CHAP. UI. - PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES

de toutes les- force" F, F,... F s du système (S). Le moment la rémltante, par rapport à un point quelconque du i,esl égal à la somme des moments, par rapport au même •l, de toutes les forces F, F,... F 3 du système (S), Ces deres propriétés sont des conséquences immédiates des ti" 6 t 33.

8. — Ces résultats s'appliquent aux systèmes partiels (n° Ainsi, dans tout polygone funiculaire d'un système de les appliquée» à un corps rigide et situées dans un même i:

Deux côtés quelconques se coupent sur la résultante des '.es comprises entre ces côtés ;

' Cette résultante a pour vecteur ta droite qui joint loue à C extrémité de la partie du polygone des vecteurs tiee aux forces en question.

p. — Remarquons enfin, à propos des conclusions du n° 36, dam le cas des forces concourantes, le polygone funicue n'a pas à intervenir. Nous savons en effet (n" 21) que, i cette circonstance, si le polygone des vecteurs est fermé, , les polygones funiculaires du système sont fermés. Lo eau du n° 36 se réduit donc alors au suivant :

Equilibre P fermé

Résultante P ouvert.

insi, quand il s'agit de forces concourantes, deux cas créent peuvent se présenter : If système a une résulc ou est en équilibre, suivant que le polygone des vec- *.v est ouvert ou fermé.

iment on retrouve par In «italique les propriété») géométriques de** pol.vgonea funiculaire*.

». — L'avantage qu'offre, au point de rue didactique, la Rélion entre les propriétés géométriques H les propriétés méques des polygones funiculaires, est trop évident pourque layons à y insister. Toutefois on peut aussi établir les pro-

priélés géométriques par des considérations empruntées k la statique. C'ost ce que nous allons montrer brièvement en nous bornant aux deux théorèmes fondamentaux (n" 18 et 20).

I e Si dans un polygone funiculaire quelconque d'un système de forces (F if ...F« ; a t ...a w +i) on prend l'intersection m du côté de rang i et du côté de rang Â-, ce point m appartient à la ligne d'action de la résultante des forces comprises entre ces deux côtés. Cette droite qui est d'ailleurs parallèle à a<a* est donc le lieu de tous les points m relatifs aux divers polygones funiculaires du système de forces considéré. C'est le théorème du n° 20.

2° Soient P et P' deux polygones funiculaires d'un même système de forces; désignons par p elp' leurs pôles respectifs, et en général par S* le point de rencontre du côté de rang k dans le polygone P et du côté de rang k dans le polygone P' (fig. 17). Considérons la force F* et la force F'^. qui lui serait égale et directement opposée. On peut remplacer F* par deux forces ayant respectivement pour lignes d'action ou t a*, a*a*-M et pour vecteurs a*/;,/?«A +i ; on peut de même remplacer F'* par deux forces ayant pour ligne d'action a'*i aV, a'i-oc'i r+i et pour vecteurs p'a,k, ûl + i p'- Les quatre forces ainsi obtenues s'équilibrent puisqu'elles tiennent lieu de deux forces- F* et F' A . égales et directement opposées. Mais les deux forces qui ont pour vecteurs p'au et aup concourent en S* ; elles ont donc une résultante passant par S* et ayant pour vecteur p'p. De même , les deux forces ayant pour vecteur pai + 1 , «a ? + 1 p ont une résultante passant par S* + i et ayant pour vecteur pp. Ces deux résultantes doivent, pour s'équilibrer, être directement opposées ; donc les points S/, et S* + i sont sur une parallèle hpp. Ainsi tous les segments S,S f , S a S 3 , S 3 S t sont parallèles h pp\ et, comme chacun d'eux a un point commun avec le suivant, tous ces segments appartiennent a une même droite parallèle hpp'. C'est le théorème du n° 18.

Expression graphique de» moments.

41 . — On vient de voir le rôle important que jouent les polygones funiculaires dans la composition des forces situées

CHAP. III. - PK0PIUÊTÉ3 MÉCANIQUES

dans un même plan. On tire encore un très-heureux parti de ces polygones pour la détermination graphique des moments. Soit F une force donnée par sa ligne d'action et son vecteur #!#„ et C le centre des moments. A l'aide d'un pôle p, pris à volonté, construisons (fig. 31) un polygone funiculaire <oa,<p de la force F, et soient m et n les points où le premier et le second côtés de ce polygone coupent respectivement la parallèle au vecteur «iff, menée par le point C. Enfin désignons par A la projection du pôle p sur le vecteur a x a % et donnons au segment kp le nom de distance polaire .

Fig. 31.

Les triangles a l pa iJ moi i n ayant les côtés parallèles sont semblables ; leurs bases sont donc proportionnelles à leurs hauteurs, et Ton a, en grandeur et en signe :

a\a t kp

mit

— I ou a^i . CI = kp . mn

Donc, le moment dune force F par rapport à un point C est égal au produit de la distance polaire kp par le segment mn intercepté sur la parallèle menée par C à la force ¥ y entre le premier et le dernier côtés dunpolygone funiculaire de cette force.

4t. — Celle règle s'étend a la somme des moments d'un système quelconque (F,F t F 8 F i ; a^ta^a^) de forces situés dans un même plan ; k désigne alors la projection du pôle p sur la ligne de clôture a t a- du polygone des vecteurs, et c'est

DES POLYGONES ITNlCfLAI HKS

parallèlement à cette ligne a^ que doit être menée, par le centre C des moments, la droite sur laquelle ou compte le segment mn intercepté entre le premier et le dernier côtés du polygone funiculaire ox^asXi? (fig. 32).

Pour le démontrer nous distinguerons trois cas, suivant que le système de forces considéré a une résultante, est en équilibre ou se réduit à un couple.

1° Si le système a une résultante R, le polygone des vecteurs est ouvert (n° 36) ; en d'autres termes ai et a a sont distincts, la ligne de clôture a^ est bien définie et l'énoncé n'offre aucune ambiguïté. La somme des moments des forces du système sera d'ailleurs égale (n° 37) au moment de la résultante R ; mais cette résultante est parallèle à a^ et passe par le point de concours % des côtés extrêmes wxj, a ; <p du polygone funiculaire ; waç est donc un polygone funiculaire de pôle p, pour cette résultante ; par suite la somme des moments cherchée est égale au produit

kp. mn

comme nous l'avions annoncé.

Fig. 3*.

2° S'il y a équilibre, «i et a 5 coïncident (n° 36) ; la droite aia 5 est alors indéterminée ; c'est une droite quelconque passant par a x ; par suite le facteur hp peut preudre toutes les va-

»ÏL*^

a CIIAP in. — PROPRIÉTÉS mécaniques

eurs entra zéro et a\p. Maïs les côtés extrêmes m: lolygone funiculaire coïncident aussi (n° 36) ; 1 [u'ils iule recèlent sur une droite quelconque est de acteur mil étant nul, tandis que le facteur hp r< iroduit kp. uni est égal à zéro. Le théorème sen <i nous prouvons que la somme des moments doit i ;éro dans le cas d'équilibre. Or, dans ce cas, les dei •t J/, auxquelles on réduit le système proposé à l'i ygone funiculaire ont pour ligue d'action comnui le clôture %,x h de ce polygone et pour vecteurs a,p e lont donc égales et directement opposées et par suit le leurs moments, c'est-à-dire (n° 33) des moment! )roposécs, par rapport à un point quelconque d 'gale à zéro.

3" Supposons enlin que le système se réduise i lig. 33).

La somme des moments des forces proposées est m moment de ce couple (n" 33 et 8) ; mais les I Ijdcce couple ont respectivement pour vecteurs ap, jue û[ et a^ coïncident, et pour lignes d'action les c nés <oxi et % : ? du polygone funiculaire qui sont < uirallèlcs apai.Ln somme cherchée est doue égale

«i/ï. I'I . et 1' désignant les projections du point C sur ux ,

D'autre pari, puisque a { cla- coïncident, la droite a erminée; c'est une droite quelconque L passant pai n et 7i les points où la parallèle à celte droite menée :ontre respectivement uxi et «^, et soit t la proji iiir ciix i; les triangles semblables ka,p, tant donn> lorlion :

l'oil

hp.mn=a l p.nt=aip.l'l,

La somme des moments a donc encore pour kp.mn.

DKS POLYiio.NliS b'UNlCl'LAlKtS

Cette expression convient donc à tous les cas, et l'on peut «lire d'une manière générale :

FIk. 33.

Etant donné un système de forces appliquées à un corps rigide et situées dans un même plan, et étant comlmit un polygone funiculaire du système, la somme des moments de toutes ces forces par rapport à un point quelconque du plan est égale au produit de la distance polaire par le segment intercepté, sur la parallèle menée par le centre des moments à la ligne de clôture du polygone des vecteurs, entre le premier et le dernier côtés du polygone funiculaire.

11 est d'ailleurs sous-entendu que lorsque le polygone des vecteurs est fermé, on substitue à la ligne de clôture une droite menée à volonté par l'origine du polygone des vecteurs.

43. — Il est évident que le théorème s applique aux systèmes partiels, en substituant, bien entendu, au polygone des vecteurs et au polygone funiculaire du système total les parties de ces polygones qui répondent au système partiel considéré (n° 35).