PROBLEMES USUELS
coupent en un point I, et la parallèle menée par ce point à a, a 3 c'est-à-dire aux forces proposées est la ligne d'action de la résultante R.
<iT
Figure 33.
Quoique nous n'ayons en vue ici que des constructions graphiques, nous ferons cependant remarquer la facilité avec laquelle le tracé qui précède conduirait à la règle analytique
Figure 36.
connue pour la composition de deux forces parallèles. D'abord la relation
montre que la résultante R est égale* à la somme algébrique des composantes F, et F,. Puis, l'application du théorème du n° 9 aux triangles ocj I a 2 , «i p a 3 donne la proportion
Koci ^ ai
qui définit la position de la résultante.
Ô> CUAPITHK IV
47. Itemurq uons cnliu que si les forces l'i un couple c'est-à-dire étaient parallèles égale posés, le point a 3 (fig. 36) coïnciderait avec extrêmes u«i, a,ç du polygone funiculaire sei kpa t . Les deux nouvelles forces auxquelles conduit (n° 31) pour remplacer les proposée:
lignes d'action toa, et &,<o parallèles et leurs vci égaux et de signes contraires ; elles formerai un couple, comme on devait d'ailleurs s'y ail t
Nous ne saurions insister davantage sur cet pies, et nous allons passer au problème généi le véritable objet de ce chapitre.
Problème général
48. Etant donné un système de a fore un même plan et appliquées à un corps rigù de leur faire équilibre à Vaide de m forces même plan et ayant des lignes d'action dont.
Il est sous-entendu que les forces données ne sont pas elles-mêmes en équilibre, et que tion données des forces inconnues F« +[ , F -+ * des droites distinctes.
Puisque les conditions d'équilibre ne fourn relations différentes (n" 44), ou voit a priori • problème doit être indéterminé lorsque m es et que, lorsque m est égal à 2 ou k 1, la poss blême doit imposer aux données une au deux a lieu d'après cela de distinguer quatre cas, su égal à i, 2, 3 ou est plus grand que 3.
Nous allons traiter successivement ces quat nous astreignant à suivre une voie uniforme.
Nous nommerons système partie/, le System forces données Fi, F s ...., F„, et système tôt al U par lotîtes les fones connues ou inconnues F|
Nous désignerons par I 1 ', le polygone des v& ,(/„,„, i-i du système lolal et par l r r un p
PROBLEMES USl'ELS 53
laire quelconque wai, a n -Hn<p' de ce même système ; p est
le paie relatif à ce dernier polygone.
Nous représenterons enfin par P v la parlie ai, a^ , a n +i
du polygone P', qui forme le polygone des vecteurs du système
partiel, et par Pf la partie ooci, a,<p du polygone Vf qui
constitue un polygone funiculaire de ce système partiel ; a n <p n'est autre que le côté a„an-hi considéré comme droite indéfinie.
Le système partiel est donné ; P v et Pf sont donc connus, et il s'agit d'exprimer que les polygones P'„ et Vf sont l'un et l'autre fermés c'est-à-dire que a n + m +\ coïncide avec a t et que aa+,,,9' coïncide avec coai ou, ce qui revient au même, que a*+ w est sur wa^
Toutes ces notations se trouvent résumées dans le tableau suivant qui, par la disposition des lettres, rappelle d'ailleurs la situation relative des divers éléments des polvgones P„, Pf,
p -, PV-
(A) ai at a n On+\ a*+z a n + m fl ttfm+ i(ouai)
w*i a* <p a M+1 a, +w <p' (ou <oa t )
Dans le polygone V v on connaît les sommets ai, , a n +i,
ainsi que a M+m+ i qui coïncide avec aï ; les sommets encore inconnus sont donc
Mais il faut que les droites
soient respectivement parallèles aux lignes d'actions données des forces
(2') F, + i, F„hh.
Dans le polygone Vf ou connaît les sommets ai. a„,
ainsi que a n+ i (intersection de F n +i et de ct.no) et oL n +m (intersection de F» +OT et de <ax,). Les sommets encore inconnus sont donc
(3) fyi+ti •••••!? *ji4-m-lï
Mais, oulrc que ces sommets doivent être situés respectivement sur les lignes d'action de F*+g, F*.*-*-!, il faut que
les droites
OCtu-m— i *n4-m
soient respectivement parallèles aux vecteurs
Cela posé, étudions successivement chacun des quatre cas mentionnés.
Premier cas (m =4) 49. Pour iw = 1, le tableau (A) devient
Fi
F tt f-8
fii n 2
Un tfn+1
(ou aO
iùXi
(OU ttOLi)
Dans le polygone P'„ onl connaît ici tous les sommets, et de
plus a tt4 i ox doit être parallèle à la ligne d'action de F n+1 (fig. 37).
Dans le polygone P'f on connaît aussi tous les sommets, même sans utiliser la condition imposée à a R +i d'être sur <oxi. Quant aux conditions (4 — 4'), elles ne
Figure 37
donnent rien dans le cas actuel.
On peut donc construire les polygones fermés P' , P'f, sous la double condition que F„+i soit parallèle à a n +i On et passe par le point de rencontre de wxi et de ot*<p
De là ce théorème :
Pour qu'on puisse équilibrer à Vaide dune force F n +\ dont la ligne d'action est donnée, un système de forces appliquées à un corps rigide et situées dans un même plan, il faut et il suffit que la ligne d % action de la force inconnue
