CHAP. IN. — PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES

lygone des vecteurs partiel au pôle, et celle qui a pour ligne d'action le dernier des deux cotés a pour vecteur le segment qui joint le pôle à l'extrémité du polygone des vecteurs partiel. Enfin, la somme des projections ou la somme des moments de ces deux résultantes est égale à la somme des projections ou à la somme des moments des forces du système partiel.

Expression graphique des conditions pour qu'an système soit en équilibre, ait une résultante ou se réduise à. un eouple.

se. Soit (S) un système quelconque de forces Ft F 2 ... F s appliquées à un corps rigide et situées dans un mêfne plan ; a\ a % a 3 a % a a le polygone des vecteurs que nous désignerons par P, et wa, a, a a a ; a- 9 un polygone funiculaire quelconque du système ; nous désignerons par Q ce dernier polygone et par p son pôle (lig. 30). Soient enfin <|/ t et ty t les deux forces auxquelles on réduit le système (S) à l'aide du polygone Q (n°31).

D'après ce qui a été dit au n° 8 sur la composition de deux forces situées dans un même plan, il ne peut se présenter que trois cas : le système (<Jm, <j/ f ) et par suite le système équivalent (S) peut être en équilibre, se réduire à un couple, ou admettre une résultante (différente de zéro).

Dans le premier cas, ^, et <]/, sont égales et directement opposées ; or, comme elles ont pour vecteurs a t p et pa 6 ,il faut que a t et a 6 coïncident, c est-à-dire que le polygone P soit fermé. Le polygone Q doit aussi être fermé: ses côtés extrêmes <oaj et otiÇ étant en effet les lignes d'action de ^, et de ^ i: doivent être sur une même droite et par conséquent sur la droite a,a 5 à laquelle on donne le nom de ligne de clôture du polygone funiculaire.

Dans le second cas, <}, et ^ doivent former un couple, et l'on voit comme ci-dessus que le polygone P est fermé ; mais le polygone funiculaire Q est ouvert, ses côtés extrêmes étant d'ailleurs parallèles.

Enfin dans le troisième cas, les forces <i, et i, se coupent ou

bien ont leurs lignes d'action parallèles ou confondues sans

être à la fois égales et de sens opposés. Par suile les points

a t et a« sont distincts, en sorte que le polygone P est ouvert.

Ces résultats se trouvent résumés dans le tableau suivant :

Equilibre P et Q fermés

Couple P fermé, Q ouvert

Résultante P ouvert \

Les conclusions relatives aux trois cas étant distinctes, les réciproques sont vraies ; de là cette triple proposition :

Etant donné un système quelconque de forces appliquées à un corps rigide et situées dans un même plan :

1° pour qitil y ait équilibre, il faut et il suffit que le polygone des vecteurs soit fermé et qiCun polygone funiculaire du système soit fermé ; auquel cas tout polygone funiculaire du système sera aussi fermé.

2° Pour qiiily ait un couple résultant, il faut et il suffit que le po*ygone des vecteurs soit fermé et quunpolygonc funiculaire du système soit ouvert ; auquel cas tous Jcs polygones funiculaires du système seront aussi ouverts.

3° Pour quil y ait une résultante, il faut et il suffit que le polygone des vecteurs soit ouvert.

SI. — Arrêtons- nous un moment sur ce dernier cas;

1° La résultante a pour vecteur la droite qui joint V origine à l'extrémité du polygone des vecteurs ; celte droite est en effet (n° 4) le vecteur de la résultante des deux forces ty t et A, et par suite du système proposé (S).

2" Tout polygone funiculaire du système (S) donne par la rencontrede ses côtés extrêmes un point de la ligne d action de la résultante ; car ce point de rencontre, étant le point de concours des forces de <{/, et i 2 , est silué sur la ligne d'action de leur résultante qui n'est autre que celle du système (S) ;

3° La projection de la résultante, sur un axe quelconque du plan, est égale à la somme des projections sur le même

i. Q peut alors être ouvert ou fermé ; il ost aisé de trouver des exemples de l'une et deTautre circonstances.