E DROITE SUR DEUX APPUIS : CHARGE MOBILE

la ligne de clôture el la parallèle Ov à AB délermiréaclions R =va, K—bv. Dès lors Y désignant de la ligne brisée AaB qui répond à une abscisse e x, le moment fléchissant dans la section dont x ise aurait pour valeur S.Y, <ï étant la distance pojuant à l'effort tranchant, il serait Cgal & va de A en lire pour x < AI, puis égal kvb de Ien B, c'est-à-dire npris entre AI et AB.

ma maintenant que la force F s'exerce surla poutre ient, c'est-à-dire par l'intermédiaire du longeron s entretoises E,E, E',E'. L'action de F sur ia poutre lors à l'action des deux charges directes F, et F, apune en E, l'autre E' cl que l'on obtiendrait en dé- .F en deux forces parallèles ayant les verticales EF,, lignes d'action. Mais il n'est pas nécessaire A'effeclécomposilion, il suffît de la concevoir, ns par c le point qui déterminerait sur ab les et cb des deux composantes F, et F„ et, cherchons ■e le polygone funiculaire des forces Fi et F, en prépaie et pour premier coté le point el la droite Ai oyées dans l'alinéa qui précède. On arrêterait ce Hé à son point de rencontre g avec EF| ; on ménee ti parallèle à Oc el on conduirait enfin par t la 06. Mais puisque la force F équivaut au système orces F! et F,, le dernier côte" ainsi obtenu du polyïulaire devrait (n° 34) coïncider avec *B. Donc, il esoin de connaître c pour construire le polygone fu- Am'B des forces F, et F„ il suffit de joindre les % où les côtés A<x, «B du polygone funiculaire re- ■encontrent les verticales EF,, E'F, ; c'est, au conla connaissance de ce polygone qu'on déduirait c, en : parallèle à u.

t de clôture de ce polygone Au'B est encore AB et, les réactions sur les appuis ont, comme dans le cas pour vecteurs va el bv.

ux moments fléchissants, en désignant pari/ l'ordonligne polygonale Att'B qui répond à l'abscisse x, on moment fléchissant dans la section dont x est l'absaleur %-y-

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ETERMINAïlON DES FORCES INTERIEURES 475

Cela posé, voici l'énoncé du problème à résoudre : ne articulé étant en équilibre sous faction de forces situées dans son plan et appliquées à ses nœuds, déforces intérieures, c'est-à-dire la tension ou la cornchaque barre du système.

jue graphique fournit pour cet objet deux niécipales, la méthode des sections et la méthode des nous exposerons successivement, en donnant un 'Usant d'exemples à l'appui. Nous terminerons par des conditions que doit remplir un système arliue le problème énoncé puisse être résolu par la de, sans l'intervention de la théorie de l'élasticité.

rlneipe de la méthode des seetiouN.

Imaginons, à travers la charpente, une section S [uelconque, recliligne ou curviligne, mais qui ne

aucun nœud et no coupant une même barre qu'une npose celte charpente en deux parties (U) et {V) s d'attaches l'une avec l'autre.

: (U), considérée toute seule, sera en équilibre sous : i° des forces extérieures (charges et réactions)

qui agissent sur ses nœuds ; 2" des actions que la exerçait, avant d'être détachée, sur la partie (U),

des tensions ou compressions/ 1 ,, f„ /",... des barres r la section S.

exprimant cet équilibre que l'on déterminera ces

îeures ou élastiques /"„ /„ f t ..,.

t principe de la méthode des sections.

en œuvre diffère suivant la manière d'exprimer cet

de là deux procédés distincts, celui de Culmann et

Lier, que nous allons développer.

i, nous ferons auparavant deux observations im-

Nous laisserons toujours au mot barre son sens roitc limitée. Ainsi, quand nous disons qu'une sec-

ilés

qu

In

le.

Ire /., orc la r 3 ( (V) les s'< F,

DES FuttCKS [NTIiUli:i;ili;S 1Î7

es forces donne la valeur do leur réla ligne d'action csl ensuite fourni

st en défaut si la section S coupe i décomposition d'une force R suis est un problème que la statique

■édé permette la détermination des s les barres d'un système articulé, il ic trouver, pour chaque barre, une me en deux parties, et ne rançones que celle que l'on considère.

eptionnellement déterminer par le élastique d'une barre C, lorsque la te barre C, un nombre quelconque , pourvu que les droites A, B, D,...

oint y- En désignant toujours par R téricurcs agissant sur la partie (U), x forces ç g et <p suivant la droite C et Y l'intersection p de R et de C ; la sera égale et contraire à la force htc C.

des moments que les forces élastiques de ces deux barres ; il reste donc dans cette relation unique, avec la force élastique de la barre C, les forces élastiques inconnues d'une ou plusieurs barres.

Toutefois, ici encore, on peut exceptionnellement obtenir la force élastique de la barre C, lors même que la section S coupe plus de deux autres barres, à la condition que les droites qui portent ces barres en nombre quelconque aillent concourir en un même point y; en choisissant ce point Y pour centre des moments, toutes les forces élastiques disparaissent de l'équation des moments sauf la force élastique f 6 de la barre C, qui se trouve dès lors déterminée.

tôt*. — Mais le procédé de Hitler échappe aussi dans une autre circonstance.

La section S ne rencontrant, outre la barre C, que deux barres A et B, il peut arriver que les droites A et D soient parallèles ; alors le"point y par rapport auquel on prenait les moments disparait à l'infini, et la méthode ne s'applique plus, quoique la force élastique relative à la barre Csoit bien déterminée. On l'obtient en revenant au procédé Gulmaun, dont l'application ne rencontre aucune entrave. On opérera donc ici de la manière suivante :

En désignant toujours par pie point où la droite C rencontre la résultante R dos forces extérieures appliquées aux nœuds de la partie (U), on décomposera R en deux forces, l'une suivant la droite C, l'autre suivant la parallèle menée par p aux droites A et B. La première composante, prise en sens contraire, sera la tension ou la compression de la barre C.

Application aui poutres eu treillis simple.

ISO. — La méthode des moments statiques est surtout avantageuse lorsque les charges et les réactions sont verticales, ce qui est le cas ordinaire de la pratique.

Nous allons l'appliquer à la poutre en treillis simple posée sur deux appuis A et B de même niveau (fig. 79, I).

Voici en quoi consiste cette poutre à laquelle on donne aussi le nom de poutre Warren.

Deux barres articulées supérieure S, Sj S 3 qui c lées (en général n-f- 1) foi qui est aussi horizontale, unies aux articulations il sage ou de treillis, altern dans l'autre. Dans notre barres des membrures éf de remplissage inclinées ?i

Les nœuds supérieurs !

désignons par F,, F,, F 3 c nous supposons égales ei forces extérieures, les réf AetB.

Ici ces réactions sont é' cune d'elles équivaut à la F„ F 8 . Mais, d'une manier du polygone des vecteurs rallèlc t:V menée par le pi vecteurs Va, et o v V des ri

Au Heu de nous donnet diatement V au milieu de laie du point V, à une dis ble de la hauteur h' de la

Nous avons en outre l », n ', », n' a a ( des efforts t

Cela posé, pour cherche diverses bancs de la pou reclilignes verticales Z,, 2 jamais plus de trois barre

Los barres portent les el H ; nous allons considt

1° les barres de la mem numéros doublement pair

2" les barres de la mem numéros simplement pain

3" les barres de treillis :

impairs 1,3, S, 7,9, 11.

ON DES FORCES l.NTKKIEUîGS 181

> la barre 4 ; pour cela, faisons une secncoulrc les bancs i, 3 et 2 et prenons >rt au poinl I, où concoure ni 2 et 3.

[>ur la force élastique/", :

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sau lia (U

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le r

Pour la barre 6, qui est seule de sou espèce, nous ferons une section verticale Z â coupant les trois barres G, 5, 4, et nous prendrons pour centre des moments le point S* où concourent 5 et 4. Nous aurons ainsi

OU

c'est encore une tension.

Ainsi, chaque barre de la membrure inférieure est tendue, et sa tension est représentée par le double de V ordonnée du polygone funiculaire qui passe par le nœud opposé de la membrure supérieure. Cette force élastique est donc minima près des appuis et maxima au milieu de la poutre.

f 69. — Arrivons enfin aux barres de treillis, soit d'abord la barre 3 ; nous emploierons la section Z, ; elle coupe, outre la barre 3, les deux barres parallèles 2 et 4. On est donc ici dans le cas d'exception signalé au n° 159, et il faut employer le procédé de Culmann, c'est-à-dire prendre la résultante de la réaction R et de F 4 , la décomposer suivant la direction du côté 3 et suivant la direction horizontale des côtés 2 et 4 ; la première de ces composantes, changée de sens, sera la force intérieure demandée.

Or, la résultante des forces R et F t qui s'exercent sur la partie (U), c'est-à-dire à gauche de la section Z,, a le même vecteur que l'effort tranchant correspondant à Z, ; ce vecteur est l'ordonnée de l'horizontale n\?i t et, par conséquent, en particulier l'ordonnée un dont le prolongement passerait par le nœud I,. Menons uk parallèle à la barre considérée 3 ; le triangle unk a pour cotés le vecteur un de la résultante et des parallèles aux directions des composantes ; ces composantes ont donc pour vecteurs uk et kn, et c'est uk qui représente la composante suivant la barre 3 ; par suite, ku est le vecteur de la force élastique relative à cette barre, et comme cette force tire vers la région (V), c'est une tension.

Pour la barre 5 ( on prendrait la rait d'une manière analogue ; la ce iik' et, par suite, lia est la valeur ci à la barre 5 ; cette force pousse ve moi*.

Par symétrie, on voit que la Lan sîon que la barre 5 et que la barre*!

la barre 3.

Il ne reste à considérer que les même que la barre 1, puisque, e deux barres subissent les mêmes cl il suffit de décomposer la réaction en deux forces, l'une suivant la dr rizonlale ; la première composant:

suite, ~k\J est le vecteur de la force i ; celte force pousse vers (U), c'es

En résumé, pour les barres de tr et sa symétrique par rapport à la i comprimées (ou tendues) suivant a barres font partie vont se croiser ai la poutre. De plus, en appelant^»

point où elle rencontre la membru force élastique relative à une barre en valeur absolue par la longueur t limitée au diagramme des efforts pied de l'ordonnée de ce diagrat.

du pied de la barre. Ainsi, pour les sont en I,, il faut prendre la longi à 3 et à 5 menées par le pied »

gramme des efforts tranchants qu du point I,. Enfin, ces forces éli des culées et mi ni ma au milieu d<

Pour permettre au lecteur d'em d'u'il sur la ligure, le sens de ces que les barres comprimées d'un II tendues.

■•*. — La poutre II de la ligui

i simple ; elle a même hauteur que la précédente; is de treillis sont alternativement verticales et '. Celles qui sont verticales reçoivent le nom de les qui sont inclinées sont appelées conlrefickes. I n'est en quelque sorte que la poutre II ren-

supposé que les poutres II et III portaient les s F,,Fi,F„qtie la poutre 1, afin de nous servir du 1e des vecteurs et des mêmes diagrammes des lissants et des efforts tranchants. Seulement panneaux sont deux fois plus nombreux que : I, les articulations de la membrure supérieure chargées que de deux en deux.

;st absolument la même qu'aux n" 161, 162 et les détails dans lesquels nous sommes entres, la forces élastiques relatives aux barres des memcontrefiches ne saurait arrêter le lecteur. Les enl seuls quelques mots d'explication.

i, par exemple, le poinçon 3 de la poutre II. On que la barre correspondante 3 de la poutre I à peu autour de S, de manière à prendre la poe ; dans ses positions successives cette barre tendue, et sa tension, d'abord représentée par prend pour vecteur È,'u quand la barre devient et enfin a pour vecteur nu lorsque la barre est de.

la poutre II, le poinçon 3 est tendu et sa tension leur absolue à l'effort tranchant correspondant ■licalc.

lieu de recourir à la méthode des limites, traides poinçons directement.

., par exemple, le poinçon 15 de la poutre III, et :tion Zj ayant la forme d'une ligne brisée dont les s soient verticaux et dont le côté intermédiaire .ux contre fiel H' s 13 et 17. Cette section coupe les , 15 et 16. Les forces extérieures agissant sur la (U) de la charpente sont R. F, et F, ; leur résul- ■eclcur V<r 3 , et il faut la décomposer en deux

180 CHAPI'.

forces, l'une suivant la droite 1! horizontale ; comme colle résul santé horizontale est nulle, et s çon 13 est celte résultante elle contraire, on a la force élasliq déré ; le vecteur de celte force i c'est donc ici une compression.

En résumé dans les poutres 1 I, la membrure supérieure est a Heure est tendue. Dans la pouf, et les contrefiches comprimées ; III. Dans les deus cas les force:

cous, sont égales en valeur obsoi respondants.

Priucipe de la nié

1*5. — Remarquons d'aborc concourantes F,..., F„,, F„,, ] connaît les lignes d'aclion et F a j, ainsi que les lignes d'octi trouver les vecteurs de ces doui

Il suffit, on effet, d'exprimer q toutes les forces est fermé. On c vecteurs a, a,...a n -, desforcesc puis on mènera par a», une pi F„.i et par a, une parallèle à la le point do rencontre do ces < mandés seront a B i «»el a H a,.

Or, dans le système arlicul lérieures (charges nu réaction; quelconque; si, en outre, on ci si h ns pour Imites les barres qi ceplé pour deux d'entre elles, o d'être dit, déterminer les force:

nières barres ; f élanl l'une d'el respondnnte qui aboutit au rue

:a une flèche ayant le sens du vecteur de f\ si it dirigée vers le nœud M, la force élastique / ression ; si la flèche est dirigée en sens inverse, ion.

irincipe de la méthode des nœuds, iquer a un système articulé, on part d'un prei it n'y ait que deux forces élastiques inconnues ; ces forces comme on vient de le dire; puis nn i des nœuds voisins qui, grâce aux nouvelles l'on vient d'acquérir par l'opération précédente, leux barres dont les forces élastiques soient alors n détermine ces forces, ce qui permet de passer à s suivants, et ainsi de suite.

; sera en défaut dès qu'on ne pourra plus trouver 1 y ait moins de trois forces élastiques inconnues.

jici une observation très importante : soit MN iiissant le nœud M au nœud N; el, Boit /la force' îlle barre, tension ou compression, que l'on vient considérant le nœud M. Quand on passe au N, cette force élastique, qui figure alors comme parmi celles appliquées au point N, doit être ma.

la barre J1N est, par exemple, comprimée, c'est élastique f considérée comme appartenant au sens d'une flèche placée sur la barre et dirigée > que, considérée comme appartenant au nœud N, istique/, devant toujours représenter une comavoir le sens d'une flèche posée sur la barre et

û la barre est tendue, la force /",rcptésc niant louiion, doit élrc dirigée vers M quand on la consiipparlcnanl au nœud N.

cliquons celle méthode à la poutre I de la figure reproduite ligure 80. Nous supposons qu'on ait l déterminé les réactions comme il a été dit au

Il faut coma deux nœuds él barres.

Au nœud A, ques iuconnue pourra donc le

Dès lors au :

déterminer f 3 < on pourra Irou aux nœuds Sj, 1 que deux force enfin une vériÉ les forces/,,, f, trouvées.

On voit qm ici, à cause de mais, comme c nous avons en tance particuli

Entrons dan

i* Nœud A

Force &

Forces i Polygoi Résulta

Forces Forces Polygoi Résulta

Forces Forces :

l'olygoi Résulta

£S FORCES 1NTÈH1BUHBS

font

comme vérification, doit se fermer.

al de» forées élAsIiqur*.

réciproques.

imc on vient de le faire, an est olygono des vecteurs pour chaque

ise pas de la sorte le polygone des extérieures, qu'on a du cependant ur la recherche des vecteurs Va,, art, comme chaque barre fait pares représentatives des forces élasbux fois sur l'ensemble des figures (B).

mplois si, laissant fixe la figure ment les figures (A,), (S,), (I,), et

DÉTERMINATION DKS l'OHCKS 1NTÈRIKURKS 191

On obtiendrait ainsi la figure 80 oîi il n'y a plus de double emploi, el où le rôle vertical rt,rt 2 Vrvï. n'est autre que le polygone des vecteurs et des réactions, qu'on avait déjà tracé antérieurement et qui se trouve ainsi utilisé.

La recherche des forces intérieures du système articulé se ré'luit donc à la construction directe de ce diagramme total, dans lequel se trouvent condensés en quelque, sorte les diagrammes partiels (A), (S,), (I ; ), (S,), :!,), (S a ), (B).

On donne à ce diagramme des forces élastiques le nom de figure réciproque de celle que forme le système articulé.

M*. — L'étude des considérations qui ont réellement conduit xWaxwcl et M. Cremona à la conception de ces figures réciproques et à leur emploi pour la détermination des forces intérieures des systèmes articulés, est assurément fort intéressante et très instructive. Mais ce serait sortir de notre cadre que de nous arrêter à cette question purement théorique et certainement en dehors du domaine proprement dit de la statique graphique. On pourra consulter sur ce sujet le chapitre 23 et la noie 5 du Traité de statique graphique de M. Maurice Lévy, aussi bien que l'opuscule de M. Cremona [le figure réciprocité nella statica gratifica) complété par MM. Jung et Saviotti et traduit en français par M. le capitaine du génie Louis Bossut.

Toujours est-il que la marche que nous avons suivie est à la fois bien simple cl fort naturelle.

Nous ajouterons encore un mot sur les figures réciproques.

Imaginons qu'on ait adjoint à la figure formée par le système articulé, un polygone funiculaire des forces extérieures ainsi que les tronçons des lignes d'action de ces forces qui relient le système articulé et le polygone funiculaire enveloppant. La figure du système articulé ainsi complétée et le diagramme des forces élastiques satisfont aux deux conditions suivantes :

1" A chaque droite de Tune répond dans l'autre une droite parallèle ;

2° A chaque nœud de Tune répond dans l'autre un polygone fermé.

C'est en cela que consiste

Une figure prise au hasar proque, et ce d'csI pas un j des conditions nécessaires i admette une réciproque. Vo non suffisante :

A chacun des nœuds < droites.

Cela résulte immédiatem< pondre dans la figure récipr polygone fermé a toujours a

On voit par là que, à mo l'avons dit, le système arti Warren) n'admet pas de ffy des deux nœuds A et B n'esl

iï», — Au fond ce qui ir truire directement et rapide forces élastiques du système gramme à la ligne verticale gone des vecteurs des forces

Voici comment il convieni

On trouve dans le diagrai des vecteurs dos forces exlér

1° Celles qui corresponde) tème articulé et que nous i diagramme.

2° Celles qui corresponde que nous nommerons lignes

Chaque ligne, d'ailleurs p:

gramme est parallèle à la b articulé.

Supposons que, pour cher construit le polygone des vect nantlesforcesF^F^Fj, dans on suit le contour du syslèn A, dans le sens de la marche fois les réactions trouvées, 1

[NATION DES F0R':iS5 INTÉRIEURES 193

parlant du point A el suivant l'ordre indi-

le polygone des vecteurs correspondant

lidérons d'abord une ligne principale du dia- ;i correspond à la barre 4 par exemple ; celte deux nœuds S, et S,, le vecteur de sa force ara en a,(J dans les diagrammes partiels (S,) et

nœuds; dans le diagramme général, il parmeL a, du polygone des vecteurs, qui est coms a t a t ,a t a t des deux forces F! el F, limitrophet

raisonnerait de même pour tes lignes prin- :lent aux barres 1,8, 11, lesquelles sont comntre deux forces extérieures. Voyons ce qui arres 2, 6, 10, pour lesquelles il n'y a pas dt

aux extrémités ou du moins k chacune de;

La barre 2 faisant partie des nœuds A et I, Force élastique se trouve en V.i dans les (lia i (A) et (I,) ; dans le diagramme général, i it l'on verrait de même que les lignes princi- Einles aux barres 6 et 10 parlent égalemcn il V est le sommet du polygone des vecteurs aux vecteurs o,V, Va, des forces extérieures .quelles sont comprises chacune des barre:

donc énoncer celte règle générale :

incipale du diagramme s'obtient en menant U re de pourtour correspondante, par le somme lecteurs qui est commun aux vecteurs dis dettj •s de cette barre.

s maintenant des lignes secondaires.

un quelconque des triangles du système arti >ar exemple, qui esl formé par les barres 3 s des forces élastiques correspondantes tîgu f, — p* dans les diagrammes partiels (S,) e