* support, loppant les principes dont nous venons de paracile de voir qu'un écran circulaire opaque de i êtres de diamètre, éclairé par une lentille ou par nd assez petit, doit donner une ombre circulaire itre se trouve éclairé comme si l'écran était diatte conséquence se vérifie aisément ; on emploie la fiche n** 7 bis au 1^ support, et la fiche n* 7 r distance doit être de 8 à 10 décimètres, et Ion placer le micromètre à 2 ou 3 décimètres derrière ique.

yiHgês produiies par les petites ouifertaree. —

Soient/ (^.264) le point lumineux, M' la largeur de IW verture que la lumière traverse , et fg^ fg\ les limites de Tombre géométrique.

Pour mieux faire sentir la cause qui produit ici les franges, nous distinguerons trois cas. Il peut arriver :

i^ Que Ton observe seulement des franges extérieurejj c'est-à-dire des franges produites dans l'ombre géométrique de part et d'autre du faisceau lumineux intérieur;

0? Que Ton observe seulement des /ranges intérieures^ c'est-à-dire des franges produites dans le faisceau lumineux intérieur;

3** Que l'on observe à la fois des franges intérieures et extérieures.

426. Franges extérieures. — Les franges de cette espèce ne peuvent jamais être obtenues que par des ouvertures très*étroites, et même il arrive souvent que près de l'ouverture elles se trouvent mêlées de franges intérieures plus 00 moins nombreuses, de telle sorte qu'il est nécessaire, pour ' les avoir pures, d'aller les observer à une grande distance. Voici les conditions sous lesquelles elles se produisent, et les lois de leur formation :

Du point /, comme centre, décrivons un are jt&z^V, qui représente l'onde incidente (Jig. a64 ) 9 et sur la ligne

CH. yi. -^ DES llfTERFEnEPiCRS RT HP. LA DIFF. 309

point par Vzrc zb' ; de plus, l<i résultante des premiers sera eoBspirante avec celle des seconds ; il y aura donc une vive intensité de lumière. Ainsi, au delà du point/?, jamais Ton n'observera de franges sombres sur l'axe /z.

Maintenant, si par le point/; Ton mène la ligne indéfinie pk parallèlement aux biseaux , et que Ton détermine sur cette ligne les points Sj s'y s\ etc., pour lesquels les diffé- TeDces des chemins parcourus sb' — sb^sb' — s'b^s"b' — sf'b^ dCi, soient respectivement 2 demi-ondulations, 4 demiondulations, 6 demi-ondulations, et en général un nombre faùr de demi-ondulations , ces points ^, s\ s" y etc., seront lei milieux des iîranges sombres du premier ordre, du denuème ordre, du troisième ordre, etc. Au contraire, les milieox des franges brillantes du premier, du deuxième, du traisiènie ordre, etc. , seront donnés par les points r, r', /i etc., compris entre les premiers, et pour lesquels les différences des chemins parcourus rb' — rb , r'b^ — rb , i^'V — /'by etc., sont respectivement 3 demi-ondulations , 5 demi-ondulations, 7 demi-ondulations, et en général un mmbre impair de demi-ondulations.

En effet, dans le premier cas, s'il s*agit du point 5', par ciemple, on conçoit que la portion bzb^ de l'onde incidente (misse étse divisée, à partir du point &, en quatre parties telles que les distances de s' à In fin de la première , de la deuxième, de la troisième et de la quatrième, qui se tcrnine en b'j surpassent s'b d'une demi-ondulation , deux demi-ondulations, trois demi-ondulations et quatre demiondulations. Alors la résultante des ébranlements que la pfemiëre partie envoie en s sera discordante avec celle de fa deuxième partie, et sera détruite par elle, tandis que celle de la troisième partie sera , par la même raison, détmile aussi par celle de la quatrième. Ainsi le point s' est le MJlifm d'ane frange sombre*. Pour le point f, on partagerait Fan: bzb' eu deux parties^ en six pour le point /', etc. , et Ton ferait le même raisonnement.

Dans le second cas, 8*il s'agit du point /| par exemple, od conçoit que la portion bzb' de l'onde incidente puisse être divisée I à partir du point 6, en cinq parties telles que les distances de / à la fin de la première, de la deuxième, delà troisième, de la quatrième et de la cinquième, qui se ter^ mine en 6\ surpassent respectivement sb d'une, deux, troisj quatre et cinq demi-ondulations. Alors, la résultante des ébranlements que la première partie envoie au point r %en détruite par celle de la deuxième, tandis que celle de la troisième sera détruite par celle de la quatrième ; mais il restera celle de la cinquième partie, qui viendra éclairer le point/ de toute son intensité. Ainsi, le point r' sera le milieu d'une frange brillante. Pour le point r, on diviserait l'arc bdl en trois parties , en sept pour le point r", etc. , et l'on ferait le même raisonnement.

Telle est la cause de la formation des/ranges ejctérieum par des ouvertures étroites.

Il nous reste à présent à indiquer les lois qu'elles suivent dans leur développement.

Puisque les milieux des franges sombres du premier ordre forment la série des points dont les distances aux points & et b^ sont de deux demi-ondulations, il est évident qu'elles se trouvent sur deux branches d'hyperbole ayant pour foyer les points b et b\ et pour grand axe une longueur égale à deu