PROBLÈMES USUELS

Ce problème étant déterminé, on voit que les polygones P' , Vf peuvent être complètement tracés, sans imposer aux données aqcune condition. Donc on peut, en général, faire équilibre aux forces données Fi, Fg, ... F n quelles qu'elles soient, et les vecteurs des forces inconnues F n +i, F„+$, F n +$ sont les segments a n +\ a n + 2 , (h+2 ««+3, tfn+3 <*% que nous savons construire, ou plutôt dont nous avons ramené la construction à une question de géométrie fort simple que nous allons d'ailleurs examiner.

Il s'agit de trouver le point K où la droite cherchée L coupe la droite fixe pu. Or, si Ton mène Kz jusqu'à sa rencontre/ avec une parallèle quelconque gh à la direction donnée de L, on aura :

th Ka n+2 t( J ~ Kan+3 P '

Donc il suffit de mener dans l'angle Z une parallèle quelconque gh à la direction donnée F w |g, de la partager dans le rapport donné p, puis de joindre le point de division t au point z ; tz coupera pu au point K, et la parallèle à F n j. s menée par K donnera les sommets a n +* et a n ^.

*4. — Cependant, le problème peut être indéterminé, vu que tz et pu peuvent se confondre (fig. 41). Alors toutes les parallèles à F n +2 sont partagées par pu dans le même rapport, et a n +% et a n +3 peuvent Être pris arbitrairement sur a { z et tf n +i^, pourvu que la droite qui les unit soit parallèle h Fn+g.

Quelles conditions doivent remplir les données pour que ce cas se présente ?

Faisons la figure dans l'hypothèse en question (fig. 39 et 41) ; soit M l'interjection de F„+i et de F n+3 , et MF la parallèle h F n+ 2 menée par M. Les triangles On+^Zn+z, a,i+i Ma n j 3 satisfont aux conditions du n° 9 ; on a donc :

I'« n + 8 Ka n -f 3 I%+i Donc F coïncide avec I, et par suite la droite IM avec F n j.«,

n CHAPITRE IV •

■n sorte que les trois forces inconnues F„+i, F„+g, F„+3 doient èlrc concourantes.

Ainsi, en résumé : Les vecteurs des trois forces inconnues ont déterminé», à moins que les lignes d'action données de ■es trois forces ne concourent en un même point, auquel cas l y a indétermination.

tki. — Lorsque m est supérieur à 3, le problème est indéterniné ; car on rentre dans le cas précédent en se donnant arbirairement les grandeurs de toutes les forces inconnues, sauf ■elles de trois d'enlre elles.

l'.quililiro des corps rigide» non libre»; réaction» de» olttttneleN.

m — Les principes qui précédent trouvent une application mmédiatc dans l'équilibre des corps gênés.

Un solide qui possède des points fixes ou qui s'appuie sur les corps lixes, n'est plus libre de se mouvoir d'une manière irbilraire. On donne le nom de réactions des points lise» ou les appuis aux forces qui tiendraient lieu de ces obstacles en iroduisant les mômes empêchements. Le solide exerce d'aileurs, a son tour, sur les obstacles, des actions qui, égales et contraires aux précédentes, reçoivent le nom de pressions. Snfin on appelle forces directement appliquées les forces exérieures, autres que les réactions.

Le problème de l'équilibre des corps gênés se compose de lo deux parties :

i" Trouver l'expression graphique des conditions que doivent emplir les forces directement appliquées au solide gêné pour 'it'il y ait équilibre.

2° Déterminer graphiquement les réactions des points fixes •u des appuis.

Il importe de connaître les réactions pour pouvoir donner iux corps et aux constructions qui les supportent des dimenions qui leur assurent une résistance suffisante.

Les solides que nous considérons ici seront supposés symériques par rapport à un plan dans lequel sont situées toutes es forces directement appliquées ; de la sorte, les points du

PRuBLKMKS L'Sl'ELS 01

corps si lues dans le plan des forces ne sauraient sortir de ce plan. Quand il s'agit ici d'un point du corps, c'est toujours d'un point situé dans le plan des forces, et lorsque nous disons qu'un corps a un point d'appui A, nous entendons que sa section par le plan des forces s'appuie au point A sur la section faite par le même plan dans l'obstacle fixe.

57. — Un point fixe peut anéantir par sa résistance tout système de forces ayant une résultante passant par ce point, et il ne peut d'ailleurs détruire que des forces remplissant ces conditions. On peut donc supposer le point fixe supprimé, k condition d'adjoindre aux forces directement appliquées au corps une force ou réaction convenable passant par ce point.

Lorsqu'un corps s'appuie sur un obstacle en un point A, toute force passant par ce point et pressant le corps sur l'obstacle peut être décomposée en deux, l'une normale, l'autre tangente à la surface de l'obstacle. La première est détruite par la résistance de l'appui, et la seconde a son plein effet, si comme nous le supposons, il n'y a pas de frottement. L'appui ne peut donc détruire que des forces ayant une résultante agissant suivant la normale en A, et Ton peut supposer l'appui supprimé, à condition d'adjoindre aux forces directement appliquées au corps une, certaine force ou réaction agissant suivant la normale en A et dirigée de l'appui vers le corps.

Il y a donc, d'après cela, une différence essentielle entre la réaction d'un point fixe et celle d'un appui ; tandis que, pour la réaction d'un appui, on connaît la ligne d'action, pour la réaction d'un point fixe, on sait seulement qu'elle doit passer par ce point. Si donc on donne le nom de réaction simple h toute réaction dont la ligne d'action est donnée, on voit que la réaction d'un appui est une réaction simple, tandis que celle d'un point fixe équivaut à deux réactions simples, qui sont ses composantes suivant deux droites choisies à volonté parmi celles qui passent par le point fixe. La réaction de tout point fixe étant ainsi remplacée par ses composantes suivant deux droites assignées, le problème de l'équilibre du corps gêné se trouve immédiatement ramené au problème du n° Ï8 que nous avons étudié avec tous les développements

ft2 CIIAPlTHE IV

qu'il comporte. Ainsi le cas d'un appui un tq les n"" i9 et 50, celui de deux appuis ou d'ur rapporte aux n" 51 et 52; le cas de trois appui 51, etc., On peut donc considérer actuellement i la recherche des conditions d'équilibre d'un des réaction» des obstacles, et il ne nous reste ce sujet, qu'à ajouter quelques brèves observai

S*. — Et d'abord quand, dans te problème gt les forces inconnues sont des réactions, os co lement leurs lignes d'action (n* 57), mais enc* la réaction doit être dirigée de l'appui vers le c donc quand on aura trouvé, comme nous l'av à 85), les vecteurs des réactions, vérifier si ce le sens voulu.

«!». — Il résulte du n" 31 que les réactions s minées :

1* Dans le cas où, le corps ayant un "point fi: la normale à l'appui passe par le point fixe.

2° Dans le cas où, le corps reposant sur tr normales aux trois appuis concourent en un iï sont parallèles)

Il est vrai que, dans la nature, les pressions e: corps aux différents points de contact avec les nécessairement déterminées dans tous les cas ; i rien de paradoxal. Nos raisonnements et par su sions ne concernent pas les corps naturels qui ou moins élastiques ; ils se rapportent umqueme rigides, et par conséquent purement liypothétîqu< corps fictifs, qu'on introduit dans la science à s cililcr la voie, 1rs réactions dans les deux cas citt ment indéterminées. Ce qui serait vraiment serait qu'on pût, en général, trouver les réacti corps élastiques et dilatables, sans faire inlcrver de lu chaleur cl de l'élasticité.

«». — Les réactions d'un corps rigide sont e

PUoHLKMKS I SI KL:

minées lorsque ie corps repose sur quatre appuis ou renferme deux points fixes, car alors le nombre des incoBBues étant égal à 4 on rentre dans le ca» du h» 55.

Toutefois le cas de deux points fixes Ot et O g doit nous arrêter un instant.

Soient Hi et Yi les composantes de la réaction du point t suivant la droite OiO*X et suivant la perpendiculaire élevée au point Oi sur cette droite ; soient de même H 2 et Vg les composantes de la réaction du point Oo suivant t 0«X et suivant la perpendiculaire O^Y; soient enfin FiF*. ...F n les autres forces directement appliquées au corps. Fj, F$,....F n sont données et les inconnues sont H*,Hi,V|,Vt(fig. *2). Le tableau (À) devient ici

F n H 2 Hi Vi V*

an 0,,+ 1 a n +% a n + 3 a n +t a n +s (ou a { )

,1+1 a n +2 a n+3 a n+4 w' (ou wa,)

Dans le polygone Y v on connaît d'abord les sommets ai... a w +t et le sommet a n +5 qui coincide avec a t ; on sait de plus que a n -\2 est sur la parallèle à o t o È menée par a n +i, que On+4 est sur la parallèle à o,y menée par a,, et enfin que 0^+3 est le point commun à ces deux droites. Il n'y a donc d'inconnue que la position de a w +2 sur a n +i a n +* et celle de a n +4 sur a n j^ a v .

y Hl^

iL il.

Fig. £>.

Dans le polygone P/, on peut avoir actuellement tous les sommets, mais an+i et & n +2 sont confondus en un même

il CllAriTOE IV

point de OjO.X ; le rayon polaire pa„.

x«+s x*:+t) csl donc déterminé et par suil mais le rayon polaire pa^t, devant êtn x (i +t a„ + ! qui joint deux points confon' et par suite aussi le point a„+% sur a„+\ vecteurs de V, cl \, sont bien dél !(h+3 n«+ii a,t+i <t, ; quant aux vecleu somme seule a,,+\ a,,+a est déterminée, la position de a„+s sur a n+l o„+a-

Ainsi dans le cas de deux points fixes wtion des réactions ne porte pas sur tes Hculaires à O, 0„ mais seulement sur te, cette droite, composantes dont la somme

Courbes funiculaires d'un système de forées

réparties.

Oi. — Au lieu de forces finies et isolées, on a souvent à considérer des forces infiniment petites, situées dans un même plan, et se succédant d'une manière continue le long d'une ligne donnée de ce plan. Voici ce qu'il faut entendre par là :

Désignons par (A) une ligne plane rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox et Qy (fig.43). Ai étant un point choisi à volonté sur cette courbe, désignons par s Yabscisse curviligne d'un point quelconque A m de ladite courbe, c'est-àdire la valeur algébrique (positive ou négative) de l'arc AiA m . Supposons que sur chaque élément infiniment petit (/5=A m A m 4.1 de la ligne (A) s'exerce une force infiniment petite F, située dans le plan xoy, et dont les composantes parallèles à ox et à oy aient pour expression :

/ (s) ds y 9 (s) ds y

/ (5) et 9 (5) étant des fonctions données. Nous aurons ainsi un système (S) de forces infiniment petites et se succédant d'une manière continue le long de la courbe (A); c'est ce qu'on nomme un système de forces réparties ayant (A) pour directrice. Tel est par exemple le système formé par les actions de la pesanteur sur les éléments d'un fil attaché à ses deux extrémités.

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