CH
(I,), le second f t = a,fi dans (S,), le Iroisième fc = Py dar (S,). Or, les points désignés p grammes se réunissent on «11 combine, comme il a élé di former le diagramme général triangles. Donc : à tout tria:
doits le diagramme général, i gui correspondent [et qui son les côtés du triangle considéré Cette règle permet de tract condaires, dès que les ligne:
effet, le nœud relatif au prem qu'il est à la rencontre des 1 aux barres 1 et 2 ; on pourra correspondant à la barre 3.
cond triangle S,I,S, sera déter qui répondent aux barres 3 ligne secondaire relative à la
tït. — En résumé, voici diagramme de la figure 80.
Ou considérera les forces e!
F a , R' où on les rencontre en le contour de la charpente ( aiguilles d'une montre. \a,a t < teurs des forces extérieures pi conformément à la première i cessives o,l, o,4, a 3 8, o,H, V nières coïncident avec l'home quant la seconde règle aux I S,I,΄ I&S,, S.I.B, on obtien.
nœud x relatif au premier ti qui, étant parallèle à la bar fl t *; 2° le nœud |3 relatif au s daire £;i qui est parallèle il la troisième triangle et la ligne i la barre 7 ; 4" le nœud t rcli
ligne secondaire t9 qui est parallèle à la barre 9 ; 5° le nœud relatif au dernier triangle qui devra être à, la fois sur &9, a^li, VIO, c'est-à-dire au peint a déjà trouvé.
Ce diagramme général une fois construit, rien n'est plus aisé que d'y démêler les vecteurs des forces élastiques relatives aux diverses barres.
Dans le cas qui nous occupe, on aurait pu, à cause de la symétrie, se borner à tracer la moitié du diagramme ; c'est ce qu'il ne faudrait pas manquer de faire dans la pratique.
Det» Frames.
1I£. — Le système articulé que nous avons pris pour exemple n'est qu'un cas particulier d'un type plus général auquel nous donnerons le nom de frame. Les Anglais disent frameivorky les Allemands fachwerck, les Italiens travure reticulaire ; mais toutes ces dénominations ont été parfois employées dans des sens assez divers et même un peu confus. Nous adopterons le nom de frame, qui est le plus court, en lui attribuant la signification précise que voici :
Un frame est une figure composée de triangles juxtaposés extérieurement les uns aux autres, de manière que chacun d'eux ait un côté commun avec le triangle qui le précède et un autre côté commun avec le triangle qui le suit; chacun
des deux triangles extrêmes a d'ailleurs deux côtés sur le contour de la figure, et tout triangle intermédiaire a un côté sur ce contour.
Celle définition détenu!
culés de ce genre (lig. 81). 1 tour, lequel est divisé ■ ABDFGHK, ACEK, par le aux deux triangles cxlrèmt tissent que deux barres.
En supposant, comme, loi rieures qu'aux nœuds et qi aisé de prouver d'une mar noeuds s'applique à un te forces intérieures des diver:
En effet, convenons, pou par/î la force élastique rel méro i. Puisqu'il y a au pc ou réaction), l'équilibre du Dans le triangle suivant BÇ sera sur le pourtour; le na 1, !û et 2, et comme f, est terminera f lt et f,. Lelrianj CD, puisque BD est sur le l'un des cotes appartiendra le côté CE ; alors le nœud C et comme on connaît déjà / ncra /„ cl /„. Le raisonnen manière. Puisque CE est si sera établi sur le côté DE ; lés, DF par exemple, appar D aura quatre barres, 2, i'.
déjà connues, l'équilibre de ainsi de suite.
Ainsi, à chaque fois, a' triangle, il ne reste qu'une encore inconnue; mais c ceux que relie celle barre, l'équilibre. Il en sera de mî /-; mais l'équilibre du ncunc /u. /i;i /i„ des autres barres L'équilibre du dernier nœm
; les plus remarquables est la ferme.
bielle qui esl représentée dans la
et B reposent sur deux appuis ; les nbrure supérieure sont seuls chargés , sont supposées égales entre elles, idiculaire au milieu de AS,, et tout rt à la verticale du point S, ; en sorte e déterminer les forces élastiques rc- , 4, 5, 6.
ont évidemment égales l'une cl Paume des charges F, + F t -j- F a ; elles iY, V étant le milieu du polygone
Fis. 82.
■escriptions, nous traçons d'abord les l les parallèles a,x, a$ aux barres 1 l Vy aux barres 2 et 6.
erseelion de «[XCtdcVx.cst le nœud
gramme relatif au pn barre 3 est la ligne it p, intersection de ît au second triang îest la ligne seconda , intersection de py e I, Sj I,. Il n'est pas ibtient donc les résul id A : polygone V< V {tension).
id S t ; polygone #i< x (compression), id I, ; polygone Va n), >eul, si l'on veut, c
ésumé, les pièces co
supérieure et les dei
tst convenu d'appeler
une bielle, bien qu'e
adoptant celte dénoi
erme en faisant absti
inaiiton des deux i <ro
. — La mélhodedes immande par son 61 les tensions ou les ce proche. Il y a même e la méthode des sec n quand on a fait pr sants et des efforts tr, 60 que, dans ce cas, ! de quelques lignes.
riON DES FORCES INTÉRIEURES 196
des frames, devient parfois insuffisante, liculé est plus complexe iout en restant
té par la 'statique. On combine alors les «pelant à l'aide, pour certains détails, la
Potonceau à trois bielles (lig. 83) offre ;it de l'emploi de ce procédé mixte, ue par rapport à la verticale du som-
200 CIIAPITR
met S v ; les charges F„ F„ F a , F de la membrure supérieure sont s les barres AS,, S,S„ S.S.I S a S ( soi l,S[,IjS t , MSj, dont la troisième < perpendiculaires sur la droite AS ( .
Les réactions R et R' des appu l'autre à la moitié de la somme i F» + F s + F + F, ; elles ont pour le milieu de la portion de droite présente le polygone des charges.
Il est bien clair qu'on pourr nœuds A, S, et I, et déterminer si /„. Mais l'on est arrêté soit pour le I,, puisque en chacun de ces nœi rcs dont les forces élastiques son
Nous aurons donc recours pour sections.
Imaginons une section curvilig 10, 16 et 15 qui, sauf la barre 9, rant au point S ( , et prenons les point ; nous aurons
ou
p et q désignant les dislances du de F, et à la barre 9. Mais, si l'on gne C coupant les barres 4, 5 et 6, par rapport au point A où vont on a
p' et q' désignant les distances di de F, et à la barre 5. On a, d'aillt
Donc, la comparaison des relations (1) et (2) donne
Comme / c est connue quand on arrive au nœud S 2 , on voit qu'il ne restera plus en ce nœud que deux forces élastiques inconnues / 7 et f % et qu'on pourra dès lors, par la méthode des nœuds, aller jusqu'au bout sans nouvelle entrave.
Les lignes principales du diagramme sont : les droites a t a, fl»P> a 3 f), <i;X parallèles à la direction commune des barres 1, 4, 8, 12 ; les droites Va, Vy qui coïncident, puisqu'elles sont parallèles à la direction commune des barres 2 et 6 ; enfin, l'horizontale V»x relative à la barre 14.
Le pointa intersection de a t % et de Va est le nœud du diagramme relatif à ce premier triangle ASt I t ; le polygone du nœud À est donc V^ aV, et l'on a
f x = a,a (compression), ■ f t = aV (tension).
De plus, la ligne secondaire relative à la barre 3 est la parallèle a(î à celte barre, en sorte que le nœud du diagramme relatif au second triangle Sj l t S, est le point (i, intersection de a(3 et de a*{3.
Le polygone du nœud S, est donc 6^ a, $xa x et l'on a
f s = p a (compression), f % = a,(ï (compression).
De plus, la ligne secondaire relative à la barre 5 est la parallèle Py à celle barre, en sorte que le nœud du diagramme relatif au troisième triangle IjS s I 3 estle point Y intersection de (îy et de Vy. (Remarquons que le point y est sur la droite Va, puisque, comme nous l'avons fait observer plus fiaut, les droites Va et Vy coïncident).
Le polygone du nœud I, est donc Vajîy V et Ton a
f. = Py (tension), f G = yV (tension).
De plus, la ligne secondaire relative à la bielle S, I, est la parallèle yX à cette bielle 7. Ici, c'est grâce à la relation
que nous pouvons construire U Yfco a o 3 ^Sy est ce polygone ; la parti ainsi que les droites indéfinies y<ï chever, d'insérer entre ces deux grandeur donnée [Jy et parallèle cela de mener a 3 n égal à fly et pai mener «S parallèle à a a jusqu'à sa vS. Le sens dans lequel il faut port c'est celui de S vers M, puisque /, c sion. Le polygone y$a,a$$"( rela tracé, on en déduit
/, = §y (compression), /,
On continue alors sans iliflicul relatif au triangle IS,M étant le p 08, la ligue secondaire relative à Jjx à celle barre, et le polygone di résulte
/io = fy (tension}, f,
De plus, le nœud relatif au tr point 6, intersection de ôS et de o,6 lative à la barre il est la parallè!
gonc du nœud S 3 esl donc OfladAl,
fn =yf> (compression), f- it
Le nœud du diagramme relatif point ),, intersection de H\ et a t \, i tive à la b arr e 13 esl la parallèle ', jj.5 était déjà parallèle à celle mêm le point X est silué sur ^8.
Enfin le polygone du nœud M e
f„ = îijji (lec
Il est inutile d'aller plus loin, les a toutes les barres du système se
irie par rapport à la verticale médiane. On nt, construire en s'aidant de celle symétrie le >lel du système. C'est ce qui a été fait sur la
is barres de la membrure supérieure et les comprimées; toutes les autres barres sont
vient d'observer que c'est par suite de circons-
res (égal espacement des nœuds sur l'arbalé-
des charges sur ces nœuds) qu'on a la rc-
où, les données étant moins particulières, la ite n'existerait plus, le procédé de Ritler n'en noins ; on calculerait ou on construirait/, à jle (!) où Fj, p et q sont connus.
np que In statique seule fournisse les ion* d'un système de barres.
cherche des tensions des barres d'un système ;n équilibre sous l'action de forces extérieures ions) agissant seulement sur les nœuds, est t la solution échappe le plus souvent à la sla- *e l'intervention des lois de l'élasticité.
ons doit remplir le système articulé pour que (à la détermination des tensions? cl, lorsque st impuissante, comment la théorie de l'élasd'achever la solution du problème ?
deux questions qui s'offrent à l'esprit et auxis répondre brièvement.
:©Lévy qui le premier a fait connaître lescon- ; la possibilité delà solution par la statique iroblèmes que nous venons d'énoncer et les
questions qui s'y rattachent sont In dans le beau mémoire que notre sa' demie des Sciences en 1872, et qu une noie placée à la fin de la deux graphique, en utilisant avec une ri fondamental sur la résolution des < de [Ecole polytechnique, 1880).
Nous ne saurions, sans franchie Éléments, entrer dans tous les dél Nous nous bornerons aux traits fo au livre de M. Maurice Lévy le lec l'étude de ces questions intéressan
La statique <!lanl renfermée toi des vitesses virtuelles, tout se réc tions que doit remplir un système cation du théorème du travail vii d'une barre quelconque AB du sysi on équilibre sous l'action des forces sur les nœuds, il en est do même t rait de S en supprimant la barre .4 A et B deux forces égales à t et l'autre suivant BA. Mais les seul système Si qui fournissent deséquf l sont ceux dans lesquels la distant qu'on puisse, par la statique scu d'une barre AB du système S, il t de ce système] permette au côté AB (ou un raccourcissement) virtuel i les autres côtés conservent leurs h enfin, pour que la statique seule p toutes les barres d'un système arti les conditions auxquelles la figure chaque côté de recevoir tour à tour niment petit, les autres côtés cous* riables.
C'est ce qu'on exprime briêvcnu doit être librement dilatable.
Mais comment reconnaître dans tous les cas et d'une manière sûre si un système est ou non librement dilatable ? C'est ici que la question devient réellement épineuse ; lu\tons-nous d'ajouter que M. Lévy a donné le moyen de la résoudre pleinement. Au lieu de nous engager dans cette voie difficile, nous nous bornerons à faire connaître un critérium qui, n'offrant que des exceptions fort rares, suffit aux besoins de la pratique.
Mais nous devons donner préalablement quelques définitions.
Figures rcelilignei» déformablett,
indéformables ou à ligues surabondante*.
lis. — On dit qu'une figure rectiligne à s sommets est indéformable, 'lorsque ses angles ont des grandeurs déterminées dès que les longueurs des côtés sont fixées. Elle est au contraire, déformable, si les angles peuvent varier sans que les côtés changent de longueur.
Ainsi, le triangle est une figure indéformable ; le quadrangle simple est au contraire déformable ; mais si à un quadrangle simple on adjoint Tune des diagonales ou les deux diagonales, on obtient des figures indéformables.
Cet exemple du quadranglc conduit à une distinction nouvelle.
Les figures indéformables sont de deux sortes : les unes, comme le quadrangle muni d'une seule diagonale ne renferment que le nombre minimum de barres propre à assurer Tinvariabilité de la forme ; les autres, comme le quadrangle muni de ses deux diagonales, renferment plus de barres qu'il n'en faut pour rendre la forme invariable. On donne aux premières le nom de figures strictement indéformables et aux autres le nom de figures indéformables à lignes surabondantes. Ainsi, dès que le nombre 5 snrpasse 3, la figure à s sommets offre trois variétés suivant le nombre de ses côtés : elle peut être déformable, strictement indéformable ou h lignes surabondantes.
t »9. — Une question surgit alors : quel doit être le nombre m des côtés d'une figure rectiligneàs sommets, pour que cette figure soit strictement indéformable ? La réponse est aisée et d'ailleurs connue depuis longtemps : m doit être égal k2s — 3.
D'après ce que nous venons de dire relativement au quadrangle, la proposition est évidente.pour s =4, et il suffit de montrer que, si on l'admet dans le cas où le nombre des sommets est égal ks, elle subsistera lorsque le nombre des sommets sera 5 + i. Or, pour passer d'une figure strictement indéformable à s sommets à une figure strictement indéformable ayant un sommet de plus, il est nécessaire et suffisant de relier par deux côtés le nouveau sommet à deux des sommets primitifs ; la nouvelle figure a donc s + i sommets et un nombre de côtés égal à
c'est-à-dire à
(fc + 4)— 3;
ce qui démontre le théorème énoncé.
Il résulte de là que un système articulé à s nœuds est déformable, strictement indéformable ou à lignes surabondantes suivant que le nombre des barres qui le composent est inférieur, égal ou supérieur à 2s — 3.
