CHAPITRE PREMIER

dans la détermination de ces efforts (tensions ou compressions, moments fléchissants et efforts tranchants) que la statique graphique intervient d'une manière utile, en substituant aux calculs longs et pénibles de la statique analytique des tracés expéditifs et élégants, qui comportent moins de chance d'erreur et qui donnent cependant les résultats avec un degré d'approximation plus que suffisant pour les besoins de la pratique.

Nous supposerons à nos lecteurs la connaissance des principes de la mécanique, et particulièrement des lois de la composition des forces concourantes ou parallèles, ainsi que des propriétés élémentaires des centres de gravité et des moments d'inertie ; il serait assurément inutile et déplacé de refaire, à propos de statique graphique, un cours de mécanique générale. Toutefois, nous devons revenir sur quelques-unes de ces notions fondamentales et exposer en outre quelques propositions de géométrie qui sortent du domaine classique et dont nous aurons à faire usage ; tel est l'objet de cette introduction.

Segment représentatif d'une feree. Propriétés

des segments reetilignes.

t. — Si, sur la ligne d'action d'une force, on porte, à partir du point où la force est appliquée et dans le sens suivant lequel elle s'exerce, une longueur ayant la même valeur numérique que la force, c'est-à-dire contenant autant d'unités de longueur que la force renferme d'unités de force, on obtient un segment rectiligne qu'on nomme segment représentatif de la force parce qu'il en fait connaître à la fois la grandeur, la position et le sens. Par exemple, si AB est une droite de Tépure égale à n ,045 et si 0, m 02 représente une tonne, c'est-àdire 1.000 kilogrammes, le segment AB indiquera une force de 2.250 kilogrammes, appliquée au point A et dirigée suivant la droite AB, de A vers B.

3. — On sent par là combien la connaissance des propriétés des segments rectilignes est indispensable pour donner aux

INTRODUCTION 3

théorèmes la précision et la généralité qui conviennent. Ces propriétés sont du domaine de la géométrie; voici, sans démonstration, Téno^cé des plus usuelles l :

1° Lorsque plusieurs points a,, a„ a,... a :l sont en ligne droite, quelle que soit leur disposition et quel que soit le sois positif sur cette droite, on a, en grandeur et en signe, la relation

2° Deux segments égaux, parallèles et de même se?is ont leurs projections sur un même axe égales et de même signe. On sait d'ailleurs qu'on nomme projection d'un segment, sur un axe dont le sens positif est fixé, le segment qui a respectivement pour origine et pour extrémité les projections de l'origine et de l'extrémité du segment considéré ;

3° Si ron projette sur un axe quelconque plusieurs segments, consécutifs formant un polygone fermé, la projection de l\m quelconque d'entre eux changé de sens est égale à la somme algébrique des projections de tous les autres. Celte importante proposition porte le nom de théorème des projections.

Vecteur d'une force. Polygone des vecteurs

d'un système de forces.

4. — On sait que la résultante de deux forces appliquées à un même point a pour segment représentatif la diagonale

Fîg. i.

OC du parallélogramme OACB, construit sur les segments OA et OB qui repré sentent les composantes (fi g. 1). Cette règle du parallélogramme des forces est une conséquence immédiate

1. Voir le Traité de géométrie par MM. E. Rouché et de Comberousse, 5* édition! page 200.

i CHAPITRE PREMIER

de la proportionnalité des forces aux accélérations et de la composition des accélérations.

Mais, pour composer deux forces, on peut, au lieu de construire le parallélogramme OACB, se borner à construire le triangle OAC ou, mieux encore, un triangle a t a t a 9 dont les côtés soient égaux et parallèles à ceux de OAC et qu'on place d'ailleurs où Ton veut sur la feuille de dessin.

Ainsi, à partir d'un point quelconque a„ on portera bout à bout deux segments a t a % , a, a, représentant respectivement en grandeur, direction et sens les forces considérées F t et F Sf et le segment a, a, représentera en grandeur, direction et sens la résultante R, dont la position sera dès lors pleinement déterminée puisqu'elle doit passer par le point 0.

Nous appelons vecteur d'une force, tout segment ayant la même grandeur, la même direction et le même sens que le segment représentatif de la force. Tandis que ce segment représentatif a pour origine le point d'application de la force et qu'il détermine cette force en grandeur, position et sens, le vecteur, ayant une origine arbitraire, ne donne que la grandeur, la direction et le sens de cette force. Ainsi, dans la figure précédente, a { a t , a % a % sont des vecteurs des forces F t et F 2 , et la ligne brisée a x a % a % , dont l'origine est arbitraire, reçoit le nom de polygone des vecteurs des deux forces F t et F,. On peut donc énoncer de la manière suivante la règle de composition de deux forces concourantes :

La résultante de deux forces, qui agissent sur un même point, passe par ce point et a pour vecteur le segment qui joint t origine à l extrémité du polygone des vecteurs des composantes.

Cette règle se prête également bien à la décomposition dune force R en deux autres Fj et F,, suivant deux droites données OXi, 0X t passant par son point d application 0. Après avoir tracé le vecteur a { a t de la force R, on mènera par a t la parallèle à 0X t et par a t la parallèle à OX, ; a t étant le point de rencontre de ces deux lignes, les segments a % a ti a, a t seront les vecteurs des deux composantes demandées F t et F,, lesquelles seront déterminées par là même, puisque leur point d'application est connu.

INTRODUCTION

6. — La notion du polygone des vecteurs s'étend à un système de forces F 4 , F 2 .... F» situées d'une manière quelconque dans l'espace. Le polygone des vecteurs du système est la ligne brisée obtenue en menant bout à bout, à partir d'une origine arbitraire a t , les vecteurs respectifs a t a t} # a a 8 ,..., <*« #»+i des forces F,, F„... F n ; et il est clair que la connais* sance des points d'application des forces et du polygone

a i a t ... On+t des vecteurs définit complètement le système

(fig. 2).

Quand les forces considérées

sont appliquées à un corps rigide, on peut prendre pour point d'application de chacune d'elles un point quelconque de sa ligne d'action. On définira donc alors le système en donnant, outre le polygone des vecteurs a t a t # s a K a z a Gy les lignes d'action D t , D,, D 3 , D M Ddes forces, lignes d'action qui

sont d'ailleurs respectivement parallèles aux côtés a t a iy a t a Zl

a t ai, a< # 5 , a 6 a t du polygone.

aj/ -^\v

Fig. 2.

Composition des forées concourantes.

•. — La règle du n° 4 relative à la composition de deux forces offre l'avantage de subsister textuellement dans le cas où les forces appliquées à un même point sont en nombre quelconque.

La résultante R d'un système quelconque de forces Y u F,..., F», appliquées à un même point 0, passe par ce point et a pour vecteur le segment a t a*+i qui joint l'origine à F extrémité du polygone a t a,.... a»+i des vecteurs du système. — Il y a équilibre si la résultante est nulle, c est- à- dire si le polygone des vecteurs est fermé.

Pour compléter la théorie des forces concourantes, il faut joindre à ce théorème deux propositions qui en découlent aisément et que l'on démontre dans les traités élémentaires de mécanique :