TT

LA POUTKË CONTINUE

En parlant de A s et opérant de la même manière sur les foyers de droite (A 3 , E v , E 3 , Ej), on obtient une autre série de points fixes.

Nous distinguerons ces deux séries, en appelant les points J points fixes de première espèce et les points H pomts fixes de seconde espèce.

t04. Ces définitions étant établies, voici le théorème qui clôt en quelque sorte la partie fondamentale de cette étude :

Les diagonales Ji H\ + i, /,• H t + 1 du quadrilatère formé par les quatre points fixes dune même travée Ai Ai + i, sont les côtés moye?is du second polygone funiculaire dans cette travée.

Nous fonderons la démonstration sur deux remarques :

1* Les côtés moyens limitrophes d'un même côté sur appui vont se couper sur la contreverlicale de cet appui. En effet, les deux côtés yi i/A-i, p%qi du second polygone funiculaire doivent (n°38) se croiser sur la ligne d'action de la résultante des forces Vi— i et Vi qui sont comprises entre ces

Fig. 89.

deux côtés (fig. 89). Or ces forces agissent suivant les verticales [g'i— i) et (gi) ; leur résultante a pour ligne d'action laverticale qui divise g'i—i gi en deux parties inversement proportionnelles à leurs intensités c'est-à-dire aux aires des triangles Ai— i B* Ai, Ai Bi Bi-f-i ; mais ces deux triangles de même base Ai Bjsont proportionnels à leurs hauteurs c'est-à-dire aux Ion-

gueurs des deux travées, ou encore aux si \ t gi ; la ligne d'action de la résultante en être la verticale qui partage (j'i— \gx en doux proportionnelles à f/i—\ yi et yi Qi ; c'est pr verticale (v;),

2° Le segment J,* J'i compris entre les i tués sur la verticale d'un foyer quelconque ment C, C'j qu'interceptent sur cette vertic: du second funiculaire relatifs à la travée q En effet le système des lignes croisées a%-> le système form<S par les côtés moyens du second funiculaire A;-i p,qi p't Aiet l'autre un polygone funiculaire de mêm pour la force unique Vi ; par suite (n e ii) dC'i représentent à la même échelle le me force Vi par rapport à Ff. Ces segments s comme on a par définition (n* 203) JjJ'i = J J'i = CiC'i.

Cela posé, considérons le second pc A, 0i/>',A,/v/iP'i A a p s ... (fig. 90) et rapp sont confondus avec A,. Puisque les deu> et y, p'„ dans la travée de rive A,A„ doisur la verticale de F, c'est-à-dire de Ai JiJ', et que J, est en A,, il faut que le secc passe par J'i. Soit z, le point où ce second

contrer la contreverticalc (y,), ut p t le po per la verticale trissoctrice (i? f );le premier c

LA POUTRE CONTINUE Î35

o travée sera({°) le prolongement de z,p t . Mais d'aistruclion des points lises (n* 203} le point où la i rencontre z^. est précisément le point fixe J, ; îmier cdté moyen p,q, dans la deuxième travée , ; de plus, comme les deux côtés p, q„ q, p', doiîpter sur la verticale de F, un segment égal à J,.l', , passe par J,, il faut que le second côté moyen y,p' s eme travée passe par J',.

nnant à partir de J', comme on vient de le faire à „ on verra de même que p^ passe par J 3 et q$\ par ue /)//, passe par J, et q % p\ par J' ; ; et ainsi de

ic établi que les premiers côtés moyens A, q,,p t q„.. issent respectivement par les points fixes J t , J,... les seconds côtés moyens gjt'. q,p',... q*-\ A M passivement par J'i, J',„- J'h— i.

.'erait de même, en partant de l'autre travée de rive, onds côtés moyens dans les diverses travées conspcclivement II,, II,,.. H„, tandis que les premiers ns renferment respectivement II',, HY*- Unifia le côté moyen piqi passe par Si et H'i (-i, et le i qip't passe par J',- et Hj j-i ; ce qui démontre le lliéo-

Bétumé et vérlfloMliona.

Telle est, sauf le mode d'exposition, la solution gratfohr pour le problème de la poutre continue de stante reposant librement sur des appuis de ni-

• attentive de celte méthode nous a conduit à décomïtonstration en trois théorèmes principaux. Le pre- 1) réduit la recherche de tous les moments fléchîse des moment sur piles. Le second (n* 196) ramène c des moments sur piles à la construction des côtés n certain polygone dit second polygone funiculaire.

Le dernier (no 204) fournit deux points de chacun de ces côtés moyens.

En résumé, on commencera par construire les éléments qui ne dépendent pas des charges, mais de la seule distribution des travées; ce sont les verticales trissectrices, les contreverticales et les foyers. On construira en second lieu les éléments qui dépendent des charges ; ce sont le premier polygone funiculaire, les verticales principales, les lignes croisées et les points fixes. Cela fait, on obtiendra successivement les côtés moyens du second funiculaire, les moments sur piles et enfin les moments fléchissants pour tous les points de la poutre.

Il y a plusieurs vérifications qui permettent d'éviter l'accumulation des erreurs.

l°Le point commun aux deux côtés moyens, dans chaque travée, doit se trouver sur la verticale principale correspondante.

2° Le second côté moyen dans une travée quelconque et le premier côté moyen dans la travée suivante doivent concourir sur la contreverticale relative à l'appui commun aux deux travées.

3° La droite qui joint l'extrémité du second côté moyen dans une travée à l'origine du premier côté moyen dans la travée suivante doit passer par l'appui commun aux deux travées.

ton. — Remarquons qu'un Iriangle est déterminé de grandeur et de position quand on connaît trois droites sur lesquelles doivent être placés respeclivement ses trois sommets et trois points par lesquels doivent respectivement passer ses trois côtés. Tel est le triangle z*p\p'i de la fig. 90. Il suit de là que si, dans la poutre continue, on considère les i premières travées à gauche, la partie A l q l p\A i ... p'i Ai+i du second polygone funiculaire comprise dans ces travées, pourrait être construite sans faire intervenir aucun des éléments (foyers de droite E, points fixes de droite II..., etc.) qui dépendent des longueurs et des charges des travées suivantes.

On peut donc énoncer cette proposition importante : La position d'un foyer de gauche quelconque et le moment fléchissant en ce points ne changent pas quand on modifie

LA POUTHE CONTINUE 237

d'une manière quelconque les longueurs et les charges des travées situées à droite de celle qui renferme le foyer considéré.

• Et de même :

La position d % un foyer de droite quelconque et le moment fléchistsant en ce point, sont indépendants des dimensions et des charges des travées situées à gauche de celle qui contient le foyer considé?*é.

Diagramme général de» moment fléchi «saute».

Efforts tranchants et réactions des appuis.

••ï. — La partie supérieure de la fig. 83 donne, comme nous l'avons vu, les moments fléchissants pour tous les points de la poutre ; ils sont proportionnels aux ordonnées de la ligne ÂimfAtHiiAgttiaAiiHiAs, ces ordonnées étant comptées à partir de la ligne brisée A^BaBjAs.

Mais celte manière de compter les ordonnées, à partir de droites qui différent d'une travée à l'autre, ne permet pas de saisir les variations des moment fléchissants aussi aisément que le ferait un diagramme dans lequel les ordonnées auraient leurs pieds sur une même droite, sur Taxe Ai As de la poutre par exemple. Un tel diagramme, que nous nommerons diagramme général des moments fléchissants est aisé à construire; c'est celui que Ton voit à la partie inférieure de la figure 85 ; on l'obtient en déplaçant chaque ordonnée sur sa verticale de façon que son pied vienne sur Ai As. Ainsi on a pris

A'itfi'i = Aijhi, o'in'i = 0|fii,

De la sorte, y étant une ordonnée quelconque de la ligne Aim' t B'i m\ B' 3 m' a Ti\m\ A c rapportée aux axes rectangulaires #'A,y, et M étant le moment fléchissant dans la section qui contient celle ordonnée, on a, en grandeur et en signe.

M = — py.

La recherche des moments fléchissants est la partie essen-

238 CHAPITRE Xi

tielle du problème de la poutre continue. La détermination des efforts tranchants et des réactions des appuis en résulte ensuite aisément. Quelques mots suffiront pour l'expliquer :

La ligne Ai m\ B' 2 m', B' 3 i»' 3 B\ m\ A 3 ,dont nous venons d'indiquer la construction, n'est au fond qu'une ligne funiculaire de distance polaire S pour l'ensemble des charges auxquelles la poutre est soumise et des réactions des appuis ; la ligne de clôture est A,A r> . Donc, pour déterminer l'effort tranchant en un point quelconque o' p on mènera la tangente/, au point correspondant n\ du diagramme ; puis, par un pôle quelconque on mènera les parallèles aux droites A^ et t i jusqu'à leurs rencontres a et 6 avec une verticale siluée à une distance S du pôle choisi; le segment a*), multiplié par <p, donnera l'effort tranchant dans la section o\ m

Quant aux réactions des appuis, il est clair que si Ton désigne par Ti et Ti les efforts tranchants dans la section qui précède et dans celle qui suit infiniment peu l'appui Ai, et par Ri la réaction de cet appui, on a :

Ti = Ti + Ri.

d'où:

Ri = Ti — Ti.

Lorsque chaque travée AîAi+i supporte une charge uniforme, la partie B'i m'i B'i+i du diagramme général des moments fléchissants est (fig. 91) une parabole à axe vertical et l'effort tran-

Fig. 91.

chant varie dans la travée comme l'ordonnée d'une droite (n° 112); ilsuffitdonc de déterminer les efforts tranchants TietTi+i sur les appuis. Pour cela, on prolongera le diamètre n'im'i rela-

LA POUTRE CONTINUE 230

tif à la corde B'^B't-fi d'une quantitée m'i rî égale à n'm'i, ce qui donnerales tangentes r'»B'i,r tBi-|-i à la parabole; puis, après avoir pris sur la ligne des appuis des segments Ai?:,-, Ai-j-i izi égaux à $, on mènera par le premier pôle tzi la parallèle 7vi zi k la tangente n B'i et par le second pôle la parallèle 7^' 2i+ 1 à la tangente r * B'i+i ; on aura alors :

TV = <p.Ai5i, Ti+i = 9. A*+i 3î+i

Remarques sur les lignes croisées.

3*8. — Au lieu de construire les lignes croisées comme nous l'avons indiqué au n° 202, il est préférable de calculer les longueurs des segments ui, w'i qu'elles interceptent sur les verticales des appuis Ai et Aî-f i de la travée à laquelle elles appartiennent. On portera ces segments sur les verticales en question et on joindra en croix leurs extrémités (fig. 86) ; le point de croisement donnera alors un point <o' de la verticale principale (Ci) qui se trouvera ainsi non plus une donnée, mais un résultat de la construction. On évitera d'ailleurs de la sorte le tracé de la verticale auxiliaire a\a 3 située à la distance A de la verticale principale. Ce procédé donne des résultats plus précis et évite la confusion.

Les valeurs de wj et m résultent immédiatement de l'inspection de la fig. 86 ; ce sont :

/JA\ /**\ Ci > /*'\ * .

Ci et d{ désignent les distances du centre de gravité de Taire <?< aux verticales des appuis A< et A,-.^, en sorte que la somme et + di est égale à la longueur U de la travée mesurée sur Tépure.

A proprement parler c'est surtout dans le cas d'ailleurs fort * usuel, où la charge sur la travée est uniforme, que ce nouveau procédéest avantageux, vu qu'on peut alors, comme nous allons le montrer, trouver les valeurs explicites de ui et 0/ en fonction des données.

•©•. — La charge uniforme peut occuper la longueur de la travée en tout ou en partie. La seconde hypothèse contient la première comme cas particulier.

Soit ai (fig. 92) la longueur Ai Ci,qui représente sur l'épure la parlie occupée par la charge uniforme. La ligne funiculaire Airrn Ai-f-t relative à cette charge, se compose (n° 114) d'un arc de parabole Ai mi raccordée par une droite tw* Ai+i. Désignons par ni le point où cette tangente va rencontrer la verticale de l'appui Ai, et par bi la longueur Ai m. On sait que le produit pôi représente la valeur absolue du moment, par rapport à A,-, de la réaction que l'appui Aî-f, exercerait si la travée était isolée ; ce produit est donc égal au moment de la charge par rapport à Ai, en sorte qu'on a :

àt = || M'.

L'aire mixtiligne Aîmi jAj.fi que nous appelons ai est la différence entre le triangle rectiligne AtttiAj.fi et le triangle para-

bolique Aiwnii lequel est les - du Iriangle rectiligne Aitti/n*.

On a donc

ai =- oiM — - oi.aî ;

Fi&. 92.

et, comme les centres de gravité du triangle rectiligne

Ajm ft 'Aî ci du triangle parabolique Ammi ont respectivement

, . h . ai pour abscisses - et -, on a

LA POUTRE CONTINUE 2-ti

à ces trois dernières relations, les formules (10)

ut = h . ai' (2/* 1 — af) u'i = h . m- [2h — ai) 1 ,

h= J!L 24*pâ

Les relations (H), (12), (13) résolvent pleinement proposé. Voici comment on s'en sert :

s par Qi la valeur commune que prennent u; et i. = ti, c'est-à-dire lorsque la charge uniforme rè- [e l'étendue de la travée. Nous aurons Qi = Aft»,

wi =ar»(2-r')

u'i = Qi r' (2 — r)\

t par r le rapport - de la partie chargée à la Ion-

t de la travée.

;s dernières formules que l'on emploie dans la praa travée soit chargée uniformément en tout ou en jmmence toujours par calculer Lit à l'aide des rcla- (14). Là se borne le calcul si la charge est totale, n'est que partielle, il faut en outre multiplier la obtenue de Lli par les valeurs numériques des

lier se rapporte au segment situé du côté de la e second au segment situé du côté opposé à la

u suivant donne les valeurs numériques de ces pour les valeurs usuelles- , - , -, -du rap-

11 est à peine nécessaire d'observer que, dans la pratique, il faut tenir compte à la fois du poids de la poutre qui est une charge régnant sur la travée entière et de la surcharge qui peut n'occuper qu'une partie de la travée ; les segments interceptés par les lignes croisées sur les verticales des appuis se composent alors de deux parties.

*i 1. — Signalons encore à ce sujet un rapprochement intéressant :

On sait (n° 1(2) que si fi désigne la longueur, mesurée sur l'épure, de la flèche de la parabole funiculaire relative à la charge uniforme de la travtfe de rang i, on a :

fi - «r

La comparaison de cette expression et des relations (13) et (14), donne immédiatement :

De là résulte, pour une poutre continue uniformément chargée sur toute sa longueur, les deux propositions suivantes :

I e Si toutes les travées intermédiaires ont une même longueur / et si les deux travées de rive ont une même longueur /', et si Ton pose

o les lignes croisées intercepteront sur les verticales correspon-

LA POCTRK CONTINUE 24

cnls égaux à 2/ pour les travées intermédia:

de rive ; / désigne la flèche de l'une des pe iaires et p la flèche de l'une des paraboles d

i travées ont une même longueur /, auquel ce les ont la flèche /, et si l'on pose toujours

!S intercepteront sur les verticales correspor icnts qui seront tous égaux au double de I

le cas usuel de la charge uniforme, il imporl à la construction des lignes croisées, le a porte une charge concentrée unique <|i ; ce ca; ut théorique, nous sera fort utile dans le chu

le polygone funiculaire de la force unique ( ruit avec la distance polaire 8, passe par h

FIg. 98.

fig. 93) ; désignons par l la longueur A ,A,

qui, sur l'épure, représente la travée et par h la hauteur tint du triangle A ft -mA| + i ; l'aire de ce triangle sera

d'ailleurs l'abscisse AiG de son centre de gravilé sera la moyenne des abscisses de ses trois sommets, c'est-à-dire

-(/+|Am),

(a/wj/ désignant l'horizontale du point m.

Le segment <*>,, que les lignes croisées intercepteront sur la verticale de l'appui Ai, aura donc (n° 208) pour expression

\ Ih { l -f- fi m

coi

c'est-à-dire

en posant

Or, si Ton mène par le point m la parallèle ma à la diagonale [/Ai-]-, du rectangle Atpp'Aï-i-i, on voit, par les triangles

semblables x[/.#i, pAtAj+^quepcest égal à-[i.m; on a donc

Ci)

On verrait de même que le segment g/,, que les mêmes lignes croisées interceptent sur la verticale de l'appui Ai+i, est égal à Ai-f ,a , a étant le point que l'on obtient en menant ma parallèle à l'autre diagonale Ai|x' du même rectangle Aij/.[//Ai-fi.

Ces lignes croisées A t a', A»-f t a s'obtiennent ainsi sans déterminer préalablement la verticale du centre de gravité du triangle A}mAi+ A ; cette verticale serait donnée au contraire, ai on la voulait, par l'intersection r, des lignes croisées.

LA POUTRE CONTINUE

Poutre continue encastrée à Tan des bouts ou aux

deux extrémités.

tlS. — Supposons d'abord que le premier appui Ai soit seul encastré.

Nous pouvons (n° 193) considérer la poutre actuelle à n appui Ai, ....A» comme la limite d'une poutre à w+ 1 appuis A ,A r ...An qui seraient tous simples et dont le premier A serait infiniment voisin de A p la travée additionnelle A A t étant d'ailleurs vide, c'est-à-dire ne portant aucune charge.

Or l'influence de cette travée additionnelle A A, sur le second funiculaire A^y^..., est facile à démêler.

D'abord, la travée AqA, étant vide, ses lignes croisées coïncident, et par suite le segment JqJ'o est nul ; donc J' coïncide, comme J , avec le point A et la droite J' AiJi se confond avec l'horizontale A t A n des appuis ; le point fixe J, est par conséquent situé sur cette horizontale, c'est-à-dire se confond avec F t . Quant à la position de ce dernier point, elle résulte de la formule (9) qui, pour a = o, donne <x' = a\ c'est-à-dire AiFj = A i g l ; le point F t est donc au pied g x de la première verticale trissectrice. Enfin, remarquons que la fibre moyenne, passant par les appuis infiniment voisins représentés par A d et Ai, sa ligne homographique est tangente en A, à l'horizontale des appuis, et par suite le premier côté A i p i du second funiculaire est dirigé suivant cette horizontale (fig. 94).

Ainsi, en résumé, lorsque le premier appui A l dune poutre continue A x A n est encastré, le foyer F t et le point fixe J t coïncident, non plus avec Ai, mais avec le pied g x de la première

Fig. 94.

verticale trissectrice. La suite du tracé no subit aucune modi li cation.

De même, si la poutre est encastrée à son autre bout A», le foyer E n et le point fixe H H coïncident, non plus avec A», mais avec le pied y' a j de la dernière verticale trissectrice.

114. — La figure 95 représente l'épure d'une poutre à une seule travée Ai A, et encastrée à ses deux bouts. Après avoir choisi, conformément aux exigences du dessin,

les échelles - et - des longueurs et des forces, ainsi que la dis-

tance polaire 8, on tracera la droite AiA, qui figure la poutre

Fig. 95.

et la ligne funiculaire AmiiA, des charges données. Puis, pour éviter la confusion, on transportera A,A, parallèlement à ellemême en A' t A' t . La division de cetle droite en trois parties égales donnera les verticales trissectrices (g t ) et y'\). Les segments k\g x et g\ k\ seront les côtés extrêmes du second funiculaire ; d'ailleurs y, et f/\ seront ici les points fixes supérieurs J et II de gauche et de droite.

LA POUTRE CONTINU; H

On déterminera la verticale (G,) du centre de gravité d l'aire A t m,A t , el après avoir mesuré sur l'épure celle aire < on porlcra sur les verticales des appuis des segments ui et u donnés par les formules (10) du n° 208, et ayant soin à prendre

6 k A = P , ce qui donnera

— ?■**, «r-ï-OA,

/ étant la longueur A,Ai qui représente la travée. En joignar en croix les extrémités de ces segments, puis portant eii JJ IIH' les longueurs é,6',, 6 t b\ interceptées par les lignes croi sées sur les verticales {;/,), [<j\), on aura les points fixes infê rieurs J' et H' de gauche et de droite. JH' et J'H donneror alors les côtés moyens g t g it q t g' 1 du second funiculaire. Comm vérification, les points s el ç, devront se trouver sur la vert; cale principale (G,).

Enfin, on prolongera les côtés moyens g l q i , y»,^, jusqu' leurs rencontres p, et jî, avec les verticales des appuis ; et, e portant sur ces verticales, à partir de A, et A,, des segment A,B„ A,B, respectivement égaux à jJ,A' |t p,A'i, on aura 1 droite B,B t , à partir de laquelle il faut compter les ordonnée

de la ligne A.m.A, pour avoir, à. l'échelle - ou—, les me

menls fléchissants aux divers points de la poutre.

• 1*. — L'épure précédente devient presque entièremen inutile lorsque la charge est uniforme.

Dans ce cas, la courbe A^A, est une parabole dont I flèche f= GiMii est (n° 112) donnée par la formule

p désignant le coefficient décharge. D'ailleurs toute la ligur devient symétrique par rapport à la verticale (Gi) du mîliei de la travée, el l'on a : d'abord (n° 211)

puis

A l B.= p 1 A' 1 =JJ f =4,«' l =J« 1 =|/.

Donc, il suffira : ♦

!» De calculer la flèche fk l'aide de la formule (18) et de

porter cette flèche de haut en bas à partir du milieu de la

poutre sur la verticale de ce point milieu, ce qui permettra de

construire immédiatement (no 70) la parabole A i m l A l ;

2° De porter de haut en bas sur les verticales des appuis,

des longueurs AjBj, A,B 2 égales au - de la flèche, ce qui don-

nera la droite B t B, à partir de laquelle on devra compter les

ordonnées de la parabole.

On voit que la seule partie utile de la figure se réduit à

celle qui est située au-dessus de rn u c'est-à-dire à la partie

strictement indispensable pour exprimer graphiquement les

résultats.

LA POUTRE CONTINUE

i DÉFAVORABLES ; DÉNIVELLATION DES APPUI!

Question* à traiter,

- Nous avons appris, dans le chapitre qui précède, i or les moments fléchissants et les efforts tranchant! 'S points d'une poutre continue, pour une charge don eurs quelconque, et dans l'hypothèse où tous les ap la môme hauteur. II nous reste encore à étudier le: défavorables, ainsi que l'influence des abaissement! is.

nme charges défavorables les combinaisons de char lonnent dans les différentes sections de la poutre le; fléchissants, ou les efforts tranchants, maxima. Cclli i dont l'utilité est manifeste parait, au premier abord tme très complexe ; mais elle est singulièrement sim r l'application du principe de superposition des effet: s. En effet, d'une part, pour avoir l'effet total, sur ui iné, des charges qui sollicitent plusieurs travées, i chercher successivement les effets que produisent sui les charges qui agissent dans chacune de ces travées ; restant vides, puis d'ajouter les résultats. D'auln r avoir l'effet total, sur point donné, des charge: îitent une même travée, il suffit de chercher se l'effet de chacune de ces charges, puis d'ajouter le: On voit que le problème primitif se trouve par H l'étude des effets produits sur un point donné pa

une force unique appliquée à un point quelconque de la poutre.

Cette conclusion subsiste d'ailleurs dans le cas où les charges sont continues, car une charge continue peut toujours être décomposée en une infinité de forces infiniment petites.

Nous commencerons donc par résoudre le problème simple que nous venons d'énoncer ; nous en développerons ensuite les conséquences relativement à la question générale des charges défavorables. Enfin nous étudierons l'influence de la dénivellation des appuis.

Poutre continue aoumiae à- une charge concentrée

unique.

917. — Considérons donc une poutre continue supposée sans poids et sollicitée par une force unique (fig. 96).

Pour fixer les idées, nous prendrons une poutre à 6 travées, et nous supposerons que la force soit appliquée en un point de la troisième travée.

.Et Ag

\Ai

it

Fé

As If E< Ae

Fig. 96.

Il faut, avant tout, voir comment sont situés les points fixes. Observons à cet effet que dans (ou te travée vide les deux points fixes de gauche se confondent en un seul et qu'il en est de même des deux points fixes de droite ; cela tient à ce que dans une telle tra-

LA POUTRE CONTINUE 251

vée les lignes croiséos forment deux droites confondues, qui, par conséquent, interceptent des segments nuls sur les verticales des deux foyers. D'après cela comme J t est en A n i\ sera aussi en A t ; la droite J'jA,, sur laquelle doit se trouver J g , sera donc couchée sur l'horizontale A I A 7 et par suite J 2 sera en F, ; i' È sera aussi en ce point, puisque la deuxième travée est vide ; la droite J' â A 3 sera donc couchée sur A t A 7 , et le point J 8 sera en F,. Mais ici la travée étant chargée, J' 8 sera distinct de J, ; le segment J,J' S sera fourni par les lignes croisées de cette travée. La droite J' 8 A tt par sa rencontre avec la verticale de F 4 , donnera le point J*, avec lequel 3\ sera d'ailleurs confondu, puisque la quatrième travée est vide ; puis J' 4 A 5 donnera J s (ou J' s ) sur la verticale du foyer F 3 et enfin J 5 A 6 donnera J G (ou J'«) sur la verticale du foyer F 6 .

On voit de la sorte que chaque travée non chargée n'a qu'un point fixe de gauche J, et que ce point fixe est situé sur l'horizontale des appuis pour toutes les travées qui précèdent la travée chargée ; il est au contraire alternativement au-dessus et au-dessous de l'horizontale A t A 7 dans les travées qui suivent la travée chargée.

En partant de A 7 et raisonnant de même, on verrait qu'il n'y a dans chaque travée vide qu'un seul point fixe de droite H, et que ce point est sur A t A 7 pour les travées qui suivent la travée chargée et alternativement au-dessus et au-dessous de A, A 7 pour les travées qui précèdent celle qui est chargée.

Quant aux points fixes de la travée chargée A s A., ils sont au nombre de quatre, J 3 et J' s , H 4 et H' 4 ; les deux supérieurs J 3 , H* sont sur l'horizontale des appuis.

918. — Cela posé, on se rend compte bien aisément des variations du moment fléchissant que développe, dans les diverses sections de la poutre, la force fixe et unique <} ; il suffit d'avoir présentes à l'esprit les règles des n M 192 et 196 et d'observer que, d après la règle même du n° 192, dans toute travée vide le moment fléchissant varie comme les ordonnées d'une droite.

Considérons d'abord les travées vides (fig. 97). Le second polygone funiculaire se réduit dans chacune d'elles à trois cô-

is, qui sont ici marqués en traits pleins, et le coté moyen passe ar le foyer le plus éloigné de la travée chargée ; ainsi dans la ravée A, A- il passe par H s (ou E r j et, dans la travée suivante L, A„, par II, (ou E s ). Ce coté moyen et l'horizontale des appuis uterceptent sur les verticales des appuis de la travée des segnenls proportionnels aux moments fléchissants sur ces piles ; els sont les segments A ( p ( , A s 3' c pour la travée A; A 6 , et les egmenls A : ft 3 et A e B' 6 pour la travée suivante A B A,. Ces loments sur piles sont négatifs sur les appuis de la travée charge ; puis, à mesure qu'on s'éloigne de cette travée, d'un côté ou le l'autre, ils deviennent alternativement positifs et négatifs, et eurs valeurs absolues décroissent, de telle sorte que chacun d'eux oit inférieur à la moitié de celui qui le précède ; ainsi le rapport

!9l,en valeur absolue, inférieure -, car il est égal ù

equel est moindre que

-r~r ou - .

Les moments fléchissants aux divers points d'une même Ira-

•ée vide sont proportionnels aux ordonnées d'une droite ; c'est adroite 6, 9' ; pour la travée A, A., la droite (i, p'« pour la Ira-

LA POUTRE CONTINUE S

vée suivante. Le moment fléchissant s'annule donc une fois une seule dans chaque travée vide ; il est nul à celui des de\ foyers de la travée vide qui est le plus éloigné de la travée ckt ffëe ; dans la travée \-, A- il est nul en E~, dans ta travée si vante il est nul en E t , etc. La ligue élastique offre un chang ment de courbure aux points correspondants.

»i». — Ii reste à examiner ce qui se passe dans la trav chargée A t A ( .

Nous avons donné au n° 212 la construction des lignes en séespourune travée soumise à une force unique. Considéra maintenant cotte travée comme étant celle A 3 A, qui fait pari de la poutre continue Ai A, dont les autres travées sont vidi Nous savons (n° 217) que les points fixes supérieurs J, et (Kg. 98) sont l'un au foyer de gauche F a , l'autre au foyer droite E,.

Reproduisons ici la ligure 93, mais, pour éviter la confusio plaçons-la en dessous de façon que les points A, et a,, qui i présentent le même appui dans la ligure supérieure et dans figure inférieure soient sur une même verticale, et qu'il en si de même pour les points correspondants A. et a..

Soient/"/', ee' les segments interceptés par les lignes croisé sur les verticales des foyers F, et E ( ; en les portant en F, J Ei H't on obtient les points fixes inférieurs J' a , H' ( ; les dr< tes F, H',, Pj H„ qui sont dirigées suivant les côtés moyens ■ second funiculaire, détermineront sur les verticales des appu les segments A a A' a , A, A\ représentatifs des moments sur c deux piles.

Mais il est aisé de voir que l'on peut éviter la construcli< de toute cette partie supérieure de la figure et obtenir le di gramme des moments d'une façon beaucoup plus simple.

Remarquons que si l'on construisait, pour la force i|i,le pol gonc funiculaire A, 'm'A,' de dislance polaire S qui passe p A'» et A'„ la figure A a ' m' A t ' et la ligure a t ma t qui représen aussi (n* 212) un polygone funiculaire do la même force | av la même distance polaire 8, seraient homologiques (n° 25), rapport d'homologie étant égal à l'unité. L'homologue du poi et" sera le point*', car on a A' ( »"~ff 4 a',vuqueE + ïi' t — ee'etqi

deux systèmes delignes croisées (F, H' 4l J' t Ei),(fe\fe) ont rs poials de croiseoaenL sur la verticale du centre de gravité du

# Fig. 98.

ingle fljmdi.c'esl-à-diro à la même distance de la droite A\ a,, ne le point F„ qui est commun à la verticale F a J', ff et i droite A' 3 x, aura pour homologue le point /qui est comn a la mémo verticale et à la droite a,*', homologue de a". Ou verrait de niOmc que E, a pour homologue e ; donc

LA POUTRE CONTINUE

les points B 3 et B t où la droite fe rencontre les verticales des appuis sont les homologues de A 3 et Ai ; par suite, oaaa, B 3 = A' a A 3 et a % B; = A\ A*.

Ainsi donc, il suffit de mener dans là partie inférieure de la figure la droite fe pour avoir en a* B 8 , a 4 B> les moments sur

piles changés de signe et à l'échelle -• La droite B 3 B* et le

premier polygone funiculaire a t ma± forment le diagramme

des moments fléchissants dans la travée; en d autres termes, les

moments fléchissants sont, à l'échelle -, les ordonnées de la

ligne brisée a z ma^ comptées à partir de B 3 B v .

Comme m% est moindre que a % [/, g>' % est moindre que û/j/; en d'autres termes,*' est compris entre «' et »/, et la droite a 3 m est au-dessous de a z v! ; de même a % m est au-dessous de 4 a. Par conséquent, le point m est au-dessous de la droite ef et les points Z et T où celte droite est coupée par les côtés a % m et a v m du triangle a 9 ma^ sont situés l'un entre fet B 3 ,l'autre entre e et B v . Le moment fléchissant est donc positif entre z et tj et négatif de a 3 en z et de t en a i9 z et t désignant les projections de Z et T sur Taxe a z a^ de la poutre.

Ainsi, dam la travée chargée le moment fléchissant est né* gatif sur les deux appuis ; il change de signe en s' annulant entre chacun de ses appuis et le foyer voisin ; puis^ il devient positif et conserve le signe + aux deux foyers et dans V intervalle qui les sépare.

On donne le nom de points d'inflexion aux points z et t où le moment fléchissant change de signe en s'annulant.

**0* — Pour apercevoir les variations que subit l'effort tranchant quand on considère les différentes sections de la poutre continue soumise à l'action de la force unique <}, il suffit d'invoquer le théorème du n° 84 : l'effort tranchant est égal à la dérivée, changée de signe, du moment fléchissant ; il résulte de ce théorème que l'effort tranchant est positif (de bas en haut) quand le moment fléchissant décroît, et négatif quand le moment augmente.

Or, si Ton distingue sur la poutre AtA 7 les sept intervalles :

-rViAjj AgAg, AjM., 31 •»,« *»4»» >/ i ^"o'^cy **(jA^

déterminés par les appuis et par le point d'application M de la force <{/, l'étude précédente des variations du moment fléchissant montre que dans chacune de ces intervalles ce moment croît ou décroît toujours ; il croît dans l'intervalle A S M et dans ceux A t A 8 , A V A-, A C A 7 qui le précèdent ou qui le suivent de deux en deux rangs ; il décroît dans l'intervalle MA* et dans ceux A 2 A S , A 3 A 6 qui le précèdent ou qui le suivent de deux en deux rangs. Donc:

Leffort tranchant conserve sa grandeur et son signe dans chacun des intervalles dans lesquels la poutre est décomposée par les appuis et le point d application de la force <1. Il change de signe en passant d un intervalle à f autre ; et, en particulier, il est positif dans la portion de la travée chargée qui est à droite de la charge.

f 91. — Il importe de remarquer que la position des points (fin flexion z et t est indépendante de l'intensité de la charge ; elle ne dépend que de la position de cette charge. Cela tient à ce que si la charge <| change de valeur, sa ligne d'action restant fixe, on peut toujours, dans la construction du polygone funiculaire ajna^ de cette force d/, changer la distance polaire ou l'échelle des forces de façon que le segment cm conserve la même grandeur (fig. 98).

On vok par là que, lorsqu'on voudra étudier la manière dont les points d'inflexion se déplacent par suite du déplacement de la charge <]/ dans la travée, on pourra supposer le segment cm constant, c'est-à-dire se borner à déplacer le point m sur l'horizontale u,u\ ce qui simplifiera les tracés.

ttt. — La figure 98 donne lieu à quelques développements géométriques intéressants que nous utiliserons d'ailleurs à bref délai.

Prenons l'horizontale a a a 4 pour axe des #, la verticale a 3 [x pour axe des y, et donnons-nous les segments

a%f% = a, a^a^ = /, e k a^ = al

qui définissent la travée et ses foyers ; désignons en outre par w et h les coordonnées a z c et cm du point m.

LA POLTHK CONTINUE 851

Il esl d'abord forl aisé de calculer les ordonnées des points

/et c : on a, en effet,

et, l'on en déduit, en changeant a en — a',ten—~t,u en

On peut dès lors former l'équation de la droite e/. Cette équation

(3) /(*— a— a')^H-(2a— a')rc— 2a(/— ?a')-)-"[o/— [a+a')x\=o

montre que quand u varie, c'est-à-dire quand le point m se déplace horizontalement, la droite fe passe par le point fixe u, dont les coordonnées sont ,,, «/ A 3iw'

(4) * = ."+* »• = ,- Sî-

la construction de ce point est facile ; le moyen qui se relie le mieux aux constructions ultérieures consiste, non à se servir

des formules (4), mais a Construire, par le tracé qui a servi (n< 4 19) à définir la droite fe, les deux positions particulières /"i?, f'é de cette droite qui répondent aux positions extrêmes ja cl j*

u poinl m. C'est ce qu'on a fait dans la figure 99. I désignant ! milieu de [/.[/, les points f t et/ 1 sont ceux où la verticale f ,) rencontre respectivement les droites a 3 1, a 3 p.\ et les points , et e sont les intersections de la verticale (>,) avec les droites .[>- et a, I.

Les deux droites particulières e,f„ e'f* étant ainsi connues insi que leur point de croisement u, il est très aisé d'obtenir i droite f/"qui répond à une position quelconque de msuruu';

suffit de remarquer que, d'après la formule (1), la variation e l'ordonnée du poinl /est proportionnelle à la variation cor- :spondante de l'abscisse u de m. Dès lors, si l'on divise la roile au! en«parlies égales, il suffira de diviser aussi fj'enn arlies égales; on aura ainsi les divers points /et, par suite, en lignant ces points au point u, on obtiendra les points e cor- ■spondantssur i\e \ ces points divisent d'ailleurs aussi eie'en parties égales.

En prenant l'intersection de chacune des lignes de clôture r ainsi obtenue avec les droites correspondantes ajn qui joinenl le point a, aux points de division de pp', on aura autant e points qu'on voudra du lieu Z,ZZ du point Z, qui détertinc pour chaque position de la charge la verticale du point

inflexion de gauche. L'équation de celle courbe (Z), lieu des uinta Z, résulte de l'élimi nation de u entre l'équation (3) de . droite e/et l'équation

: la droite a s m. Celle élimination est immédiate ; elle [inné :

a courbe est une hyperbole, dont deux points pariieuliers Z, Z' (ou f) sont déjà connus ; ils ont été fournis par la consuclion qui a servi à trouver le point u . On constate aisément, après l'équation (5), que cette courbe passe par l'origine a t , u* le point u el par la projection de ce point sur la poutre, et

LA POUTRE CONTINTE 259

cnlin que la tangente en f est verticale. Nous n'avons tracé que Tare utile ZtZZ' .

On verrait de même que le lieu des points T est aussi un arc d hyperbole.

On pourrait démontrer les propriétés précédentes par des considérations de géométrie projective ; mais nous avons pensé que les principes de celle géométrie étaient moins familiers à la plupart de nos lecteurs que les éléments de géomélrie analytique. Le procédé est moins élégant, mais il est plus naturel.

Une fois qu'on a tracé Tare hyperbolique ZiZ', on résout tout de suite le problème suivant :

zT étant une section de la poutre, située d'une manière quelconque entre un appui a 3 et le foyer voisin / 8 , trouver le point c où il faut appliquer la force» ^, pour que le point z soit un point d'inflexion?

Il suffit de prendre d'abord l'intersection Z de la verticale zZ avec la branche d'hyperbole correspondante Z,Z' , puis l'intersection m de tf 3 Z et de ^ ; me sera la ligne d'action demandée.

Le point c ainsi défini reçoit le nom de point limite relatif à. la section z r L.

Nous sommes maintenant en possession de tous les éléments nécessaires pour résoudre la question des charges défavorables dans une poutre continue.

Distribution des charges uniformes produisant, dans une section donnée d'une poutre continue, le moment fléchissant maximum*

ftts. — On dislingue deux cas suivant que la section donnée S est située entre les deux foyers F et E de la travée T qui contient celle section, ou en dehors de ces fovers c'est-à-dire entre l'un ou l'autre de ces foyers et l'appui voisin. En outre, dans chacun de ces cas, il y aura à étudier successivement l'influence, sur la section S, des charges qui agissent sur la travée T elle-même et celle des charges qui agissent dans les autres travées*

260 CHAPITHK Xll

Premier cas. S est entre F et E.

Toute force appliquée à la Iravée T produit alors en S uu moment fléchissant positif (n° 249) ; pour avoir le plus grand moment au point S, il faudra donc charger toute la travée T.

D'autre part, on sait (n° 218) que toute force agissant dans une travée quelconque produit, dans chacune des deux travées limitrophes, des moments négatifs jusqu'aux foyers les plus éloignés. Donc, pour obtenir le moment maximum en S, il faudra éviter de charger les deux travées limitrophes de T. Pour une raison analogue, les deux travées situées Tune à droite et l'autre àgauche de ces deux là devront être chargées, et ainsi de suite.

De là ce théorème :

S étant un point quelconque compris entre les deux foyers d'une travée, pour avoir le moment fléchissant maximum au point S, il faut charger entièrement la travée T ainsi que celles qui la précèdent ou qui la suivent dHun nombre pair de rangs.

Il est clair qu'on obtiendrait en S le moment fléchissant négatif dont la valeur absolue est maximum, en adoptant la charge complémentaire, c'est-à-dire en laissant vides les travées que l'on devait charger tout à l'heure et en chargeant celles que Ton devait laisser vides.

Deuxième cas. S est entre un foyer et l'appui voisin.

Considérons d abord l'action sur le point S de la travée T.

Supposons, pour fixer les idées, S situé entre l'appui de gauche et le foyer de gauche* et soit <j le point limite relatif à la section S (n° 222). Toute charge A appliquée à un point c de la travée située à gauche de a produit en S un moment fléchissant positif. En effet, cette force produit un moment positif en son point d'application c ainsi qu'en tous les points situés entre c et le point d'inflexion z correspondant, car ce n'est qu'en z que le moment produit par les forces J; change de signe. Or, il résulte de la disposition de Parc hyperbolique, que c étant à gauche de <?, z est à gauche de S, c'est-à-dire que S est compris entre c et z ; donc le moment fléchissant que la force ty

LA POUTRE CONTINUK 261

produit on S osl positif. — On verrait do mémo que toulo charge appliquée à un point do la travée situé à droite de a produit en S un moment fléchissant négatif. — Donc, pour avoir le moment fléchissant maximum en S, il faut charger la partie comprise entre l'appui de gauche et le point <7, et laisser vide l'autre partie delà travée T.

Ce serait au contraire la partie située entre l'appui de droite et le point limite <j qu'il faudrait charger, si le point S était entre le foyer de droite et l'appui de droite.

Quant à l'influence des travées autres queT, on voit, comme dans le premier cas, que ces travées doivent être chargées do deux en deux, de façon que à côté de la partie chargée de la travée T se trouve une travée vide et que à côté de la partie vide de la travée T se trouve une travée chargée.

De là ce théorème :

S étant un point quelconque d'une travée 7\ compris entre ce foyer et V appui voisin, pour avoir le moment fléchissant maximum en S, il faut charger : 1° la partie de T comprise entre le point limite a relatif à S et l'appui qui est du même côté que S par rapport à v ; 2° les autres travées de deux en deux y de façon que la travée contigùe à la partie chargée de T soit vide et que la travée contigùe à la partie vide de T soit chargée.

On obtiendrait d'ailleurs au point S le moment fléchissant négatif dont la valeur absolue est maximum, en adoptant la charge complémentaire de celle que nous venons d'indiquer.

Distribution des charges uniforme* produisant dans une section donnée l'effort tranchant inaiinium.

2f4. — Puisque, d'après le no 220, l'effort tranchant en S est positif ou négatif suivant que la charge appliquée à la travée T est à droite ou à gauche de la section, il faudra, pour avoir l'effort tranchant maximum en S, charger la partie de la travée comprise entre le point S et l'appui de droite.

D'autre part, nous savons (n° 220) que toute force agissant dans une travée quelconque détermine, dans les travées qui

précèdent, des efforts tranchants alternativement négatifs et positifs, et, dans les travées qui suivent, des efforls tranchants alternativement positifs et négatifs. Il suit de là que, pour avoir en S l'effort tranchant maximum, on devra, parmi les travées qui précèdent T, charger la première, la troisième, la cinquième.... et, parmi les travées qui suivent T, charger la seconde, la quatrième, etc..

De là ce théorème :

S étant un point quelconque dune travée T 7 , pour avoir V effort tranchant maximum dans la section S, il faut charger : I* la partie de la travée Tqui est comprise entre S et t appui de droite ; 3° les autres travées de deux en deux, de façon que la travée contiguë à la partie chargée de T soit vide et que la travée contiguë à la partie vide de Tsoit chargée.

Cette règle est relative aux efforts tranchants positifs (dirigée de haut en bas). Pour avoir, en S, l'effort tranchant négatif (de bas en haut) dont la valeur absolue est maximum, il suffit d'adopter la charge complémentaire de celle qui vient d'être prescrite. Cela revient tout simplement à changer, dans l'énoncé qui précède, les mots « appui de droite » en « appui de gauche. »

9*5. — Les trois règles fort simples qui précèdent font connaître la combinaison des charges uniformes capable de produire en un point donné S de la poutre le moment fléchissant ou l'effort tranchant maximum. Puis, en appliquant à ce système de charges la méthode du chapitre précédent, on trouvera les valeurs effectives de ce moment ou de cet effort.

En faisant cette opération pour un nombre suffisant de points S de la poutre, puis portant en chaque point S, perpendiculairement à la poutre, une ordonnée égale à la valeur trouvée pour le moment fléchissant ou l'effort tranchant en ce point, on obtiendra la courbe des moments fléchissants maximums et celle des efforts tranchants maximums.

Il resterait ici bien des détails à donner au point de vue pratique ; mais ces détails ont leur place marquée dans le vo-

LA POUTRE CONTINUE 263

lume de l'Encyclopédie relatif aux Applications de la statiqtte graphique, et nous ne saurions empiéter sur le domaine réservé à M. Kœchlin dont chacun connait la compétence en ces matières.

Dénivellation des appuis.

tte. — Nous avons supposé jusqu'ici que tous les appuis étaient de niveau ; c'est ainsi qu'on cherche à les placer dans la pratique ; mais malgré toutes les précautions, les erreurs do nivellement et les tassements des supports entraînent de légères dénivellations dont il faut savoir apprécier l'influence.

Nous admettrons que les dénivellations soient assez faibles pour qu'on ait le droit de négliger, par rapport à la distance de deux appuis consécutifs quelconques, la différence entre celte distance et la longueur de sa projection horizontale; c'est cette dernière longueur qu'on nomme longueur de la travée. Dans cette hypothèse, les forces extérieures (charges et réactions), qui sont verticales, resteront sensiblement normales à la poutre et l'équation différentielle trouvée au n° 79 pour la ligne élastique subsistera, ainsi que la proposition du n° 80 qui en est la conséquence.

Nous désignerons les appuis par A,,A 2 ,...A tt et nous ne marquerons sur l'épure que les points Ai, A,... A» qui représentent leurs projections sur l'horizontale A t x passant par le premier appui. Nous nommerons en général Z< la différence de niveau vraie des appuis A t et Ai, cette distance étant évaluée en prenant le mètre pour unité ; ces quantités Z, sont des données de la question.

Il s'agit d'examiner quels sont, dans la solution précédente qui est relative au cas des appuis de niveau, les tracés qui subsistent et ceux qu'il faut modifier dans le cas où les hauteurs des appuis diffèrent.

Le théorème dun° 192 subsiste intégralement, car les points Ci et Ci-|-i peuvent (n° 191) occuper une position quelconque sur les droites qui représentent les verticales des appuis ; on

264 CHAPITRK XII

peut donc les placer en A* et At-j-i. Les positions des verticales trisseclrices, des conlreverticales,des foyers ne dépendent que des longueurs des travées, c'est-à-dire de la distribution des points Ai sur l'horizontale A,#; rien n'est donc à changer dans les règles données pour les construire. Mais il n'en est pas de même des points fixes.

Si Ton examine avec attention les raisonnements faits aux n°" 195, 196, 204, on voit qu'ils ne subsistent ici qu'à la condition de substituer aux points Ai les points A'*' qui sont les intersections des verticales (Ai) et de la courbe homographique ei de la ligne élastique. G 1 était, en effet, à ce titre que les points Ai jouaient un rôle dans la détermination des points fixes et des moments sur piles. Lorsque ces points Ai représentaient les appuis, les ordonnées correspondantes de la ligne élastique étaient nulles et par suite aussi celles de la courbe homographique e, qui n'en diffèrent que par un facteur constant g. Dans notre hypothèse actuelle, les ordonnées des appuis, qui appartiennent d'ailleurs toujours à la ligne élastique, ne sont plus nulles ; le facteur y, par lequel il faut les multiplier pour avoir les ordonnées correspondantes de ei, a son plein effet, et les points A' t -, qui doivent dans la suite du tracé remplir actuellement l'office que remplissaient dans le cas primitif les points Ai, ont des ordonnées données par la formule

AiA'i = Zi . q.

C'est donc dans la substitution des points A't aux points Ai, pour la construction des points fixes et des moments sur piles,' que consiste toute la différence entre le nouveau cas et l'ancien. La marche est la même, mais les valeurs des moments sur piles, sinon la règle graphique qui les donne, éprouvent de notables changements.

Pour ne laisser aucune obscurité sur la manière d'opérer, voici l'épure pour le cas où, par exemple, tous les appuis, sauf le second auraient le même niveau. Le point A a représente alors la projection du second appui sur l'horizontale A, a* qui renferme les autres (fig. 100). On prendra le segment vertical A i A' s = yZ 2 ; puis après avoir placé les foyers, on cherchera les

tï

LA POUTRE CONTINUE

points fixes. Il est clair que dans notre exemple les points fixes H 3 ,H' S ... H„, H'», n'auront subi aucun changement.Mais il n'en sera pas de même des points fixes de première espèce que nous désignerons par I;, l\ pour les distinguer de ceux J», J» qui existeraient s'il n'y avait pas de dénivellation. J/ s'obtient, comme on sait, à l'aide des lignes croisées de la première travée ; Jj en résulte par la rencontre de J\A E et de la verticale (F 2 ); puis, le segment J S J', est donné par les lignes croisées de

!fr

Aij/ft

AV

Xi*' X

Ali

Fi

XiÇ

Pp.

i • Fig. 100.

la deuxième travée... etc. Les lignes croisées ne changeant pas F, se confondra avec J'i ; mais I 2 sera à la rencontre de la verticale (F,) et de la droite J'iA'j : puis, on aura 1', en prenant l t \\ = JjJ', ; etc. En joignant en croix les points J a , J',, H 3 , H' 8 on obtient les segments A a (3 2 ,A a ;3 3 qui représentent les moments sur piles dans l'hypothèse où tous les appuis seraient de niveau ; enjoignant en croix les points lj, I'„ H 3 , H' 3 , on obtient A',^',, Asfî's qui représentent les moments sur piles dans le cas où l'appui A 2 est au dessous des autres.

t*7. — Les changements des moments sur piles par suite de la dénivellation des appuis sont indépendants des charges.

fl

uj

Cotte proposition est une conséquence du principe de superposition des cffels des forces. Mais il est bien aisé de la démontrer ici sur l'exemple considéré.

Dans ce but, nous avons fait, en dessous de l'épure précédente, celle qui conviendrait au cas où, les appuis conservant les mêmes positions que ci-dessus, la poutre n'aurait ni poids ni surcharge ; les points correspondants des deux dessins ont été marqués par les mêmes lettres majuscules dans la figure supérieure, minuscules dans la figure inférieure. En l'absence de toute charge, dans chaque travée les deux lignes croisées coïncident et par suite les deux points fixes de même espèce se confondent en un seul. Ainsi les points Ji et i\ sont en ai, Jj et J' 2 en /i, II 8 et H' 3 en e s ; enfin I, et I', sont en i à la rencontre de a x a/ et de la verticale (/,). On voit par là que les moments sur piles sont nuls dans le cas où les appuis sont de niveau, en sorle que les segments a'fi"^ a s p /; 3 , qui représentent leurs valeurs dans le cas où l'appui  t est abaissé, sont précisément les variations qu'ils reçoivent par suite de la dénivellation. Il faut donc prouver l'égalité

ou, en retranchant de part et d'autres les longueurs égales

p/fr = a,p*,.

Or le rapport de ces segments est le même que celui de JJ 4 à. f t i ; ou encore le même que le rapport de A 2 A' S à a t a\ qui est égal à l'unité.

999. — Il résulte de cette proposition que l'influence des abaissements des appuis peut être déterminée à part et même à l'avance, et que l'épure à faire pour cela est d'une grande simplicité puisqu'on y suppose, comme dans la partie inférieure de la figure 100, la poutre sans poids ni surcharge. Les moments sur piles ainsi trouvés devront être ajoutés ensuite à ceux que donnent les charges en supposant les appuis de niveau.

Il résulte aussi de la même proposition que les combinaisons de charges défavorables sont les mêmes, que les appuis aient

LA POUTRE CONTINUE

la même hauteur ou non. Il n'y a donc pas à revenir sur ce que nous avons dit à ce sujet (n° 223).

Autre méthode pour la poutre eontlnue. Béductlon du problème h la eonutructlon d'un polygone auxiliaire*

999. — Un jeune ingénieur fort distingué, M. Bertrand do Fontvioland, a proposé, dans les Mémoires de la Société des Ingénieurs civils (1886), pour le problèmede la poutre continue, une modification de la solution de Mohr, qui mérite d'être remarquée. Nous aurions pu abréger l'exposition de ce nouveau procédé en profitant des développements donnés dans le chapitre précédent ; mais nous avons préféré, pour bien dégager la méthode, en présenter une exposition directe et indépendante de toute notion préalable sur la théorie de la poutre continue.

Nous devons placer avant tout une observation concernant la poutre dont les extrémités seules reposent sur deux appuis, que nous supposons d'ailleurs simples et de même niveau. Si Ton donne les verticales suivant lesquelles agissent les charges concentréesF 1 ,F i ,F 3 ,F i auxquelleselleestsoumise(fig. 60), ainsi que le diagramme a<x a,a a a 4 ô des moments fléchissants, on peut trouver la grandeur des charges F,, F â ,F 8î F 4 ; il est d'ailleurs sous

\ \ 1 entendu qu'on donne aussi les échelles -, -, - deslonsrueurs,

des forces et des moments fléchissants. Il suffit d'exécuter en ordre inverse les tracés du n° 103. On prendra donc à volonté un pôle t: à une distance

d'une verticale quelconque, et, par ce pôle, on mènera, jusqu'à leur rencontre avec cette verticale, les rayons xa iy ira,, ra 3 , i:a u Tra 5 respectivement parallèles aux côtés successifs a% u a,a*, a,a 8 , a s a t , <x 4 £ de la ligne funiculaire donnée. On obtiendra ainsi les vecteurs a,\a t y a t a z , a^n u a-/i 3 , et par suite, en multipliant par 9, les intensités des forces Fi, F 8 , F 3 , F t .

ISO. — Cela posé, considérons une poutre continue h n ap-

168 CHAPJTRK XII

is, simples et de niveau. Soit À, A,, la droite qui la représente r l'épure, et A,, A,, . .. A„ les points qui figurent les appuis. Les arges verticales qui sollicitent la poutre sont d'ailleurs quel nques, concentrées ou réparties (fig. 101).

En supprimant les piles intermédiaires A t , A,... A„i, et apiquant aux points A„A a .., A n i de la poutre des forces R,, ...,R„-i égales aux réactions de ces piles, on ramène laquesin à l'étude d'une poutre à deux appuis A, et An, sollicitée à fois par les charges données P et par des forces inconnues ,R,...,R„-i.

Désignons par A, p,...pipi-\-i...p n —i A„ le diagramme des oments fléchissants que développeraient, dans cette poutre à :ux appuis, les charges P si elles agissaient seules, et par l r I ... nn-\-i... rri-i An le diagramme analogue pour le cas i les forces Rj,R 3 ,... R n — i agiraient seules. Ce sont deux li-

Uv

\ yl" ->-'-!

ij*

, lî^i""'

Fig. 101.

îcs funiculaires, passant l'une et l'autre par A, cl An, cl supisécs relatives à une même dislance polaire d'ailleurs quelnque S. La ligne A,r,... r a -t A« est polygonale, puisque les rces R,, R = ... R«— i sont isolées, tandis que la ligno A, pi,.., ,—l A peut être polygonale, courbe ou mixte, suivant la nare des charges P.

Soit A, r",.., V„-i An le polygone symétrique de A, r,... ,i A» par rapport à l'horizontale A, An Entin./jjdésignant en général le point où la verticale du point i rencontre le diagramme A, /»..-■ p*—\ A», menons les corîs Ai p„ p, p-j.-., pi pi+l.-., pn—i A H . Le polygone inscrit >nt ces cordes sont les cûlés successifs peut être considéré

LA POl'TKK CONTINUE

comme le diagramme des moments fléchissauls que développerait dans la poutre à deux appuis Ai et An un système bien défini (n° 229) de forces F f , F 8 ..., F n — i concentrées et appliquées aux points A* A 3 ... An— i, ce diagramme étant d'ailleurs relatif à la distance polaire X déjà considérée.

Soient (\,p, s, r,r', les points où une verticale quelconque rencontre respectivement la poutre, la ligne funiculaire A, p s ... j0 H i An, le polygone inscrit et les polygones symétriques Air,. . . rn— i An, Ai r\... r n i An. Les segments

Cp, fr, O

représentent à l'échelle - =r~M ^ cs moments fléchissants produits sur la poutre à deux appuis, respectivement par les charges P, par les forces Fj..., F n — i et par les réactions R s ..., R«i. Par suite les segments

Cp— Cs=sp, Cr-\-Cs=Cs—0'=—$r'=r's,

multipliés par p, expriment les moments fléchissants développés, d'une part par les charges Pet les forces ( — F s )...,( — Fn— i), et de l'autre par les forces (R 2 +F s )..., (Rn— i + Fn-i).

Or, en vertu du principe de superposition des effets des forces, la somme

p . sp + p . r's

représente le moment produit, dans la poutre à deux appuis A, A n , par l'influence simultanée des deux groupes de forces

(R,+ F f ). • • . (Rn-i + Fn-l)

c'est-à-dire par l'action simultanée des charges P, et des réactions R 3 ... Rn— t. Le moment représenté par la somme ci-dessus est donc le moment fléchissant effectif de la poutre continue au point C.

Des deux moments partiels

? .sp

.rs

en lesquels se trouve ainsi décomposé le moment effectif de la poutre continue, le premier p.sp est connu, car rien n'cra* pèche de construire immédiatement la ligne funiculaire A t p % ... p n —i A rt et son polygone inscrit ; le second p. r s, que nous nommerons moment complémentaire au point C, reste donc la seule inconnue de la question.

Remarquons d'ailleurs que sur chaque pile Ai l'ordonnée sp s'annule et par suite aussi le moment partiel p. sp ; donc, tandis que, pour un point quelconque de la poutre, le moment effectif diffère du moment complémentaire, sur chaque pile ces moments deviennent égaux ; on leur donne le nom de moments sur piles.

Ce sont ces moments sur piles :

p . rifi , p . ri+ipi+i,

qu'il suffit de déterminer; car, les lignes pippi+i et leurs cordes étant tracées, dès qu'on aura en outre les segments verticaux pn. pi+\ Ti+i, les trapèzes tels que pi pi+i ri+ir» seront déterminés et par suite aussi tous les moments complémentaip. r's.

98f . — Considérons maintenant la ligne élastique de la poutre continue ou plutôt la courbe homographique £i de cette ligne. Soient e 3 et g, les courbes homographiques des lignes élastiques relatives, à la poutre à deux appuis A, A n sollicitée, d'abord seulement par les charges P et les forces ( — F,)..., ( — F n — i),puis seulement par les forces (R, -f-F f )..., (R n ^i -4- F H — i). Il résulte du principe de superposition des effets des forces que, si l'on suppose les trois courbes t u t lf e, construites avec le même coefficient q &?. réduction, et si l'on désigne respectivement par f/i,yt,!/a ' eurs ordonnées comptées, sur une même verticale quelconque, à partir du point C où cette verticale rencontre l'horizontale A, A n des appuis considérée comme axe des x 1 on aura, en grandeur et en signe,

Vi = y* + yi.

Or, sur les appuis y v est nulle ; donc, sur un appui quelconque

LA POUTRE CONTINUE

Ai, les ordonnées y t et y, ont des valeurs (y,)i, (y,)i égales et de signes contraires. •

Mais les valeurs (y t )i sont connues. En effet nous avons appris au n° 124 à construire la courbe homographique d'une poutre à deux appuis sollicitée par des charges quelconques dès qu'on connaît le diagramme des moments produits par les charges. Or, c'est ici le cas pour la courbe e, ; le diagramme correspondant est celui des premiers moments partiels c'est-àdire le diagramme formé sur la ligne funiculaire A, /?,... p K p /?i-|-i...pn— 1 A» et son polygone insciit Ai/),.. ,/>i/?t+i... />»-.! An, La règle donnée au n° 124 permettrait de construire la courbe i, c'est-à-dire d'obtenir toutes les valeurs dey â ct en particulier les valeurs (t/,)i\ Comme nous ne voulons que ces dernières, il suffira de faire les opérations graphiques suivantes : on mesurera pour chaque travée Ai Ai+i Taire m comprise entre la ligne pippi+\ et sa corde ; on déterminera (fig. 102) la verticale (Ci) du centre de gravité de cette aire, verticale que nous nommerons verticale principale de la travée ; puis, à l'aide d'une dislance polaire A prise à volonté sur l'épure, on construira le polygone funiculaire qui passe par Ai et A» et qui est relatif aux forces fictives Vi ayant pour vecteurs

et pour lignes d'actions les verticales principales. Les ordonnées AiA'i de ce polygone funiculaire relatives aux points Ai seront

Fig. 102.

les valeurs (y,);. Quant au paramètre A, on le choisira à volonté comme A, ce qui fixera la valeur du coefficient y de réduction

es courbes liomographiqucs considérées, en vertu de la rcla-

on (4) du n° 195.

Les ordonnées (y,)i étant connues, il en est de même des

rdonnées (y a ); qui leurs sont égales cl de signes contraires.

(ais la courbe t 3 est relative à la poutre à deux, appuis Ai A„

ipposée sollicitée par les seules forces (R s -+- F,),

t,, -+• F»,). La question se trouve donc ramenée à la sui-

înle :

Connaissant les ordonnées (j/ a ;, de la courbe homographique d'une poutre a deux appuis A, A„, aux points d'application

,... A H , de forces inconnues (R, -+- F,),.., (R», +F» |),

ouver les moments fléchissants que ces forces développent en

mrs points d'application c'est-à-dire les moments que nous

tons appelés moments sur piles.

«st. — Les points actuellement connus de la courbe e, sont s symétriques par rapport à A 1 A„ des points A'; fournis par

construction du numéro précédent ; mais, on peut, en ren- .'rsaiil tous les signes, substituer à la courbe i, sa symétrique , laquelle passe alors par les points A', eux-mêmes.

Désignons par M. les moments sur piles; imaginons en citaje point Ai une ordonnée Ai[Ai égale à M'

, traçons le polygone Ai^j .. [Aijw+ 1

Fig. 103.

AiA; .+. , étant une travée intermédiaire quelconque (fig. 103) •composons le trapèze Ai|i>>l+ i A; + 1 eu deux triangles par

LA POUTRE CONTINUE

Tune de ses diagonales ; désignons par 0i,6t les aires des deux triangles AîjjlîAî + i et a t Ai + 1 [/.•+ 1 et par (gi), (y'ijles verticales qui passent par les centres de gravité de ces triangles. Ces verticales peuvent être tracées à priori puisqu'elles divisent la longueur de la travée en trois parties égales ; on leur donne le nom de verticales trissectrices. Considérons les forces fictives Vi et U'i qui, ayant pour vecteurs

Ui = T

agiraient suivant les verticales trissectrices (gi) (g' i) ; concevons le polygone funiculaire de trois côtés k'imimW'i + { qui,

Fig. 104.

passant par A'i et A'î + 1 est relatif aux deux forces Ui et U'i et a pour distance polaire A ; A et A; ont ici les valeurs déjà adoptées précédemment. Dans chaque travée intermédiaire ou aura un tel polygone ; mais (fig. 104) dans les travées de rive AiA â et An-tAn les deux polygones correspondants AjW'iA^A'n-iWi'n-iAn n'ont que deux côtés, les verticales trissectrices les plus voisines des culées A t et A n ne jouant aucun rôle^puisqu'on a de simples triangles Âip*Aj, A n 4 pn-.|An au lieu de trapèzes.

L'ensemble des polygones ainsi définis pour les diverses travées forme ce que nous appellerons le polygone auxiliaire * de la poutre continue. Ce polygone a en apparence

1. Nous employons ici cette dénomination, et non celle du second polygone funiculaire, pour éviter la confusion avec le second polygone funiculaire de Mohr, qui n'est pas le même que ce polygone auxiliaire.

274 CHAPITRE Xil

côtés, n étant le nombre des appuis ; en réalité, il n'en a que

vu que le dernier côté de chacun des polygones partiels coïncide avec le premier côté du suivant.

Pour le démontrer, remarquons que la ligne c', passe parles points Ai, A'j.-- A'»—,, A n et n'a en chacun d'eux, à cause de la continuité, qu'une seule tangente. Or cette courbe est une ligne funiculaire, de distance polaire A, pour une charge représentée par Faire comprise entre l'horizontale AiA» et le contour polygonal A,^.... (jLîjiLî + !... fjL» — iA n . Désignons par U la tangente en A\ à la courbe t\ et considérons la partie de cette courbe qui est relative à la travée quelconque A;A; + , ;on sait(n°34) que le polygone funiculaire k'imim'ik'i + 4 a ses côtés extrêmes k'imi et m'iA'f-f-i dirigés suivant les tangentes t% } U+ t . Le même raisonnement appliqué à la travée précédente prouverait que le côté m'i— i A't se confond avec tf;,Donc les deux côtés m' t 4 A 'i et \'mi sont dans le prolongement l'un de l'autre.

Il est clair que si l'on savait construire le polygone auxiliaire on pourrait d'après la règle indiquée au n° 229, remonter aux vecteurs ta et u'i des forces fictives correspondantes ; on connaîtrait donc les aires 0t,0 i et par suite, comme ces aires sont égales à

- AiAi-f., . Ai pi , - AiAi+, . Ai+ i f/4+i

on aurait les ordonnées Aî^î qui, multipliées par p, donneraient les moments sur piles M».

Toute la question se réduit donc, en dernière analyse, à la construction du polygone auxiliaire.

Construction du polygone auxiliaire*

ISS. — Avant do procédera la construction de ce polygone, nous devons donner quelques définitions.

Deux d'entre elles, celles des contreverlicales et des foyers.

- it

LA POUTRE CONTINUE

ne dépendent pas des charges, mais seulement des longueurs des travées successives. Nous les avons données avec détail aux n 0B 199, 200 et 201 auxquels le lecteur n'a qu'à se reporter, vu qu'il n'y a pas un mot à changer.

A ces deux définitions, il faut en joindre une troisième, celle des pivots l , que nous allons indiquer.

Soient A n F f , F 3 , F v les foyers de gauche (fig. 105) de la poutre que, pour fixer les idées, nous supposerons à 5 appuis Ai, A lv A 8 , A ( , A-, et par suite à 4 travées. Joignons le premier foyer A^ au point A' 8 et soit J, l'intersection de A t A' s et de la verticale du foyer F,. Menons de même J 2 A' 8 jusqu'à sa rencontre J 8 avec la verticale de F 8 , puis J 3 A' ; jusqu'à sa rencontre J 4 avec la verticale du foyer F.. Les points ainsi obtenus, J s , J 3 , Jn prendront le nom de pivots de première espèce. Il y en a un sur la verticale de chaque foyer de gauche, à condition de compter parmi les pivots le point Ai avec lequel sont de la sorte confondus les points Fi et Ji.

En partant de A 5 et opérant de la même manière sur les foyers de droites A 6 ou È 5 , E ; , E 8 , E, on obtient une autre série de points H,, II 8 , II*, H B ou A 5 , que nous nommons pivots de seconde espèce ; il y en a un sur la verticale de chaque foyer de droite.

•'Vi

934. — Cela posé, voici le théorème qui permet de tracer le polygone auxiliaire.

Tout côté de rang impair mm'i du polygone auxiliaire passe par les denx pivots Ji et Hi-\- v de la travée correspondante AiÂi+ r

1. Nous employons cette dénomination, au lieu de celle de points fixe$,d\m qu'on ne confonde pas les pivots avec les points fixes de la méthode de Mohr

Pour le prouver, nous observerons d'abord que deux côtés le rang impair consécutifs quelconques tw—im'i-t et m&i'i se loupent sur la contre verticale (y;) de l'appui situé entre ces

Fig. 106.

;ôlés. En effet les deux côtés en question doivent (n° 38) se Toiser sur la ligue d'action de la résultante des forces ll'i^ jtUi comprises entre eux (fig.106). Or ces forces agissent suivant es verticales trissectrices {g '; i)et($ï) ; leur résultante a pour igné d'action la verticale qui divise g'i—igi en deux parties inversement proportionnelles à leurs intensités, c'est-à-dire aux lires des trinngles j/.i— ,j*iAi, AïfuAf^-,. Mais ces deux triangles le même base Aijxisontproportionncls àlcurs hauteurs Ai— ,A|, ViAi-f-i ou encore aux segments y'i— ,A;, Aw» ; la ligne d'acion de la résultante en question est donc la verticale qui par-

\. ft A A

LA POUTRE COiNTINUE 277

tagc g'i-iÇi en deux parlies directement proportionnelles à g'i—iyi et y#», c'est-à-dire précisément la conlrcverticale (y»).

Cela dit, considérons (fig. 107) le polygone auxiliaire A^

A' s mstti'iA's SoitZj le point où le premier côté va rencontrer

la contreverticale (y 2 ) et m t le point où le second côté va couper la verticale trissectrice ((fa), le troisième côté m % m\ sera d'après l'alinéa précédent, le prolongement de z t m % ; mais, d'après la construction des pivots, le point où la droite Ai A', rencontre z t m fi est précisément le pivot J, ; donc le troisième côté passe par J s . En raisonnant à partir de J, comme on vient de le faire à partir de J t (ou A,), on verra de même que le cinquième côté passe par J,, et ainsi de suite.

Il est donc établi que les côtés de rang impair passent par les pivots de gauche situés dans leurs travées respectives.

On prouverait de même, en partant de l'autre travée de rive An-iA*, que ces mêmes côtés passent par les pivots de droite, ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.

On pourra donc tracer les côtés de rang impair puisque on aura deux points de chacun d'eux. Comme vérification, doux côtés de rang impair consécutifs devront se croiser sur la contre-verticale de l'appui situé entre eux.

Enfin, enjoignant l'extrémité m'i— ï d'un côté quelconque ;wi 1 m't l de rang impair à l'origine m% du côté de rang impair suivant mim'i 9 on aura le côté de rang pair m'i— x mi compris entre eux; et, comme nouvelle vérification, ce côté devra passer par le sommet Ai.

Bésmné et observations.

*8a. — Telle est la méthode de M. de Fontvioland.

Nous n'avons qu'à renvoyer aux n° 207 pour les efforts tranchants et les réactions d'appuis.

Mais nous devons ajouter encore deux remarques, l'une sur la détermination des premiers moments partiels, l'autre sur la dénivellation des appuis.

Au lieu de construire (n° 230) la ligne funiculaire k v p t

/>«— |A N et son polygone inscrit (fig. 101), il vaut mieux, en pra-

i Vî

CHAPITHE XII

9, pour déterminer les premiers moments partiels tels que , employer le procédé suivant :

n commencera par construire, avec la même distance poi S, pour chaque travée AiAi+, considérée comme indépen- ,e, la ligne funiculaire Aip"Ai+, qui passe par les exlrémile cette travée. Cette ligne est indiquée en pointillé sur la re. L'ensemble de ces lignes relatives aux diverses travées ju le nom de premier polygone funiculaire de la poutre inue. L'ordonnée cp" do ce polygone, pour un point quel- |ue c de la poutre, est précisément égale à sp. En effet, la e ptppi+i est aussi une ligne funiculaire de distance polaire jur celles des charges P qui s'exercent sur la travée consie comme indépendante, et la corde pipi+i est sa ligne de teture ; los ordonnées sp et cp", représentant dès lors le ne moment et à la même échelle, sont égales.

es premiers moments partiels prennent de la sorte une velle signification ; ils ne sont autres que les moments flésanls que produiraient les charges données si les travées ent considérées comme non solidaires, la fin, c'est-à-dire quand on aura trouvé les moments sur i M,- à l'aide du polygone auxiliaire, au lieu de porter les nents

M* Mf+,

)in et pi+, fi+t, on les portera en À,r;" et ki+, r" l+ , puis, irant les droites telles que r"jr"i +i ,on tombera préciséit sur le diagramme des sommets fléchissants auquel coula méthode de Mohr et qui forme la partie supérieure de ir. 95 ; on en déduira enfin le diagramme général qui forme artie inférieure de la môme figure.

n résumé, le procédé de M. de Fonlviolant revient à décom- >ren quelque sorte le second polygone funiculaire de Mohr deux autres plus simples ; l'un donne les points A';, l'andépend des points A'; et fournit les moments sur piles, divise ainsi le travail ; le polygone auxiliaire n'exige par ée que deux points fixes au lieu de quatre, et ces pivots se iiisent des points A'; comme les points fixes de Mohr se uisent des points Ai,

LA POUTRE CONTINUE

. i&a. — La méthode s'étond (railleurs immédiatement au cas où les appuis ont des hauteurs inégales à condition, bien entendu, comme nous l'avons dit au n° 226, que les dénivellations soient assez faibles pour qu'on ait le droit de négliger, vis-à-vis de la distance de deux appuis consécutifs quelconques la différence entre cetle distance et sa projection horizontale.

Il n'y a rien à changer au raisonnement jusqu'à la conséquence que l'on tire de l'équation

yi=yt + y 3

du n° 231, Ici, il n'est plus vrai de dire que y i est nul sur les appuis; mais sa valeur (?/,)i est connue, puisqu'on donne la différence de niveau entre le premier appui et chacun des autres. Par suite, à la relation

(y.)* = — (yi)«

il faut substituer

(yi)i = {y%)i — (yi)*»

pour obtenir (y z )i. Le reste s'achève sans modification.

1 iï

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