PROBLÈMES USUELS 5E

soit parallèle à la droite ai an+i qui joint F origine à V extrémité du polygone des vecteurs du système donné et que cette ligne (Faction passe par le point de rencontre des côtés extrêmes d'un polygone funiculaire du même système.

Ces conditions étant remplies, la force cherchée F n+ i a pour vecteur dn+x a t .

». — Nous avons voulu donner les conditions de possibilité sous leur forme la plus générale, c'est-à-dire en faisant usage de l'un quelconque des polygones funiculaires du système. Mais on peut donner à ces conditions une forme plus simple en choisissant un polygone funiculaire Q ayant pour premier côté la ligne d'action donnée de la force inconnue F n+ i. La condition de possibilité du problème consiste alors simplement en ce que le polygone Q soit fermé.

Cette condition est évidemment nécessaire, et il suffit de prouver que si elle est remplie, les deux conditions du numéro précédent seront satisfaites. Mais si le polygone Q est fermé, la seconde des conditions du numéro qui précède se trouve remplie par là même, et il reste seulement à montrer que, si coati et oLn+i <p' coïncident avec la ligne d'action F w +i, cette ligne sera parallèle à a { a n+ i. Or les rayons polaires pat et pan+2, qui sont respectivement parallèles àcoa, età a n+1 <p', seront alors parallèles à F w+ i; les trois points p, ai, a n +2 seront donc sur une même droite parallèle à F w +i.

Deuxième cas (m = 2).

il . — Pour m = 2. le tableau (A) devient :

Fi F„ F,i^-î F,,^

'it a* 0>*-m fl«M GiM-3 (oua t )

Dans le polygone P„', le seul sommet inconnu est a n +e ; mais il faut que a n +\ <tn+* ot a\ a n +% soient respectivement parallèles aux lignes d'action F n o-i, F^M-gffig. S8\

Dans le polygone P/, tous les sommels sont connus, puisque c M -t-i est à la rencontre de a„ <j> et de F„.h, cl que oc+g est à la ■encontre de o>x t et de F n+ g. De plus, le rayon polaire pa n +2 loit être parallèle à la droite *„+i «„+• à laquelle on donne le loin de ligne de elàlure du polygone P ( .

Il résulte de là que la condition de possibilité du problème onsiste en ce que le rayon polaire pa„+i parallèle à « M +t *«+« il les droites a n + t «,,4.*, ai o n +* menées par «„+i et par ai pa- ■allfelcment à F„4i et à F„+î, doivent concourir en un même joint a n +t situé à distance finie.

Ainsi, pour qu'on puisse équilibrer, à l'aide de deux r orces F„4.i et F„+g dont les lignes d'action sont données ians un même plan, un système de forces situées dans

je plan et appliquées à un. corps rigide, il faut et H suf- 1t que le, rayon polaire parallèle à la ligne de clôture i'unpolygone funiculaire du système donné, et les parallèles •notées respectivement, par l'origine et par l'extrémité du oolygone des vecteurs de ce système, aux lignes d'action de la seconde et de la première force inconnues soient trois droites qui concourent en un même point situé à distance Unie.

Celle condition étant remplie, les forces demandées F n +i, F,i+j auront respectivement pour vecteurs a„± t «„(.*, a n +% a,.

*». — La proposition précédente se simplifie, quand, au lieu d'employer un polygone funiculaire quelconque, on fait usage d'un polygone particulier. Par exemple, si les lignes

PROBLÈMES l*SU:LS 57

d'aclion données des deux forces inconnues F H +t, F n +2 se coupent eu un point 0, à moins que certaines raisons n'aient déjà imposé ou n'imposent ultérieurement un polygone funiculaire déterminé, il est naturel de faire passer par le point le premier côté du polygone funiculaire à tracer ; la condition de possibilité du problème consiste alors en ce que le dernier coté de ce polygone funiculaire des forces données vienne aussi passer par le point 0. (Test qu'en effet, le pôle p n'étant alors astreint qu'à se trouver sur une droite donnée passant par a n pa n +\ et a n +9 a n+ 9 ont des directions distinctes, et par suite aussi les droites a» + i 7*+* et ¥ n {\ qui sont respectivement parallèles aux précédentes. Mais a»+2 coïncide ici avec ; donc, la ligne de clôture a n -f-2 a tt +i devant passer par et être distincte de Fn+i, il faut que an+i soit aussi confondu avec 0.

Tt oisième cas* (m = 3) .

M. — Pour m= 3, le tableau (A) devient :

Fl F rt F tt+ i F tt+ 9 F tt +;î

a { a* a H+i a n ±* a n +z a n ^ (ou a v )

w *i a» <p a M ^i y-H+g an+3 o' (ou coa,).

Dans le polygone P/ (fig. 39 et 40), on connaît les sommets a it a*, . . a n+i et même «„+.* qui coïncide avec 0\ ; il reste donc A connaître a^* et «,4+3 ; mais on sait que les cotés

doivent être respectivement parallèles aux lignes d'aclion

Fa-fi, F^», F„4.3.

Il résulte de là que pour achever le polygone P/, il serait nécessaire de connaître la position de la droite a n +x a n j^ que nous désignerons par L et dont on ne connaît encore que la direction qui est celle de F n +* ; celte droite L donnerait en effet a n +2 et «,,+3 par ses intersections avec la parallèle a n +izh F„f.| menée par a n +{ et avec la parallèle a\z à F w +3 menée par ai.

Dans le polygone P/, oti a d'abord ènie a n+1 (intersection de «„p et de on de M*i el de F„+ 3 ). H ne reste do immet «„ +i . Mais ce sommet doit ap[ jii donnée de F„+ï, et il doit en ouln i+i an+i, «n+t an+a soient respect lyons polaires encore inconnus pa„+i

Le problème graphique û résoudre isiTcr dans un angle donné a,za„.

ranl une direction donnée ¥ n +t et tell îctivemenl par «„+i et «„ + 3 des par >s parallèles se coupon) par la droite 1

Or, si l'on mène pu parallèle à xn+i et I les points où pu et F n +t c i+e ff„+3 et rtn+i otn+3, on voit que h ,+i an+g «,,+s satisfont aux condition i grandeur et en signe la proportion

*"»!+« Kt+3

Kn n+3 la n+l

Or, comme le dernier rapport est Ci ent an suivant : Inscrire dans un an; -oilc fl„ +î ff„f3 ayant une direction

a'unti autre droite donnée pu la part a„+t, K« n +3 dont le rapport p est do