Revenons maintenant au théorème du n

Pour qu'un système articulé soit tel que chacun des côtés puisse recevoir une dilatation (ou contraction) virtuelle infiniment petite, tandis que les autres côtés conservent leurs longueurs, il est en général nécessaire et suffisant qu'il n'existe aucune relation entre les longueurs de divers côtés c'est-à-dire qu'il n'y ait pas de lignes surabondantes. Donc, pour que la statique seule fournisse les tensions d'un système articulé, il faut et il suffit, en général, que ce système ne contienne pas d$ barres surabondantes, c est-à-dire, que, si s désigne le nombre des nœuds, le nombre des barres ne surpasse pas 2s — 3.

tst . — Nous avons dit « en général » parce qu'il existe cer-

ux pour lesquels les dilatations des côtés ntes, même en l'absence de toute égalité ngucuis de ces côlés. Un exemple va le

. avoir construit un premier triangle dans une direction quelconque une lon- 1e l'on construise ensuite successiv ornent islances données de a et de 6', et un point données de a et de b. Lorsque la directe décrit un certain lieu géométrique; nt de ce lieu qui est le plus rapproché de sitions que prennent a et b lorsque c est 'ulé a'b'c'aibiCi ainsi défini a C sommets îs a'b', b'c', c'a', a,b„ 6,6,, c,Ot, a'a„b'bt, 2s — 3 se trouve donc ici satisfaite et la ndcformablc, comme le montre d'ailleurs . Cependant ce système n'est pus libren vertu de sa définition, on ne saurait ans que la figure cesse d'exister, dire, les exemples de ce genre, sont do rc que quand on les cherche ; aussi le ions d'indiquer est-il, malgré ces excepns la pratique-

nsloutt dans un «jilème « barre* •urahnudantCH.

s un système composé de m barres, dont longueurs ai, a.,... ff„, des barres, k re-

i {ai+t, ,a M )

», (at+i, ....... a M )

<*(<**+ , dm)

208 CHAPITJ

permettant d'exprimer

«n o tl . ■ en fonction de

. û*+ii Ofrfii • ■

La statique ne fournira alors,

tu t„ ...t„, que m — k relations

fi Vu *i, • ■ • (B) ?! (*„ *„ . . .

On obtiendra d'ailleurs ces rclat des vitesses virtuelles, en attribut les allongements virtuels compf réactions des appuis ne figureror mais seulement les tensions /,, ment appliquées.

La théorie de l'élasticité devra entre les tensions, k équations c ment on établit ces équations :

Désignons par a,, a, ... a» le prennent les barres sous i'inflnei nœuds. On aura, en désignant pa bres 1, 2, ...k,

a% + ai = |i(«t+, + atoii, en ayant égard aux relations { et les produits des allongemcn geablcs,

Mais si l'on appelle S, et K,, Si lions et les coefficients d'élastieil d'après une loi déjà citée (n° 74).

de sorlc que la relation (A") devient

/p » aUi 0*4-1 tk+i (tyi , , a m tm d^i

EiSi E*+-i Sit+t dah+i E w Sm da m

En faisant t= i , 2, ... k 9 on aura ainsi les k équations qu'il faut joindre aux m — k relations (B) pour déterminer toutes les tensions.

i ss. — Quelques explications sont encore nécessaires sur la manière d'obtenir les relations (A), ou plutôt les relations (A'), qui résultent de la figure du système articulé.

Ce n'est là, il est vrai, qu'un problème d'algèbre appliqué à la géométrie, qu'on résoudrait dans chaque cas. Mais Mohr a indiqué, pour obtenir les relations (A'), un procédé commode, qui, fondé sur une application ingénieuse du principe des vitesses virtuelles, donne à la solution complète du problème une homogénéité très satisfaisante pour l'esprit.

Supposons qu'on supprime toutes les forces extérieures (charges et réactions) ainsi que toutes les barres surabondantes

a u a tl a k . Désignons parai l'une quelconquede ces barres

supprimées, et appliquons aux deux points où aboutissait cette barre, suivant la droite qui joignait ces deux points, deux forces P t et P, de sens opposé, répulsives et égales à l'unité de force. Dans le système ainsi privé de barres surabondantes et soumis aux deux seules forces P, et P„ les barres prendront des tensions que la statique seule permettra de déterminer (n° 180) et que nous pouvons dès lors considérer comme connues: nous les représenterons respectivement par

eL% •$* • . • e

Mais, d'une part, le théorème du travail virluel donne %<" = ejft t S0a+i + + 6« Sam ;

et, d'autre part, en remplaçant dans (A') les allongements élastiques par les dilatations virtuelles, on a

^^dëp ***+'+• • • + *£**»•

La comparaison de ces c quelles que soienlles dilal

el, par suite, l'équation (À

("est l'une des équations c sant i = i, 2, ... A, e'est-i surabondante l'opération i M. Maurice Lévy et le gi très procédés fort élégant Hais la méthode de Mot avons déjà signalés, celu graphique, car les quantité

s'obtiennent par la mclhi nœuds, dans le cas très uî un frame dès qu'on t'a priv

Bemarqne* tur les |

184. — Parmi les sys seule, il convient de citer \s par là celle qui résulterait rectangles de même haulci les, suppression faite des dire aussi que celte poutre poutre Warren (lig. 99, 1 dessous dessus. Toute secti barres, deux horizontales e du semelle supérieure l'aut Heure, et deux barres égal méthode des sections échap nœuds.

KMINATION DES FORCES INTÉRIEURES 3ii

iproximali ventent le problème en admettant, ce ùblemenl dans les poutres à treillis bien cons-

deux barres inclinées que rencontre une même le travaillent également, et qu'il en est de même >arres horizontales coupées par celte section. De il l'effort tranchant dans la section considérée el

sur l'horizontale des deux barres de treillis, l'efinc de ces deux barres dont l'une est tendue et méc, a pour expression

tension ou à la compression des deux barres sisemelles, elle est égale au moment fléchissant 1, divisé par la hauteur de la poutre. Les règles i" 161 , 1G2, 163 pour la distinction entre les tenmpressions subsistent d'ailleurs ici.

l poutre à treillis double s'obtient en définitive

treillis simple, en divisanten deux parties égales lervalles formés sur les semelles par les nœuds

joignant deux à deux les points de division, menl, on aura une poutre à treillis triple, qua-

en divisant les intervalles des nœuds sur les sene poulrc à treillis simple, en trois, quatre,... parloignant deux a deux les poinls de division cor- Une section verticale quelconque rencontrera

deux semelles, trois, quatre,... barres inclinées, -a comme an numéro précédent en acceptant les èses ; la formule ci-dessus devra être remplacée

3 nombre des pièces inclinées que rencontre la

le.

e délail sur ce sujet, nous renverrons le lecteur

résittance de M. flamant ou à celui de M. Colli-

Avantage» de» ijitèmei si

IK6. — Nous avons vu que renferment pas de ligne surab< seuls que la statique pure puis nique cause de leur supériori su rabondantes jouissent d'une p et qui consiste en ce qu'ils sont sent être constitués en solides c Voici ce qu'on entend par la Considérons une barre tendue U, Si, E; sa tension, sa section c matière qui la compose. L'expo employée, une valeur limite R sion relative

c'est-à-dire la tension par uni coefficient d'élasticité. La plus

et pour réaliser la plus grau miner les sections Si de toutes formule

E(St

On verrait do même, en consid des tensions négatives, qu'il S; des barres comprimées à l'ai

le nombre R' étant aussi fouri d'ailleurs différer plus ou moin

es conditions, toutes les pièces tendues supporteront tension relative, et toutes les barres comprimées la mpression relative. On dit d'un tel système qu'il est i en solide d'égale résistance.

:uer un système d'égale résistance, telle est la question ose quand on fait le projet d'une charpente de grandes ns.

*t le nombre des barres, le problème comporte 2m in- ; ce sont les m tensions (positives ou négatives) U, et lions Sj.

eux cas à distinguer suivant que le système renferme m lignes surabondantes.

— Supposons d'abord que le système n'offre aucune abondante. Les m tensions ou compressions U seront mies sans ambiguïté pat- la statique pure, et il suffira

leurs valeurs dans les relations (4) et (1') pour obtenions S; des diverses barres.

'ème articulé sans lignes surabondantes peut donc tonconstitué en solide d'égale résistance,

— Il n'en est plus de même, lorsqu'il y a des lignes anles.

e nombre de ces lignes dont nous désignerons, comme , les longueurs par

vant d'ailleurs toutes les notations employées dans ce Nous aurons pour déterminer les 2m inconnues f„

i — k équations (B) , qui sont fournies par la statique

équations (C), que donne la théorie de l'élasticité ; quations (l)cl (!'), qui sont au nombre de m, puisque

de ces deux formules convient à chaque barre. ;s m dernières équations, aussi bien que les k équa-