C.hS

CHÀPtTKE V

». — Que deviennent pour un tel sy eurset les polygones funiculaires?

Dur le voir, nous supposerons d'ab divisé en parties finies, mais tr

i»i+[, ... A„A„+i, cl qu'en un poin iions, telle que A,„ A m +i, s'exerce i posantes parallèles à ox et à oij aien ession :

/(A,A m )A fn A HI+1 , i système des forces F,, F,,

. F„a gonc des vecteurs ai a, ... a n+ ,ci ui ... a„<p qui seront bien déterminé ié les points de départ ai et a> des à g pôle 0. La question posée ci-des deviennent ces deux polygones, Ion Is a u et w. on augmente indéfinim as de la ligne (A), de telle sorte que zéro.

Figure *3 msidéronsd'abord le polygone des v

quelconque do ses sommets, la droite a x a m est le vecteur de la résultante R m des forces Fi, F,,... F m i qui agissent sur Tare ÀtA m . Donc, si laissant fixe le point A m que nous désignerons par M (fig. 44), on fait tendre vers zéro les divisions de la courbe (A), le point a m aura pour limite l'extrémité m du vecleur a\m de la résultante p, des forces infiniment petites qui s'exercent sur Tare AiM=s. Le lieu des points m obtenus de la sorte, en faisant varier s, sera une ligne {a) bien

Figure 44.

déterminée vers laquelle tendra le polygone des vecteurs considéré ; nous lui donnerons le nom de ligne des vecteurs du système (s) des forces réparties.

Passons au polygone funiculaire. Les côtés coai, a m -i a w , (fig. 43), qui sont respectivement parallèles aux rayons polai-' res Odi et Oa m se croisent, comme on sait, sur la droite R m ; le sommet a m est donc l'intersection de ¥ m et de la parallèle au rayon polaire Oa, n menée par le point b où R, H rencontre <oa t . Mais le côléa, n i a m du' polygone des vecteurs ayant pour limite la tangente mt (fig. 44), la ligne d'aciion F m a pour limite la parallèle MO menée par M à celte tangente mt. Donc, le sommet a m a pour limite le point y. intersection de MO et de la parallèle [*p au rayon polaire Om menée par le point (1 où <*><x rencontre la résultante p*. Le lieu des points (x obtenus de la sorte, en faisant varier s, sera une ligna (a) bien déterminée vers laquelle tendra le polygone funiculaire considéré lorque les divisions de la courbe (A) tendront vers zéro. On donne à celte ligne (a) le nom de courbe funiculaire

du système (s) des forces réparties ; c'est, nous pour bien fixer les idées, le lieu du point y, d de MO et de pp, MO étant la parallèle à mt men trémité M de l'arc AiM = s, et [ï|i étant la par menée par le point commun au* et à la résulii

•s. — Il importe d'observer que la tangent courbe funiculaire («) est la droite Pp.

En effet, soit j/ le point du lieu {%) qui répoix tangente en (t, c'est-à-dire- la limite de ^u.', iorsqi restant fixe, M' tend vers M (lig. 44), sera aussi a»i «m+i ; mais, a m oc m -H étant constamment pan sa limite est parallèle à Om ; la tangente en pesl lèleàOm menée par p, c'est-à-dire précisément 1

Propriété fondamentale des courbe» fui

ai- — Voici un théorème qui facilite singulière] des courbes funiculaires (fig. 45) :

Si ton décompose la directrice (A) d'un sy.

forces réparties en portions A, A„ A, A„... fii qu'on sache trouver les résultantes Ri, R a ... des niment petites qui s'exercent sur chacune de < et, si Ion construit le polygone P, ou ai aj... dei tm polygone funiculaire Pr ou waut,... de ces rés R,...;

1* La courbe des vecteurs (a) du système (s), origine a„ est circonscrite au polygone P„;

2 e La courbe funiculaire (a) du système (s), . a et a pour pôle le pâle du polygone Vf, est h ce polygone funiculaire P > ;

3" ies pomte de contact de la courbe (a) « (i>*„ ot, a,,--- ^ w polygone P r sont situés respectx les droites A t ^ lt A,(i (1 ... menées par les points de la directrice (A) parallèlement aux tang.

courbe des vecteurs (a) aux points ai , a,,... dé qui sont les sommets du polygone Pr.

COCRBES FUNICULAIRES

Pour fixer les idées, supposons que Ton décompose Tare de la directrice en quatre parties X t À 2 , A, A„ A 3 A ; , A 4 A B

(fi* 45).

Puisque les côtés a x a â , a % a 8 , a s a-, a % a 5 sont les vecteurs des résultantes partielles Ri, R 2 , R s , R., les droites a t a iy a x a„ a, a t , a x a 5 seront les vecteurs des forces

R„ Res^R,), Res (R„R 8 ,R 3 ), Res (R t ,R„R 3 , R<)

c'est-à-dire des résultantes des forces infiniment petites qui s'exercent sur les arcs

AjAj, AjA 3 , A,A ; AiA B

Donc, d'après la définition même de la courbe des vecteurs (à), les points a,, a», a 3 , a 4 , a fi seront situés sur cette ligne ; ce qui démontre la première partie de l'énoncé.

Pour prouver la seconde et la troisième parties, considérons,

Fig. 45.

par exemple, le point j/. 3 où le côtéot 8 <Xj est coupé par la parallèle A 8 (A 3 à la tangente a z t z ; il faut faire voir que la courbe funiculaire (a) passe par »/. 3 et y a pour tangente le côté a 2 a 3 . Or, appelons p, l'intersection de o«, et de a 2 a s ; ce point p t

jariient à la résultante de R, cl de R„ tante de toutes les forces infiniment il sur l'arc A,A 3 . D'ailleurs pi«,K, est laire Oûj ; donc (n»' 62 ot 63) le point fi, t ) et celle ligne a pour tangente en ce ]

B5- — Il est presque inutile de faire rer.

; propriétés des polygones funiculaires s ur les courbes funiculaires ; il suffit de onces aux côtés du polygone des vecleui niculaires les tangentes à la courbe des v« s funiculaires.

C'a» de* forée* parallèl

M. — Le cas usuel est celui où les fo .ralléles ; pour faciliter le langage, nous 1 ^ales, bien que ce que nous allons dire e 9 forces aient une direction commune d't Voici comment se pose alors le problèn Prenons pour diroclricc (A) une borizor i plan des forces (fig. 46).

Sur chaque élément MN=flîrde la din le force verticale et égale pdx y p étant u j l'abscisse AM =x du point M.

Au point M, menons une verticale MM', , où celle ligne rencontre une droite lix.

je AiB, du plan des forces, portons un seg lieu du point M', extrémité de ce segme spie bien définie A Mil' que Ton nomn a force pdx qui agil sur l'élément MN on :