CHAPITRE PREMIER

constant, en sorte qu'on obtient alors la seconde figure oologique de la première S en dilatant dans un ra t constant, qu'on nomme rapport d'homologie, les c nées aa, u.m...., qui sont comptées à partir de l'axe d'h osrîc L parallèlement a la direction nomologique.

n peut même donner un peu plus d'extension à cette pr ition en comptant les ordonnées parallèles à ta directe îologique à partir d'une droite quelconque tH pour la pr re figure 2, pourvu qu'on compte les ordonnées de la s< ie 2' à partir de la droite i'8 homologue de /8. Car si n ésigaentles points où tb et t'% rencontrent pmm', les ra;

fin» * (in

it égaux l'un et l'autre au rapport p d'homologie, il en sei nême du rapport

PROPRIETES GEOMETRIQUES DES POLYGONES

Définition des polygones funiculaires

te. — Nous ne considérerons dorénavant, sauf avertissement contraire, que des systèmes de forces appliquées à un corps solide et toutes situées dans un même plan.

En statique graphique, un tel système est toujours défini par les lignes d'action D t , D f ,... D„ des forces considérées Fi, F„... F , et par le polygone de leurs vecteurs a t a„ a t a 3> ... Oniu+i, comme nous l'avons expliqué au n° 5. Ainsi, dans notre système de notation, la force F* agit suivant la droite D*, et elle a la même grandeur et le même sens que le segment a h dk+i qui est, d'ailleurs, parallèle à D*.

Considérons un système défini de la sorte, et que, pour fixer les idées, nous supposerons composé de cinq forces seulement. Prenons à volonté dans le plan des forces un point p> auquel nous donnerons le nom de pâle du polygone des vecteurs, et joignons ce pôle aux divers sommets de ce polygone par des droites pa if pa s ,... pa-, que nous nommerons rayons polaires.

Menons une parallèle quelconque co*, au premier rayon pa â jusqu'à sa rencontre y t avec la ligne d'action D, de la première force F, ; puis, tirons par ai une parallèle « t a* au second

rayon pa t jusqu'à sa rencontre «, avec la ligne d'action Dj de la seconde force F, ; et ainsi de suite. Enfin par le point a ; , où la parallèle cci a. à l'avant dernier rayon pa- a rencontre la derriière ligne d'action D-, menons a.-f parallèle au dernier rayon pa t .

Nous obtiendrons de celte façon une ligne brisée <■>%, a, a, a, x- a o dont le premier et le dernier côtés <■>«, et a,ç sont indéfinis, <>t k laquelle on donne le nom de polygone funicu- F 'S' **■ latre, relatif au pôle p, du sys-

tème des forces considérées.

Pour que la construction réussisse, il faut que chacune des lignes box,, «, a,, oc, a,... coupe la ligne d'action de la force suivante, ce qui pourrait ne pas avoir lieu pour certaines positions exceptionnelles du point p. Mais la construction ne sera jamais en défaut, quel que soit le système de forces donné, si l'on choisit pour pôlep un point non situé sur les côtés du polygone des vecteurs ou sur leurs prolongements ; car, les rayons polaires coupant alors les côtés de ce polygone, les parallèles à ces rayons couperont les lignes d'aclion correspondantes.

En résumé, un polygone funiculaire, relatif à un pôle p, d'un système de forces F„ F,,... F*, est une ligne brisée dont les sommets sont sur les lignes d'action des forces et dont les côtés sont parallèles aux rayons polaires du polygone des vecteurs ; le sommet a* de rang k se trouve sur la ligne d'action D t de la force F», et le côté oct-i «t de rang k est parallèle au rayon polaire pa* de même rang. Sauf le premier et le dernier côtés woc,, v. n+i ® qui sont illimités et respectivement parallèles au premier et au dernier rayon pa t et pa n+ \, chacun des autres côtés est limité à deux lignes d'action, et le rayon polaire qui lui est parallèle aboutit précisément au point d'intersection des deux côtés du polygone des vecteurs auxquels ces lignes d'action sont parallèles.

Fig. 15.

11. — La figure 15 est relative au cas où toutes les forces F^Fj,

F 8 , F 4 , du système sont parallèles. La construction du polygone funiculaire o>a 4 <x â a 3 a 4 <p n'offre aucune particularité. Seulement les côtés du polygone des vecteurs sont alors sur une même droite ; le pôle p peut être pris à volonté, mais non sur cette droite ni sur ses prolongements. Dans notre figure toutes les forces agissent de haut en bas sauf F 8 qui est dirigée de bas en haut ; aussi, dans le polygone des vecteurs les côtés a t a t , a* 8 > ainsi que a^a 5} sont dirigés de haut en bas, tandis que ^ a 4 Test de bas en haut. La figure 16 se rapporte au cas d'une force unique F; le

polygone des vecteurs se réduit à un segment a t a*, et un polygone funiculaire se compose seulement de deux côtés indéfinis o>a, <x<p, qu'on obtient en menant par un point quelconque oc de la ligne d'action de la force des lignes respectivement parallèles aux deux rayons polaires pa x etpa à .

Dans les deux figures précédentes, pour ne pas compliquer inutilement, nous avons désigné par la même lettre une force quelconque et sa ligne d'action ; c'est ce que nous ferons désormais le plus souvent. Nous emploierons aussi parfois, pour abréger, la notation :

Pig. 16.

(F lf F»,... F w ; #1 a,,... a n +i)

pour désigner le système des forces ayant F F„... F n pour lignes d'action et a t a a ,... a n +\ pour polygone des vecteurs.

in à deux polygones funiculaire»» d'un même système de forées

18. — Si l'on considère deux polygones funiculaires quelconques, relatifs à un même système de forces, les points oit les côtés du premier rencontrent respectivement les côtés homologues du second sont situés sur une même droite.

Cette ligne, que nous nommerons Vaxe commun aux deux polygones, est parallèle à ladroite qui joint les deux pôles et est située à distance finie, si les deux polygones ont des pôles distincts ; elle est à f infini si les deux polygones ont le même pâle.

Le théorème est évident dans le dernier cas ; car lorsque les deux polygones funiculaires ont le même pôle, deux côtés homologues quelconques sont parallèles entre eux.

Il suffit donc de s'occuper du premier cas. Désignons les deux polygones funiculaires par P et P'et leurs pôles respectifs par 7) et p'\ appelons en général S* l'intersection des deux côtés eu— 1 x tt aû' x'a de rang ft, lesquels sont respectivement parallèles aux rayon scolaires pat, p'at', d'ailleurs a. k et a'i sont situés sur la ligne d'action de la force F* dont le vecteur est a k ai±i. Considérons les deux triangles F 'B- 17 - otpp', S* «et ou; le côté ûip

est parallèle à S* a* et le côté a k p' est parallèle àSieû. Si, les bases pp', m t!l restant fixes, les sommets at et S* se déplacent de manière que les côtés qui étaient d'abord parallèles conservenl]eurparallélisnie,oi + i/)p' et St+i a. k «'[.seront deux autres positions correspondantes des triangles variables. Mais le déplacement a* a,t + i du sommet du premier étant parallèle a lu base ai x't du second, il faut (11MI) que le déplacement St ■ S*+i du sommet du second soit parallèle à la base pp' du premier. Ainsi tous les segments S, S„ S, Sj,... S" S n +t sont

parallèles à pp', et, comme chacun d'eux a un point commun avec le suivant, tous ces segments sont sur une môme droite parallèle kpp'. D'ailleurs, cotte droite est à distance finie ; car, puisque les pôles p et p' ne sont pas situés sur les côtés (indé T Uniment prolongés) du polygone des vecteurs, de deux sommets consécutifs a*, a*+i de ce polygone, l'un au moins, a* par exemple, n'est pas en ligne droite avec/?p'; les rayons polaires pat, p'dk sont dès lors distincts, et par suite les côtés ot*-i ou-, a*- 1 a'it qui sont respectivement parallèles à ces rayons se rencontrent en un point S* situé à distance finie.

!•. — Ce théorème facilite le tracé des polygones funiculaires satisfaisant à certaines conditions. Voici un exemple :

Etant donné un polygone funiculaire P(<oa t a* a 3 a tl <p) de pôle p, pou?" un système de forces

construire pour le même système de forces un second polygone funiculaire P', de pâle donné p', et dont un côté de rang assigné, le second par exemple, passe par un point donné I.

On aura d'abord le second côté ou ou à\x polygone P' en menant par I la parallèle au rayon polaire p'a % ; on en déduira le

Fiji. 18.

point Sj intersection des deux seconds côtés, et enfin Taxe L commun aux deux polygones P et P' en menant par Si la parallèle h pp'.

'ela fait, au lieu de construire le polygone P' d'après la lion même (n° 16), on pourra employer l'axe L: toit, pour tracer immédiatement un côte" de rang assig obtiendra, par exemple, le quatrième a.', a « en menant loin! S ( , où l'axe L rencontre a, «,, une parallèle au ri h.

k>it, pour tracer les côtés successifs du polygone P' •e intervenir le polygone des vecteurs ; en prenant, en e points S„ S„ S„ S„ S; où l'axe L rencontre les côtés tj, a» a t , a t ç du polygone P, on aura de proche en pr< côtés correspondants «V,, x\ «'„ *', «'*, a' s <p' en me cessivement Sj «'„ S, a! t , S ( a'„ S s *'«.

•a du point de rencontre de deux côtés de r»

ÏO. — Si, dans chacun des polygones funiculaires Tibre infini) qui sont relatifs à un même systèmi •ces, on prend le point de rencontre du côté de ra ïu côté de rang k, le lieu de ces points est une dt rallèle à la corde ai at qui, dans le polygone des \rs, joint l'origine du côté de rang i à l origine du côl igk.

En effet, soient P et P' deux polygones funiculaires ( îques du système ; p et p' leurs pôles ; S ( l'intcrsectior îx côtés de rang i, et S* l'intersection des deux côté ig k ; enfin m l'intersection des côtés de rangs i et k da ygone P et m' l'intersection des côtés de rangs i et k da ygone P' ; m et m' seront deux points quelconques du 1 ils seront à dislance finie, si, a, et a* étant distincts coi suppose l'énoncé, la droite indéfinie pp' ne passe ni par ■ a k .

Considérons les triangles patai,, mS<Sji ; le côté pa t es lèlc à mS,- et le côté pa* parallèle à #iS*. Si les bases i «i restant fixes, les sommets p et m se déplacent de mai e les côtés d'abord parallèles conservent leur paralléli ;&,\ et m'S,Sft seront deux autres positions correspondis

des triangles variables. Mais le déplacement pp' du sommet

v | du premier étant parallèle à la

^*§L base S<S* du second (n° 18), il

|\ s \ A V^"^ f aut (n° 11) que le déplacement

v \ ^^-^Ti / >p mm ' du sommet du second soit

^''O^l^''' \ Parallèle à la base a t ak du pre-

-^^__^\7\ °k ^p'mier. Ainsi la droite qui joint

\ / m deux points quelconques m et

l ! ro' du lieu est parallèle à didu ;

F 'g- 9 - donc tout point m du lieu est

sur la droite 1 menée par l'un d'eux m' parallèlement à a,ai. Inversement tout point p de cette droite \ appartient au lieu ; car, si Ton désigne par D une droite quelconque passant par jx, et distincte de \ f et si l'on considère un polygone funiculaire du système ayant cette droite pour côté de rang t et un pôle w différent de a«, le côté de rang k dans ce polygone coupera la droite D en un point appartenant au lieu et par conséquent situé sur X ; or p est le seul point commun aux droites D et X; donc (x appartient au lieu.

91. — On dit que le polygone des vecteurs d'un système de forces Fj, F„ .,., F* est fermé lorsque son origine a t et son extrémité On+i coïncident.

Un polygone funiculaire est dit fermé lorsque le premier côté o) xj et le dernier «*? coïncident avec la droite x,ou qui joint le premier au dernier sommet.

Quand le polygone des vecteurs d'un système de forces est ouvert, on peut rencontrer parmi les polygones funiculaires du système les trois types : polygone fermé, ou polygone ouvert et ayant le premier et le dernier côtés soit parallèles, soit concourants. Un exemple suffit pour mettre le fait hors de doute. Que l'on considère deux forces concourantes F t et F„ si l'on prend le pôle hors de la droite HiO, qui joint l'origine à l'extrémité du polygone aja,a t des vecteurs, on a évidemment un polygone funiculaire ouvert dont le premier et le dernier côtés sont concourants ; si l'on place au contraire le pôle sur a t O|, le premier et le dernier côtés du polygone funiculaire seront coïncidants ou parallèles suivant qu'on fera ou non passer le premier côté par le point de concours des deux forces.

Hais, quand le polygone des vecteurs d'un système de forces F,, F„ ..., F n est fermé, si un polygone funiculaire du système est fermé, tous les polygones funiculaires du système sont fermés.

En effet, si le polygone des vecteurs a t a i ...a n +i est fermé, c'est que a n +\ coïncide avec a, ; a t et a n sont donc deux points distincts et a i a n est parallèle à F n . Or, le polygone des vecteurs étant fermé, dans tout polygone funiculaire du système le dernier côté a n 9 aura la même direction que le premier <s>x t ; et pour qu'un tel polygone funiculaire soit fermé, il faut et il suffit que le premier côtéux, et l'avant-dernier * n —\ <x n , c'està-dire le 7i' ème , concourent sur F n . Mais, si cela a lieu pour l'un des polygones funiculaires, la droite F*, qui est, avons-nous dit, parallèle à a % a n sera (n # 20) le lieu des points de rencontre du premier et du n iènM côtés des divers polygones funiculaires du système ; tous ces polygones sont donc fermés.

Il suit de là que, si le polygone des vecteurs d'un système de forces est fermé et si tun des polygones funiculaires du système est ouvert, tous les polygones funiculaires du système seront ouveiHs.

Observons encore que, dans le cas particulier <¥ un système de forces concourantes, si le polygone des vecteurs est fermé \ tous les polygones funiculaires sont fermés. En effet, il suffit, d'après ce qui précède, de montrer que la chose a lieu pour un polygone funiculaire du système. Or, si Ton fait passer le premier côté d'un polygone funiculaire par le point de concours des forces, ce polygone se réduit évidemment à la droite menée par ce point de concours parallèlement au premier rayon polaire.

**. — Revenons maintenant au théorème du n* 20. Nous avons supposé a% et a k distincts ; car, lorsque a { et a* se confondent, la direction a,a A n'est plus déterminée et l'énoncé n'a plus de sens. Mais quel est alors le lieu des points de rencontre des côtés de rangs i et h ?

Considérons le système partiel formé par les forces F„ Fi+i, ..., F*t ; la ligne brisée a<a/+i ... ai est le polygone des vecteurs de ce système partiel, et, si Gja t ...a„<pestun polv-

gone funiculaire du système total F, ... F M , a 4 , a f ... a /: i a^ sera un polygone funiculaire du système partiel FiF* + i ... F*t. Dans notre hypothèse le polygone des vecteurs a^j+i ...a* est fermé, puisque a t et a* se confondent ; donc, si Ton considère tous les polygones funiculaires du système, les côtés <x<— ioc<, et oik —î o* seront soit toujours parallèles et distincts, soit toujours confondus. Le tracé d'un polygone funiculaire d'essai montrera quel est celui des deux cas dans lequel on se trouve. Dans le premier cas, le lieu est évidemment la droite de Vinfini du plan. Dans le second cas, tout point m du plan appartient tmlieu; car, si Ton construit un polygone funiculaire du système en faisant passer son côté <x<-i en do rang i par m, le côté a* r t a* de rang k t coïncidant avec <xf i ai, passera par m.

Ueu de* pôles des polygones funiculaires passant

par deux points donnés

ts. — Si, parmi les polygones funiculaires dun système de forces, on considère seulement ceux dont deux côtés de rangs assignés ieth passent respectivement par deux points donnés I et K, le lieu des pôles de ces polygones est une ligne droite parallèle à IK.

Cherchons un point a du lieu qui soit situé sur une droite déterminée a*Y et menée d'ailleurs à volonté par le point a*.

Supposons qu'on ait déjà tracé un polygone funiculaire quelconque P' du système de forces considéré

et soit p' son pôle. Désignons par X une droite qui n'est autre que a t a k lorsque les points a { et a k sont distincts, mais qui, si a* et a h sont confondus, est une droite menée à volonté par #<. Traçons des parallèles à X par les points I et K jusqu'à leurs rencontres respectives T et K' avec les côtés a'*- i* ,-, a* 1 a* de rangs i et k dans le polygone funiculaire P' ; enfin, par/?', menons la parallèle à l'K' et prenons son intersection a avec X. Soient /i et f % deux forces ayant, la première pour vecteur

a t a et pour ligne d'action 1 1', la seconde pour vecteur pour ligne d'action KK', et considérons le système des (/,FjF, t/»; aa t ...a k a). Le polygone QTa'i...*'*iK'Q' polygone funiculaire,

Fig. ÏO.

de pôle p , pour ce système de forces, et comme il est ainsi que le polygone des vecteurs, tout autre polygon culaire du même système de forces sera fermé; donc, t ticulier, celui P' de ces polygones qui, ayant pour pôle rait son premier côté passant par I. Mais les côtés de ce

ai

Fig. «.

gone P',, autres que le premier et le dernier, seraient précisément les côtés a ( -i ki,..., «A-i a» du polygone P; donc, puisque P' t doit être fermé, son premier et son dernier côté se confondent avec IK ; par suite, pa est parallèle à IK, en sorte

qu'on obtient le point p en menant par le point connu a une parallèle à IK et prenant l'intersection de cette droite avec a k Y.

Ainsi tout point p du lieu se trouve sur la droite L menée par le point a parallèlement à IK.

D'ailleurs, tout point m de cette droite appartient au lieu ; car, puisque, en vertu du raisonnement ci-dessus, il y a, sur chaque droite issue de a*, un point du lieu, le point du lieu qui est sur a h m, devant en même temps appartenir à L, coïncide avec m.

En définitive, le lieu cherché est une droite parallèle à IK et passant par un point a qu'on détermine par la règle suivante :

Tracez un polygone funiculaire quelconque P' du système de forces proposé (s'il s'en trouve un déjà tracé sur la figure, il convient évidemment d'en profiter); prenez les points F et K' où les côtés de rangs i et k rencontrent respectivement les parallèles menées par I et par K à une droite X, qui est la droite a^dx si atetak sont distincts , ou une droite menée à volonté par ai si ai et a*, se confondent ; enfin, par le pôle du polygone auxiliaire p' mmez la parallèle à l'K' ; cette parallèle rencontrera la droite X au point cherché a.

La fîg. 21 est relative au cas où les points a« et a* sont distincts ; la fig. 20 se rapporte au cas où ces points sont confondus, alors les côtés a'i i a*, a*i a* de rangs i et k dans le polygone auxiliaire p ont la même direction />'a, ; nous avons supposé ces deux côtés distincts. S'ils se confondent, la droite IK' se confond avec eux, et la droite p'a y devenant p'a iy le point a ne diffère pas de ai ; dans ce cas, le lieu est donc la parallèle à IK, menée par les points confondus a,- et a*. *

Propriétés spéciales des polygones funiculaires relatifs à on système de forces concourantes ou parallèles.

94. — Deux polygones funiculaires quelconques P et P' d'un même système de forces concourantes sont deux

i. Des n<» 18 et 23 résultent immédiatement les deux propriétés suivantes qui méritent d'être signalées:

figures homologiqu.es ; en d'autres termes, si S est une quelconque dont le polygone P fait partie, et si l'on cons figure S' homologique de S en prenant pour centre dh< gie le point de concours des forces et pour axe d'hon l'axe commun L (n* 18} aux deux polygones P et P', h gone P' sera la partie de 2' qui est l'homologue de P (fi En effet, prenons respectivement sur les deux premier uai et ax', des polygones funiculaires P et P' deux p< et u' en ligne droite avec le point 0. Puis avec le ccnlr mologie 0, l'axe d'homologie L et le couple (u, u') de homologues, construisons la figure £' homologique de 5 mologue du premier côté ua t de P sera le premier côle t

FIg. Ï2.

P', puisque «V, passe (par «' homologue de « et coup L au même point S, que «*,. D'ailleurs l'homologue di met a, de P devant être à la fois sur Oa, et sur *>'« précisément le sommet *', de P'. Dès lors on voit de que «',«', est l'homologue % t &, et que a s est l'homoloj »',; et ainsi de suite.

K5. Lorsque les deux polygones funiculaires P et F

1« Si deux côte» d'un pohjgonuniculairc pivotent respeetivemen de a et b, tout outre côté du mfar.c polygone pivote autour d'un pi lllué sur ta droite ab.

2« Si le pôle d'un polygone funiculaire décrit une droite L ta. l'un des côtes pivote tuteur d'un point fite a, tout autre côté du poly rote autour d'un point /i.rr situé sur la parallèle menée par a Aladn

DES POLYGONES KL'NICULAllŒa

relatifs à des forces parallèles, le ceiilrc d'homologie passe à l'infini dans la direction des forces. Il est d'ailleurs aisé de voir que lo rapport d'homologie est alors égal en grandeur et en signe au rapport des distances polaires ep, e'p' {fig. 23).

EneffetjSoitmrintcrsectiondeaiajetdepp^Sjrintersectionde coai et de o'a'i, enfin ;jl le point où a^coupe Taxe commun aux

deux polygones, c'est-à-dire

P*Ox

la parallèle menée par S t à pp' ; les deux triangles pa t p\ ai Si a i se trouvent dans les conditions du n° 9, les côtés a t p et S â ai sont parallèles, ainsi que les côtés a$ et Si a'i , et la droite a{m est menée par le sommet du premier parallèlement à la base a,a'i du second, tandis que la droite S â [/. est menée par le sommet du second parallèlement à la base pp 1 du premier ; on a donc, en grandeur et en signe :

Fig. 23.

mp mp'

ep êp

ce qui démontre le fait énoncé, puisque la droite S,p. étant Taxe d'homologie et (ai, «,) étant un couple de points homologues, le premier des rapports ci-dessus exprime le rapport d'homologie. Ainsi :

Deux polygones funiculaires quelconques P et P' d'un

même système de forces parallèles sont deux figures homologiques, dont les rayons homologiques sont parallèles aux lignes d action des forces , dont Taxe d'homologie est l'axe commun aux deux polygones Fig- 2*. et dont le rapport dho-

mologie est égal au rapport inverse des distances polaires. Ce rapport est d ailleurs égal à celui des ordonnées de

•itx points homologues quelconques m et m' des deux pogones, les ordonnées nm, n'm' étant parallèles aux forces comptées respectivement à partir de deux droites hootoçues quelconques un et u'v' des deux figures (fig. 24).

•lyffoue funiculaire païinut par trW* ptunli donnés

•«. — Étant donnés trois points quelconques I, H, K dam plan d'un système de forces.

(F,F,... F„; OA-ftw),

t demande de tracer le polygone funiculaire P dont le '•té de rang i passerait par I, le côté de rang k par H et côté de rang k par K.

Il suffit évidemment de trouver le pôle p du polygone deandé P.

Or ce pôle p appartient au lieu des pôles des polygones fuculaires dont le côte de rang i passerait par I et le côté de ng h par II ; il appartient aussi au lieu des pôles des poly- >nes funiculaires dont le côté de rang h passerait par II et côté de rang k par K ; on sait (n° 23) construire ces deux iux qui sont des droites respectivement parallèles à IH et K ; l'intersection de ces deux droites sera le point cherché p. On pourrait d'ailleurs à l'un de ces deux lieux substituer lui des pôles des polygones funiculaires dontle côté de rang nasse par I et le côté de rang k par K, et obtenir de la sorte le vérification.

Telle est la méthode générale. Mais si les forces sont conurantes ou parallèles, il vaut mieux recourir aux propriétés éciales des a" 24 et 23. On a alors par le point de concours par la ireclion des forces le centre d'homologie ou la diction homologique des polygones funiculaires du système. jiic, en prenant les intersections respectives des rayons hoologiques des points I, H, K et des côtés de rangs ï, h, k na un premier polygone d'essai P', on aura immédiatement s homologues I', II', K' des points I, H, K du polygone deandé P ; on pourra alors trouver tous les côtés de ce poly- >ne P, même indépendamment les uns des autres, à l'aide ■s (racés indiqués au n" 19.

97. — Tout cela est si facile qu'un exemple suffira. Nous choisirons à cet effet le système de deux forces concourantes (F,, F,; a^jOs) auquel nous appliquerons successivement les deux méthodes; le premier côté devra passer pari, le deuxième par H et le troisième par K.

La fig. 23 est relative à la première méthode ; u'a'tt/a' est un polygone d'essai dont p' est le pôle. Ko menant Hli' parallèle à <iia„ puis par p' la parallèle p'x à I'H' et enfin par x la parallèle à l' H', on a (a" 23) le lieu X, des pôles des polygones funiculaires dont le premier côté passe par I et le second par H. De môme en menant HH', et KK' parallèles a fl,a,, puis par p' la parallèle p'y à H',K' et enfin par y la parallèle à 1IK, on a le lieu 1, des pôles dés polygones funiculaires dont le deuxième côté passe par H et le troisième par K.

Le point. p commun à 'k, et \ t sera le pôle du polygone cher-

Fig. 25.

ché P; son premier côté sera la parallèle uï, a pa, menée par I ; puis, a, II cl a, K seront les côtés suivants ; comme vérification, ces côtés doivent être respectivement parallèles aux rayons polaires pa, et pa t que nous n'avons pas tracés pour ne pas compliquer inutilement la figure.

CHAl'ITHK II

La %. 26 est relative à la seconde mélliode ; o/a'ixV?' étant toujours un polygone d'essai dont le pôle p' est arbitraire, on prendra les intersections F , H', K' de ses cotés successifs avec les rayons homologiques 01, OH, OK, et il restera, pour avoir le polygone demandé P, à construire la figure homologi-

que «Va tiç'

L'homologue u du point u où o'a'i coupe H'K' sera sur Ou' et sur HK ; en le joignant au point I, on aura la droite homologue de IV, c'est-à-dire le premier côté «lai du polygone P dont le deuxième côté sera aiHx 2 et le troisième a s K<p.

. — L'une et l'autre constructions peuvent être notablement abrégées par un choix convenable du polygone d'essai P', si un tel polygone ne se trouve pas tracé déjà pour d'au- 1res besoins.

W^if

Fig. 27.

Reprenons à ce point de vue la première méthode. Eu prolongeant KH (fig. 21) jusqu'à sa rencontre *\ avec F u on peut considérer Ia' t et x v \l comme le premier et le second côtés d'un polygone funiculaire dont le premier côlé passerait par I et le second par H ; son pôle p' s'obtiendra en menant a,p' et a t p f respectivement parallèles à Ia\ et à HK, et la parallèle \i menée par p' à IH sera le lieu des pôles des polygones funiculaires ayant leur premier côté passant par I et leur second par H. De même, en prolongeant IH jusqu'à sa rencontre <z' s avec F„ on peut considérer Ha'* et a'«K comme le deuxième et le troisième côtés d'un polygone funiculaire dont le deuxième côté passerait par II et le troisième par K ; son pôle p" s'obtiendra en menant a^p" et a z p" respectivement parallèles

à III et à x'j K, et ia parallèle *, menée par p à UK Sera le lieu des pôles des polygones funiculaires ayant leur deuxième côté passant par H el le troisième par K. Donc l'intersection de \ x et de \ u c'est-à-dire le sommet/? opposé à a ± dans le parallélogramme ajp'pp", sera le pôle du polygone cherché P. On aura le deuxième côté x,x, en menant par II une parallèle à pa t ; puis Ixi et x â K seront le premier et le troisième.

Reprenons de même la seconde méthode : En prolongeant KII jusqu'à sa rencontre «', avec F„ Ix', et x'jllx, seront les deux premiers côtés d'un polygone funiculaire dont le premier

Fi**. 28.

côté passe par I et le second par II ; son pôle p' s'obliendra en menant a v p et a % p respectivement parallèles à Ix'i el à IIK, et Ton aura le troisième côté a'*?' en menant para', la parallèle à p'a z ; mais le polygone u'x^x'j'p' et le polygone cherché P ont évidemment pour axe d'homologie la droite III qui est leur axe commun ; donc, il suffira de prolonger <p'x'i jusqu'à sa rencontre S avec III et de joindre SK pour avoir le dernier côté a,<pdu polygone P ; le second côté sera ensuite x 4 ÏIxi elle premier x t I (fig. 28).

La construction que nous trouvons ainsi par la considération des figures homologiques, aussi bien que la précédente, sont remarquables parleur élégante simplicité.

Polygone funiculaire passant par deux points donnés et ayant une distante polaire donnée.

k — Après les détails dans lesquels nous venons d'entrer, il suffira de quelques mots sur ce nouveau problème :

:t( CHAR II. — PHuPHUÏTÉS UÉoSIÉTHIVlJKt:

Étant donnés demi points quelconques I et II d. d'un système de force*

on demande de tracer un polygone fàn'utdair côté de rang i passe par 1, le côté de rang h pn> le pôlep soit à une distance donnée S delà droit le polygone des vecteurs, joint le point a f aupoi

Le pôle inconnu p doit être d'abord sur l'une dt rallèles à a t an situées de part et d'autre et à la di cette droite. Il doit être en outre sur la droite, liei des polygones funiculaires, dont les côtés de rangs sent respectivement par I et II. Cette droite couj premières en deux points p et p,. Il y a donc deux la solution serait unique si l'on donnait, outre la vah & de la distance polaire, le sens de cette distance.

Si les forces concourent en un même point 0, truira un polygone d'essai P' en prenant un pôle tance S de a t a h , portée d'ailleurs du côté convcnabl de la distance est donné. Les rayons homoiogiqu fourniront par leurs rencontres respectives avec 1 rangs t et h du polygone P' les points I' et 11' hor de I et II ; l'axe d'homologie des polygones P et P' : en menant par le point de renrorilrc S de III et l'I: lèlc SLàpp', c'est-à-dire la parallèle ù a,a h \ on plus de données qu'il n'en faut pour construire le f homologique de V.

s». — La solution par les figures homologiqu d'une extrême simplicité dans le cas où les forci rallèles. Soit, pour fixer les idées, le système de l parallèles (F,F,F, ; a\a,a,,aj, et supposons qu'on vci premier côté du polygone funiculaire demandé P | et le dernier côlé par H. On construira un polygo luire d'essai P' ou u'x'ia'ia'*?', à l'aide d'un pôle p'q distance donnée Sdcai^et dans le sens voulu; puis par I et H des parallèles aux forces jusqu'aux poir

jsa

section de ces rayons homologiques avec le premier côlé oV 1 et le dernier côté a 3 <p' du polygone P' ; ces points d'intersection F et H' seront les homologues de I et H. Mais les polygones P etP' ayant leur rapport d'homologie égal à l'unité (n°25), puisque leurs distances polaires sont égales et de même sens, les ordonnées correspondantes comptées respectivement à partir des droites homologues III, I'H' seront égales et de môme signe. Il suffira donc, pour avoir le polygone P, de prendre piai, p â a à , p 3 a 3 respectivement égales à (J'^'j, P'ja' 2 , fi'jx'a et de même sens. Des vérifications simples peuvent d'ailleurs être

Fis. 29.

fournies parles rencontres, telles que iï, des côtés du polygone P' avec I'H' ; les côtés homologues du polygone P devront rencontrer III en des points homologues, c'est-à-dire situés avec les premiers sur une parallèle aux forces.