MN.M,M
i voil que la charge sur ecl élément < lire MiM'N'Mi ; c'est une force verticale ipliquée au centre de gravité de ce Iraj
sur une position finie AM de la directrice sera p l'aire A,A'M'M|, et appliquée au centre de graaire ; en particulier, la charge totale sera ro- 'aire A.A'B'B,.
yons comment on construira, d'après nos prînes vecteurs (a) et une courbe funiculaire («) do iharges.
vecteurs (a) est une droite verticale; a, étant à volonté pour origine, on aura le point m t un point quelconque M de la directrice AB, a verticale du point a, un segment am reprége sur AM, c'est-à-dire un segment contenant de longueur que la charge A,A'M'M, contient d'unités d'aire.
Pour construire le point correspondant u de la courbe funiculaire' (x), on commencera par prendre arbitrairement un pôle et une parallèle quelconque ui, au rayon polaire On,. La résultante lUdes forces agissant sur AM —x sera égale à
n et dirigée suivant la verticale du centre de \ A'M'M, ; pétantl'intersectiondesdroilesRje ra %\k parallèle à Om jusqu'à sa rencontre [/ le MM', qui représente ici la parallèle à la ta ligne des vecteurs. D'ailleurs, la tangente e ) sera la droite Pji.
•V. — Le tracé qui précède est celui qui rés nent de la définition de ta courbe funiculaire lis le théorème du numéro C4 fournit un mmode au point de vue graphique. Voici ei Ho (8g. 47) :
On divisera ATÏ en plusieurs parties égates oi emplc en quatre. Les ordonnées 11', 22', 33'
Fig. 47,
vision 1, 2, 3, diviseront la surface des char iatre parties dont on déterminera les aires a le les centres de gravité Gi,G„G„G ( . Dans la ons pris pour base de la surface des charge oite quelconque A,B, comme dans la fig. 46, B elle-même, et nous avons placé la surface d •ssus de AB et non au-dessous. Cette ilisposi rt usuelle, n'influe en rien sur In généralité i
tion. On portera sur une verticale des segments successifs a 1 ^,, a^a^dta^ a>a s mesurés par les mêmes nombres que les aires partielles <s l9 <r s , <r 8 , <j t ; a { a z sera le polygone des vecteurs (a).
Après avoir choisi un pôle iz à volonté, ou construira un polygone funiculaire ci>a l a J tt 8 a 4 'p des forces qui ont respectivement pour vecteurs a { a ly a t a z , a 3 a^ a k a h et pour lignes d'action les verticales des points G lt G 2 , G„ G 4 . On prolongera les verticales séparatrices AA', H', 22', 33\ BB' de la surface des charges jusqu'à leurs rencontres & , i lt \, 8„ S 4 avec les côtés iùtti^cL^ a,a s , a 8 a 4 , <x 4 <p, du polygone funiculaire. Enfin on tracera une courbe touchant ces côtés aux points & S,, K S 3> S; ; cette courbe sera la réalisation d'autant plus exacte d'une courbe funiculaire qu'on aura divisé la directrice AB en un plus grand nombre de parties.
En faisant varier la position du pôle 7? et celle du point S, où le premier côté uai rencontre la verticale AA', on peut obtenif de la sorte, pour une même surface des charges et pour un même mode de division de cette surface, une infinité de polygones funiculaires auxiliaires <i)a t a*a 3 x 4 <p, et par suite une infinité de courbes funiculaires S^S^S;.
Un problème usuel consiste à tracer celle de ces courbes qui répond à une distance polaire donnée 8 et qui coupe respectivement la verticale AA' et BB' en deux points donnés 8, et 8 4 . On construira d'après le procédé du n° 30, le polygone funiculaire qui remplit les trois conditions prescrites ; la courbe demandée touchera les côlés de ce polygone aux points où ils sont rencontrés par les verticales séparatrices AA', H', 22', 33', BB'.
On peut aussi, au lieu d'employer la théorie des figures homologiques, appliquer au cas particulier qui nous occupe la solution générale du n° 29. Voici à quoi elle se réduit ici : après avoir tracé un polygone funiculaire d'essai, à l'aide d'un pôle placé à la distance donnée, on mènera par ce pôle la parallèle à la droite qui joint les points où le premier et le dernier côté du polygone d'essai rencontrent AA' et BB' ; par le point où celte parallèle rencontre a k a^ on mènera la parallèle h la ligne qui joint les deux points donnés &„, $<> et enfin on
placera ie pôle, sur celte pai a t a 5 .
Il n'y a plus rien à ajouter t point de vue graphique ; mais :
de vue analytique. Il est, en el l'équation des lignes funiculai rallèles réparties.
Équation de la et
•s. — Reportons-nous à la des x la directrice AB et pour A, le sens positif des abscisses droite, et le sens positif des 01 formément à nos conventions.
Soient x cl y les coordo celles d'un point quelconque a donne la fonction qui exprin Il est commode, et d'ailleurs t cette fonction p par la dérivée qui s'annule, ainsi que sa déri la sorte, la charge sur la pai A,A'M'M,'aura pour expression
Cela posé, désignons par 8 en grandeur el en signe, c'est-à extrémité le pâle et pour orig sur la ligne des vecteurs ai b ; points et m est 8. Quant à !
mêmes points, elle est égale à
q désignant la différence «,E ei a,. Le coefficient angulaire de 1
C0UBBE5 FUNICULAIRES
igentejlu. à la ligne funiculaire (a) au point y. Om, l'équation différentielle de la ligne (a)
, par intégration, l'équation en termes finis :
-. l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée gne funiculaire rencontre ia verticale du point celte équation renferme, comme cela devait antes arbitraires :
ation géométrique est bien définie. On- pourra constantes de manière à faire passer la courbe donnés.
u de passer de l'équation (1) à l'équation en peut, pardifférentialion,en déduire l'équation second ordre :
^y = P dafl t'
lile plus tard.
i particulièrement intéressant est celui où la orme, c'est-à dire où le coefficient p, au lieu ion de x, est une constante, harges A'B' est alors une droite parallèle à la
an a f{x)=px et par suite l'équation (2) de-
y=g, +sLx— - pxA.
oie dont les diamètres sont verticaux.
..'ordonnée du point a où la courbe nt A est y, ; en désignant la longue;
it successivement x = l et x = - , <
points fl et y où la courbe rencontre ;elle du milieu de AB, c'est-à-dire allèles à otfi. Le problème sera donc
arc rfc parabole ayp, connaUsint d( l $dela courbe et le point y où cetti ire conjugué de la corde a(J (fig. 48) je moyen le plus simple d'obtenir ; idra ainsi que les tangentes en ce te propriété bien connue de la par
allèle à Taxe compris entre le poin génies et la corde de contact est itn p gente en ce point est parallèle à ta c< l'après cela, en prolongeant ly d'uni -même, on aura les tangentes ke a tangente en y sera la parallèle yS fï on mène la parallèle à l'axe jusqu le milieu y. de SK sera un nouveau ingénie en ce point sera la parallèle tinucra, en opérant aux points i et point S ; et ainsi de suite,
procédé également très recommandai) le consiste oi d'un polygone funiculaire, comme nous l'avons i n* 67. Du reste, en y regardant de près, on voit ix procédés ne différent guère qu'en apparence ; on ûvement dans le premier ce qu'on fait simultais le second.
cette parabole funiculaire relative a une charge intervient souvent en statique graphique, nous Dre indiquer le moyen de déduire des données
éléments fondamentaux (axe, paramètre, sommet, îlricc, etc.) de celte parabole (fig. 49).
l'axe inconnu, &N et pN' les normales en a et fi, 1' ijections de a el do p sur l'axe, enfin Q la projection *. On aura, puisque la sous-normale est constante,
el par suite Qf} = NN'; la figure NN'pQ sera rallélogramme ; par suile QN esl parallèle à pN',
perpendiculaire a la tangente 6p. De là cette règle :
pris yô = Iy, et tiré les tangentes 8a el 6p, menez maie et la perpendiculaire à la direction de l'axe ; sur cette perpendiculaire, et du point Q ainsi obtenu
COUHBES FUNICULAIRES *9
ine charge uniforme, en a f (x) =p = constante,
se réduit à
de deux facteurs positifs dont la somme est ut maximum, d'après un théorème bien ■s deux facteurs sont égaux, c'est-à-dire pour
iée maximum de la parabole, comptée à partir
ure, est donc située sur la verticale du milieu expression
.téressant est celui où la charge, au lieu d'être coefficient
anle.
devient
«ssX+j/»
c'est-à-dii'C en comptant les abscisses a AB,
,0) y =ot(?- x *)( s 5
Un coup d'œil jeté sur le second men
que X varie de — - / à + - /, Y devient i
Donc, l'ordonnée maximum de la ligne f milieu de la directrice AB et a pour expr
<t.2.3.4)< <tK>
BAP1TRE VI
ien« et bypothè»e».
général, le nom de poutre droite à [ont les dimensions transversales sont i sa longueur.
i outre, que ce prisme ait un plan de arêtes.
Fig. 50.
)Y deux ases rectangulaires, G» et fi, l, et (G) une aire plane ayant un axe L les dimensions sont très petites par G„ G, ; la poutre considérée sera le re (G) se mouvant de telle sorte que i décrive la droite G„ G,, que son plan ile et que son axe de symétrie reste
La droite G„ G G, prend le nom de donne en général le nom de fibre à la li parallèle à OX, qu'engendre, dans le m un point quelconque M de cette surfact infiniment petit ? de cette aire décrit position du point M dans le plan de la leurs définie par les coordonnées GN port à l'axe de symétrie GL et à la perp de symétrie XOY.
Si des forces, situées dans le plan ) certaines limites, viennent à exercer lei ce corps subira une légère déformatior symétrie, la fibre moyenne ne sortira l'on admet que, dans le passage de l'ét; à son état final, toute section transvet section dont le plan était primitive™ moyenne, se déplace comme si elle normale à la fibre moyenne déforme son centre de gravité.
ttaceeurei alternent relatif
**- — De cette hypothèse, que l'es suite immédiatement une expression r< cissement relatif d'un élément de fibre tribuons d'ailleurs ici au mot raccourci absolu, mais le sens de variation de lo raccourcissement négatif représente un
Soient g, m, n les points où la sertie niment voisine de (G) rencontre resp naturel, la fibre moyenne G„ G G,, la fil et la projection N„ N N, de cette demi' métrie (fig. 50).
Désignons par rfX ta valeur commi (ig. Mm, N», et convenons de représeni qu'a prise, après la déformation, un \ poutre, par la lettre même qui désigna
ît cette lettre d'un accent ; on aura dès ■ les raccourcissements relatifs des élé-
G s Gi y
libre moyenae et de la fibre quelconque
dX
oy - mw
t de rencontre de G' N' el de y' n', et dédf les angles que font avec OX les tani fibre moyenne déformée. En vertu des ur le mode de déformation, les droites laies à G'„ G', et égales à u, tandis que lerpendiculaires au plan XOY et égales
= K'C.<^ , G'ff'—G'C.df
- M' m' = C N' rftp — wrfç
■ nous avions en vue et qui permet de ement relatif d'un élément de libre quelîait la déformation de la libre moyenne.
Slg
lé,
uni lire Ion P' G) infi a fi
