POUR UNE CHARGE

Objet du problème; »« réduct de* momeuls inr

*••. — Une poutre est dite contint deux appuis, d'ailleurs simples ou eu

Chaque partie de la poutre compris' sécutifs reçoit le nom de travée. Nou par A„ A,..., A K ; A, sera l'appui sit A, sera l'appui placé à l'autre bout ; étant n, celui des travées est n — i.

La poutre est supposée droite dans i lion conslanle. En outre, nous adm appuis sont de niveau, saur à esamin vnnt l'influence de la dénivellation de

Dans notre hypothèse, la poutre, avant tout chargement, porte sur t< déformera ensuite sous l'influence de) quelles elle est soumise, mais sans q les appuis puissent s'élever ni s'aba ici d'ailleurs que les points d'appuis <

LA POUTRE CONTINUE 317

lonleiiues dans le plan de symétrie, c'est-à-dire dans le vertical passant par la fibre moyenne ; et, le problème a dre consistera dans la détermination des moments fiéints, des elTorts tranchants et des réactions, is, tandis que dans la poutre à deux appuis simples, les le la statique pure permettent de déterminer les réacet par suite les moments fléchissants et les efforts Irans (chapitre IX), il faut, pour la poutre continue, faire renir la théorie de l'élasticité.

l. — Il convient, avant tout, de ramener la question aux is les plus simples.

cl effet, nous allons montrer que la recherche des mo- 5 fléchissants- aux divers points de la poutre continue être réduite a celle des moments fléchissants sur les ap- Oq donne à ces derniers moments le nom de moments iles; nous les désignerons par M,, M,..., M n ; et, nous s observer, qu'en vertu de la définition même des mos fléchissants, M, et M„ sont nuls lorsque les appuis oxîs Ai et A» sont simples, c'est-à-diçe non encastrés. 1 Ai A,'+, (h'g. 84) la droite qui sur l'épure représente

ravée quelconque, et -, - les échelles des longueurs et

Drces. Supposons que, avec une distance polaire X prise

lonté sur l'épure, ou ail construit le polygone (ou la ie) funiculaire C, m C 1+ i qui se rapporte aux charges int sur la travée et qui passe par deux points C„ C-+,

mnés arbitrairement sur les verticales des points d'appui.

ourt désignerons d'ailleurs, suivant nos habitudes, le produit

if par p.

Cela posé, on peut énoncer le théorème suivant : // existe dans le plan de la /igure une droite telle que, si on

: prend pour axe des x et la verticale A(Y pour axe des y, on

étant Fordonnée d'un point quelconque m de la ligne fu~ kulaire Ci mj Ct+, et M le moment fléchissant dans la section à passe par cette ordonne'e.

Pour démontrer celte proposition, nous observerons d'abord îe le moment fléchissant M de la poutre continue, au point ïui-i 1 par a, se compose : 1" de la somme m, des moments par tpporl k a des charges qui agissent entre A, et a ; 2° de la imme m, des moments par rapport a a des forces extérieures harges et réactions) qui agissent sur Aj et sur toute la partie i la poutre située à gauche de Aj. Or, chacune des forces de ïlte seconde catégorie peut èlre remplacée par cette mémo >rce transportée parallèlement à elle-même au point A, et ir un couple dont le moment est, comme on sait, indépenînt du choix du centre des moments. Si donc on désigne par

la résultante des forces ainsi transportées et par M' la somme ïs moments des couples, on a

m, = Si' -f- W t T ; par suite

Mais M' est évidemment le moment fléchissant M,- de la outre continue au point Aj. D'ailleurs, lorsque a se déplace ir la travée AjA,-+,, le dernier terme de la formule précepte varie proportionnellement au segment Aj a, ou, ce qui îvient au même, au segincut correspondant Ri b, intercepté ir les verticales des points A,- et a sur une droite fixe quelinque Ri lï, M du plan. On peut donc écrire

LA POUTRE CONTINUE

jr constant, c'est-à-dire indépendant de U uria travée Ai Aj+,.

tenant le tronçon représenté par Ai At+ seul et s'il reposait par ses extrémité!

ippuis simples, tout en restant soumis ain vant d'être séparé des autres parties d( ant paru, le moment lléchîssant du tron servant que ce moment est nul au poin un raisonnement semblable au précédent

e constante.

tte égalité de la précédente on obtient If

- Mi — u. = (A — h) Bj à

i Ai+i devient, puisque ^ est alors nul,

' s'élimine immédiatement et l'on a d<

3ns laissé à la droite B, 6,-+, une positior sons là de façon que

ixe des x, l'axe des y étant la vorticali la droite Ci C^, sera, dans ce syslerm

Mi+, Mi - P + B. B i+1 X ' renlht'se qui figure dans la formule (1) t

Mais on a

m i = p . cm.

La formule (4) devient donc

M = p (bc + cm) ou

M = p . bm ;

ce qui démontre le théorème énoncé, tandis que les relations

(2) déterminent la position de la droite cherchée.

t»t. La construction de la droite BiB <+t résultant immédiatement des valeurs des moments sur piles M< et M<+i, on voit que la connaissance de ces deux moments particuliers entraîne celle des moments fléchissants de la poutre en tous les points de la travée. Donc enfin, il suffira de connaître tous les moments sur piles M t , M,..., M n pour obtenir par une constructipn simple les moments fléchissants en tous les points de la poulre continue.

Comme on est maître du choix des points C 4 - et Ci+ t sur les verticales des appuis A* et Af+ t , on pourra prendre pour ces points les appuis eux-mêmes. La figure devient alors la suivante (fig. 85), et, la règle pour déduire de la connaissance des moments sur piles M, M*... M n les valeurs des moments fléchissants aux divers points de la poutre continue s'énonce ainsi :

Avec une même distance polaire S choisie d'ailleurs à volontè sur répure, construisez pour chaque travée AiÂi +i la ligne funiculaire A t fw< A i+i qui passant par les appuis Ai et A i+U est relative aux charges qui agissent sur cette travée considérée comme isolée. Portez sur la verticale de chaque appui un segment

et joignez par des droites les points /?,, /?,... li n ainsi obtenus. Les ordonnées de la ligne funiculaire totale

Ai m { Aj... A„,

LA POUTRE CONTINUE

comptées à partir de la ligne brisée

et mesurées sur l épure, donneront en grandeur et en signe, après quon les aura multipliées par p, les valeurs des moments fléchissants relatifs aux sections correspondantes.

Dans la figure 85 nous avons pris n = o et nous avons supposé M t el M 5 nuls, ce qui arrive quand les appuis extrêmes sont simples ; c'est pourquoi B, coïncide ici avec Aj et B 4 avec A ; .

Fig. 85.

Les ordonnées positives, c'est-à-dire dirigées de haut en bas à partir delà ligne brisée B t B.... B v donnent des moments posilifs.

Les moments négatifs répondent aux ordonnées dirigées de bas en haut ; telles sont les ordonnées B â A„ B 3 A 3 , B 4 A ( relatives aux moments sur piles M*, M 3 , M ; , qui sont négatifs.

*••. — 11 est toujours permis de supposer que tous les appuis intermédiaires A % Â^.. A n ^ sont simples. Si l'un d'eux Ac était encastré, il suffirait d'étudier séparément les parties A! Ai, A< A» considérées comme deux poutres distinctes et indépendantes, puisque, en vertu de l'encastrement la section, A* serait rigoureusement fixe.

Quant aux appuis extrêmes A t et A» ils peuvent être tous

222 CHAPJTf

les deux simples, ou tous tes < simple et l'autre encastré. De là on peut, si l'on veut, ramener ce tous les appuis sont simples, à la d'ajouter, par la pensée, une ti A, A, et placée à gauche de la pc vaut en effet à deux appuis sin remplacerait de même l'appui A travée infiniment petite A, An+ t Nous supposerons donc dans appuis sont simples, sauf à donni ques développements complémei: est encastrée à l'un de ses bouts

■»4. — On ramène la rechercl construction d'un certain polygoi de second polygone funiculaire r AiPi! A* m, A s mjA ( »j, A- que 1' funiculaire et qui est formé par culaires (courbes ou polygonal charges agissant sur chaque tra\ Il faut définir avant tout ce sec Considérons une travée quelco sons-la en trois parties égales aux par (gi) et {g't) les verticales de ces cales, qu'on nomme trisseclrtces,\ centres de gravité des deux triar dans lesquels on décompose le fri nanl l'une de ses diagonales (cel par (Ci,) la verticale qui passe p surface A' rm 13, limitée par la { qui est relative à la travée compi verticale le nom de verticale prii les aires des deux triangles AjBj A ( wi, B, ces trois aires étant mes

LA POUTHE CONTINUE

Cela posé, A et A étant deux constantes choisies à volonté,

â|fV |

àv

iùi

Fig. 86.

mais les mômes pour toutes les travées, imaginons les trois forces Ut, V<, U< qui, ayant pour vecteurs

lli = —

auraient respectivement pour lignes d'action les droites

9u Git gl

c'est-à-dire la verticale trissectrice de gauche, la verticale principale et la verticale trissectrice de droite. Soit A|/?<y,/?/ A*+ t le polygone funiculaire de ces trois forces, qui aurait A pour distance polaire mesurée sur la feuille de dessin et dont les côtés extrêmes passeraient par les appuis À< et Â <+1 .

A chaque travée répond un polygone analogue. Toutefois, pour les travées de rive A, A â et A»i A tt , le polygone n'a que trois côtés au lieu de quatre, vu que le trapèze A<B< B^ A i+1

se réduit, pour chacune de ces deux travées, à un triangle. Ainsi, pour la première travée AjA i? on n'a que les deux forces V,, U/ ayant pour vecteurs

et pour lignes d'action la verticale principale et la verticale trissectrice de droite. Pour la dernière travée A*i A*, on n'a aussi que deux forces U„,, Vn~i ayant pour vecteurs

Ur^i = — Vn-l = -7-

ct agissant respectivement suivant la verticale trissectrice de gauche et suivant la verticale principale ; le polygone est Ai^i/j'iAi pour la première et A lt - J j9 n 1 g f ,-,A l , pour la dernière (fig. 86).

196. — Ces polygones se succèdent de telle sorte que chaque appui intermédiaire soit l'extrémité du polygone relatif à la travée précédenle et l'origine du polygone relatif à la travée suivante. L'ensemble de ces polygones constitue une ligne brisée qui, si n est le nombre des appuis, a en apparence

côtés. En réalité cette ligne brisée n'a que

côtés, attendu que le dernier côté de chacun des polygones partiels coïncide avec le premier côté du suivant.

Pour le démontrer, remarquons que la ligne élastique t passe par tous les appuis, et n'a en chacun d'eux, à cause de sa continuité, qu'une seule tangente ; il en est de même, par suite, de sa ligne homographique e,, quel que soit le coefficient q d'amplification des ordonnées qui spécifie cette ligne. Prenons y, de telle sorte qu'on ait(n° 124)

LA POUTRE CONTINUE 22

nt les «feus quantités employées au numéro pré v, p, E, I ayant la signification déjà expliquée plu i. La ligne e, sera (n° 124) une courbe funicu distance polaire A, pour une charge fictive égale >réc sur la figure 85, celte aire étant mesurée su

divisée par k. Désignons par t, la tangente a cette courbe funiculaire si, et considérons la parti jne qui est relative à une travée quelconque A ( Aj+ ; ' 64) que si l'on partageait l'aire ombrée de celt ilusieurs parties par des verticales, cl si, avec le pôl

courbe t„ on construisait un polygone funiculaire ir A ( et Aj+,, des forces qui auraient pour ligne s verticales des centres de gravité de ces parties t eura les aires de ces parties divisées par k, ce poly ulaire aurait tous ses côtés tangents à la courbe t, plus ainsi quand on divise l'aire ombrée en partie es ; mats, quel que soit le mode de décomposîtio re ombrée, les côtés extrêmes du polygone funicu spondanl ne changent pas (u u 34) et par suite coin c les tangentes t, et (,+,. Donc, le polygone partit +1 , défini au numéro précédent, et qui est relatif a écomposiliou de l'aire ombrée exprimé par la rela 6)

ombrée = A MfA^ — A,B,B,-h — AJ^À^,

s extrêmes A(/j ( , p'fA^, respectivement confondu agenles ti et t i+l . Le même raisonnement appliqué )récédente prouverait que le côté j»'f,A| se confon me enfin, les deux côtés consécutifs p' t -,\i, A,/ e prolongement l'un de l'autre, i ligne brisée formée par la succession des poly iels A.,piq,p'tA l+ , constitue un polygone funiculair côtés, passant par tous les appuis, ayant pour dis ire A et relatif aux

2 + 3 (h— 3) + 2=3»-5 vos V„U'„U„V„U' I U.„ V.

C'est ce polygone qui a reçu le nom de second polygone funiculaire.

On nomme côtés moyens ceux des côlés de ce polygone qui ne passent pas par les appuis ; dans chaque travée A|-A*f, il y a un côlé moyen de gauche p t qi et un côté moyen de droite q t p'i. Dans les travées de rive l'un de ces côtés moyens se confond avec l'un des côlés sur appuis ; dans la première, c'est le côlé moyen de gauche qui coïncide avec le côté sur appui de gauche ; dans la dernière, c'est le côté moyen de droile qui se confond avec le côlé sur appui de droite.

Séduction de la recherche de* moment* sur piles à, In construction du second fuuiculairc.

t ne. — Supposons que Ton ail construit le second funiculaire et voyons comment on peut en déduire les moments sur piles.

Prolongeons qtpt jusqu'à sa rencontre fe, (flg. 86) avec la verticale A*B<- Imaginons que par un point k pris à volonté sur la verticale principale (G<), on ait mené des parallèles aux côtés du polygone funiculaire Aip i qip f i Ai^ 1 et soient a u a % , a„ a 4 les points où ces parallèles rencontrent une verticale dont la distance au point t. soit ogale h A ; a x a t a z a k sera le polygone des vecteurs des forces ficlives U«,Vi,U',; et, en exprimant la proportionnalité des bases et des hauteurs dans les triangles semblables Ai/?$ è , a-a^ ou a la relation

Aij3, Aigri 1

jAiAi-H

En remplaçant le vecteur aia à par sa valeur

0i 1 AiAi+i . AiBi a i a i = u, = --=- i

et résolvant par rapport à A,B„ on obtient la formule (b) A» Bi ou == — Ai p,

? rf (AiAn-,)

LA POUTRE CONTINUE 227

moment fléchissant sur l'appui A,, ou mieux, le : qui est plus utile (n° 192) que le moment M ( lui-

narquer que le tracé effectif du polygone des vec-

V*,« t ) esl inutile, ce polygone n' in Ici-venant que

nstration.

il, au lieu du côté moyen de droite qip t de la Ira-

m ployer le côté moyen de gauche }(,/*'(, de la

lenlc. Eu désignant par ji'j le point où ce côté ren-

ticale AiB>, on trouverait par un raisonnement

A<B, ou = — Ai? i —

p (Ai-, Ai) 1

es (S) et (6) équivalent à la règle suivante : jusqu'à sa rencontre $i (ou (j';) avec la verticale I,-, fun quelconque des deux côtés moyens limité qui passe par Ai. Le moment fléchissant sur cet

é à Féchelle - , est ètjal au produit du segment

) par le facteur

t longueur, mesurée sur l'épure, de la travée à luttent le côté moyen employé.

igaalons, en passant, la relation

Aifr MiAn-A»

Ai pi' \Ai-.,Ai/

e la comparaison des formules (5) et (6).

L'opérateur disposera des arbitraires k et A, quantités \, <l, S, pour la commodité de l'épure, .ntilés doivent rester les mêmes pour toutes les e même poutre. Si l'on veut ensuile connaître q, • la formule (i) du numéro 195.

Un cas fréquent est celui où loutes les travées intermédiaires sont égales. On prend alors habituellement

l désignant la longueur commune, mesurée sur l'épure, des travées autres que les travées de rive. De la sorte, les fadeurs

6kà 6*A

(AiAi +1 )» (Ai-,V

sont égaux à l'unité, le premier pour i = 2, 3,..., n — 2 et le second pour i = 3, 4,..., n — 1 ; on a alors

(7) • A f Bt = — A f p„ An^ B^ = — A tt t £'».,. Or, pour toutes les valeurs de i comprises entre 2 el/i — 1,

(8) A iBi = — Aipt = — Aip'< ;

ce qui prouve que la verticale de chacundes appuis A 8 ,Ai...A,i, est couptie au même point par le côté moyen de gauche et par le côté moyen de droite.

Si toutes les travées sont égales, la relation (8) s'applique à tous les appuis intermédiaires sans exception.

Construction du second funiculaire.

199. — Actuellement toute la recherche est réduite à la construction du second polygone funiculaire, et même, à vrai dire, à la détermination des seuls côtés moyens de droite ou de gauche. C'est le problème que nous allons traiter, après avoir donne* deux nouvelles définitions :

Soient Ai iAi et AiA,-+i deux travées consécutives quelconques (Kg. 87).

Forions, de droite à gauche, à partir du pied g' i ^. l de la verticale trisseclrice de droite de la travée A| t A<, une longueur q\— x y, égale au tiers de la travée suivante. La verticale du point y* reçoit le nom de contreverticale relative k l'appui A .

LA POUTRK CONTINUE ; évidente :

- s (A(A H -.-A* 1 Ai)

i contre- verticale (-p) tombe à gauche ou à droite rrespondaut A ( suivant que la travée A,, A; est iu plus courte que la travée suivante.

Fig. 87.

signons par F ( , un point quelconque de la travée >ns à volonté un point Oj, sur la verticale de F ( „ t Oi i menons une droite quelconque qui rencontre issectrice (yVi) cl la contreverticale (yi) respectiux points que nous désignerons par x et z. Meuglions le point z au point y où xAi coupe la verrice (y t ). La droite zy rencontrera ( , A* en un it nous désignerons In projection sur la travée

i du point F« ainsi obtenu ne dépend que de celle llement du choix du point ( i sur la verticale i direction donnée à la droite 0(,z. En efïet,l'aphéorêmo de Ménélaus' au triangle 0j ,: Oicoupé ersale xhiff donne :

JO.-, gz AiQi M ' i/Oi ' A.Oi— ,

Hé de Géométrie <le MM. E. Roucliè et Je Combe rousse ; 5*

g'i-iKi-^ giyi Art ? 'l-,7i fflFl AiH

Or, si l'on désigne par 3a el 3a' I< l'épure, des travées A ( , Ai, A ( A (+ , A(jF ( ,, A(F ( , la relation précéda

que l'on peut écrirt

Celte formule montre d'abord qi c'est-à-dire la valeur de a' est indé point 0,, sur la verticale du point elle ne dépend que de a, « et a', c'< point Ff ( et des longueurs des deu

Il ressort encore de la formule (9 tre o el a, a.' reste compris entre c le point F,, appartient au tiers de j son correspondant F,- sera aussi da travée suivante A ( A ( L .

Dans la pratique, pour construit pourra par exemple prendre pour

••1. — Cela posé, parlons de la avoir placé F, en A,, déterminons * de la deuxième travée qui corresponc puis le point F a de la troisii-me trav' F, de la deuxième.et ainsi de suite. ?i points

A, ou F„ F t , F„

qu'on nomme foyers de gauche de If

En parlant au contraire du dern

de droite à gauche absolument comi

LA POUTRE CONTINUE 231

de gauche à droite à partir de A lf nous obtiendrons une seconde série de n — 1 points :

A n OU E M , En-!, E«-î, E t

qu'on nomme foyers de droite.

Tous les foyers de gauche sont situés dans les tiers de gauche des travées ; tous les foyers de droite dans les tiers de droite.

Observons encore que dans le cas où les travées A^\ At, Aii Ai+ t sont égales, la formule {9) revêt la forme

qui se prête à une élégante interprétation géométrique, non encore remarquée, que je sache : le point F*, correspondant de F< lt est le conjugué harmonique par rapport à A#,- du symétrique du point Fi-t par rapport à l'appui A| I#

tût. — On appelle lignes croisées relatives à une travée quelconque A< A,+i, le système de deux droites indéfinies 7c'a' 8 , x' a\ qui, se coupant sur la verticale principale (G*), interceptent, sur une verticale située à la distance A de (G,-), un segment égal au vecteur

Vi = -

de la force fictive V< (fig. 86).

D'après cette définition, le point tz peut être pris à volonté sur (G<) et on peut donner une direction quelconque à la première ligne t:V, ; la seconde ligne a\i: s'obtient ensuite en portant verticalement le segment a^a'* = v t et joignant le point a\ au point x'.

Il est clair d'ailleurs que le segment intercepté par les lignes croisées sur une verticale quelconque est indépendant de la position de t: sur (G*) et de la direction xV t , attendu que le rapport de ce segment à v t est toujours égal au rapport de sa distance à (G*) à la longueur A.

Remarquons enfin que les lignes croisées a\iz à \ constituent un polygone funiculaire de distance polaire A pour la force

unique Vi ; car, puisque a\a\ est le vecteur de V<, si Ton construit, pour cette force, le polygone funiculaire ayant % pour pôle et d t Tz pour premier côté, le second côlé de ce polygone sera précisément a \iz '.

*os. — Soient A lf F„ F 3 , F v (fig. 88) les foyers de gauche de la poutre que, pour fixer les idées, nous supposons à 5 appuis A,, A 8 , A 8 , Ai, A 6 , et par suite à 4 travées.

Sur la verticale du premier foyer Ai portons un segment A 4 3\ égal à celui qu'interceptent sur cette verticale les lignes croisées de la première travée (on n'a pas dessiné ici ces lignes croisées pour ne pas compliquer la figure). Joignons le point J'i au second appui A 2 et soit J, l'intersection de J', A 2 et de la

l l v *\ k.. » i in

Fig. 88.

verticale du foyer F 2 . Portons sur cette verticale le segment Jj J'i égal à celui qu'interceptent sur celte verticale les lignes croisées de la dcuxiïme travée ; menons S\ A 3 jusqu'à sa rencontre J 3 avec la verticale du foyer F 8 , et prenons le segment vertical J 3 J' 3 égal à celui qu'interceptent sur cette verticale les lignes croisées de la troisième travée. Enfiu menons J' 3 A 4 jusqu'à sa rencontre J t avec la verticale du foyer F t et prenons le segment vertical J*J' 4 égal à celui qu'interceptent sur cette verticale les lignes croisées de la quatrième et dernière travée. Les points ainsi obtenus :

ont reçu le nom de points fixes. Il y en a deux sur la verticale de chaque foyer de gauche.