Il importe de remarquer que

1° Si D tombe entre B et C, D' tombera entre B' et C ; car le premier membre de la relation sera négatif et par suite aussi le second ;

2° Si D tombe sur le prolongement CY de BC, D' tombera sur le prolongement BX de C'ff ; car le premier rapport sera alors plus grand que l'unité et par suite aussi le second rapport ;

3° Si D tombe sur le prolongement BX de CB, D' tombera sur le prolongement C'Y* de B'C ; car le premier rapport étant alors compris entre zéro et un, le second rapport devra être aussi positif et inférieur à l'unité.

H. — De la proposition qui précède résulte immédiatement la suivante :

Les bases BC, B'C de deux triangles variables ABC, A' B'C' restant fixes et les côtés AB et AC restant respectivement parallèles à A'B> et A'C, si le sommet A dupremier triangle décrit une droite L parallèle à la base B'C du second, le sommet A r du second triangle décrira une droite L' parallèle à la base BC du premier.

En effet, soit À une position quelconque, sur la droite L, du sommet du premier triangle ; si par la position correspondante À' du sommet du second, on mène la parallèle A'L' à BC, le point D' où cette parallèle coupera B'C divisera,

2 CHAPITRE PREMIEH

l'après le théorème précédent, la base B'C' dans un rapport :onslant. Donc, ce point D' restera lise quand le point A. ie mouvera sur la droite L ; par suite, le point A' restera ur la parallèle L' menée par le point fixe D' à la base fixe ÏC.

Hotfons sur les figure* linniologiijne*.

t». — Si deux triangles abc, a'b'c', situés dans un même ilan H, sont tels que les droites aa', bb', ce', concourent en m même point o, les côtés bc, et b'c', ca, et c'a', ab et a'b' se •oupent respectivement en trois points a, p, y situés en igné droite (fîg. 8).

Que l'on imagine, en effet, un point situé sur la perpenliculaire au plan H menée par le point o ; la figure oa'b'c' sera a projection sur le plan H, de la pyramide ayant pour sontnet le point et pour base le triangle a'b'c'. Désignons par i, B,C, les points qui, situés sur les arêtes Oa', Ob', Oc', se projettent en a, b, c (ce serait compliquer inutilement la figure que d'y placer les points 0, A, B, C, dont il est si aisé de se représenter les positions).

Le triangle abc sera la projection de la section de la pyramyde par le plan ABC, et la (race de la droite BC sur le plan H, devant appartenir à la projec- Fi * 8 tion bc de BC et à la trace b'c'

le la face Ob'c', sera le point a commun à bc et b'c'. On verait de même que les points $ et y sont comme a, situés à la ois dans le plan H et dans le plan ABC ; les trois points '., (i, y appartiennent donc à l'intersection de ces deux plans it par suite sont en ligne droite.

Ce théorème, dû à Desargues, sert de fondement à la théo- ■iedes figures homologiques, qui a pris, sous la plume de Poncclet, un si merveilleux développement. La théorie de 'homologic appartient à la géométrie pure ; nous nous bor-

INTRODUCTION 13

lierons à donner sur ce sujet i quelques notions très simples, mais d'ailleurs suffisantes pour l'usage qu'on peut faire de l'homologie en statique graphique.

ts. — On dit que deux figures situées dans un même plan sont homologiqueSj lorsqu'elles se correspondent point par point et droite par droite, de telle sorte que deux points homologues quelconques soient en ligne droite avec un point fixe et que deux droites homologues quelconques se croisent sur une droite fixe.

Le point fixe reçoit le nom de centre d'homologie et la droite fixe celui à! axe d'homologie ; toute droite passant par le centre d'homologie prend en outre le nom de rayon.

Il importe avant tout de montrer qu'il existe de telles figures.

A cet effet, soient donnés, dans le plan d'une figure quelconque 2, le point et la droite L qu'on veut prendre pour centre et pour axe d'homologie ; choisissons en outre arbitrairement un point a de la figure 2, puis un point a! sur le rayon Oa.

Gela posé, m étant un point quelconque de la figure 2,

• prenons d'abord l'intersection p de

7 ma et de Taxe L, puis l'intersection

/ m' de (ia' et du rayon om. La figure

/ 2', que décrit le point ni lorsque le

point m décrit la figure 2, esthomo-

lav-

w ' , logique de 2 (fig. 9).

7 m En effet, comme, d'après la cons-

truction même, deux points homologues quelconques m et ni sont en ligne droite avec le centre 0, il reste Fig. 9. seulement à prouver que, si m décrit

une droite quelconque te, le point ni décrira la droite ni s qui passe par le point s où ts rencontre Taxe L. Or, supposons que m prenne une position quelconque n sur ms, l'homologue n'de

1. Pour une exposition plus complète, voir le Traité de géométrie de MM. E. Rouché et de Comberpusse* n*» 728 à 733, 938 à 943, 1167 à 1169 de la 6* édition.