P:Q::BG: AG

Supposons, ri\ second li<;u , (|ue les deux

d6 ÉLÉMENTS

forces P et Q ne soient pas commensurabi Je remarque d abord que si la résultante

Fig- 7 deux forces quelconques P et Q (^fig, 7) apf quées aux points A et B, tombe en G, la rés

■ tante de la force P et d'une force Q-hI>

tombera entre le point Ç et le point B; c\ à-dire que le point d application de la résulta s'approchera du point d'application de la co posante qui aura augmenté. En effet, pour ti ver la résultante des deux composantes F Q + I, on peut prendre d'abord la résults R de P et Q, qui passe au point G, par hy thèse, et ensuite celle de R et de I, don point d'application sera entre G et B ( 19). Maintenant, si la résultante des deux fo

Fig. 8. incommensurables P et Q [fig. 8) ne passe au point G, qui est tel qu'on a P : Q : : BC : elle passera en un autre point situé entre G, ou entre G et B. Supposons que ce soit f entre A et G. Partagez la ligne AB en pa égales toutes plus petites que GG, il y aui moins un point de division entre G et G. S ce point : les deux lignes AI et Bl seront < mensurables, et le point I pourra être cons comme le point d'application de la résul de deux forces P et Q' qui seraient telles \ aurait P : Q' : : Bl : Al , ce qui dimne Q ( puisqu'on a, par hypothèse , P *. Q ! : BC !

Mais la résultante des deux forces P et Q' passant en 1, celle des deux forces P et Q > Q' passera entre I et B, et ne pourra tomber en G, contre Thypothèse.

On ferait voir absolument de la même manière qu'elle ne peut tomber entre G et B; et, par conséquent, elle passe nécessairement en G.

Corollaire I.

24. Lorsque trois forces parallèles P, Q, R {fig. 9) sont en équilibre sur une ligne AB, lune Fig. 9. d'entre elles est égale et directement opposée à

la résultante des deux autres. Ainsi la force Q, par exemple, prise en sens contraire, est la résultante des deux forces P et R. Gomme les deux forces P et Q tirent dans le même sens, la force R est égale à P-f-Q, et, par conséquent , Q = R — P; d'où il suit que la résultante de deux forces parallèles qui agissent en sens contraires est égale à leur différence, et tire du même côté que la plus grande.

25. Les deux forces P et R étant données, ainsi que la distance AG qui sépare leurs points d'application, si Ton demande le point d application de la résultante Q, on fera cette proportion, P:Q::BG:AG; d'où Pon tireP-+-Q:

a8 ÉLÉMENTS

Q : : BC H- AG : AC , c'est-à-dii e R : Q : : AB : A( proportion qui fera connaître AB , et, par coi séquent, le point B.

Corollaire II.

2(5. Supposons que les deux forces P et soient é(;ales, la résultante Q sera zéro , et la di tance AB de son point d'application sera, par

proportion ci-dessus, — ^ 9 c'est-à-dire infini

Si les deux forces P et R , au lieu d être ég les, différaient d'une quantité très-petite, résultante Q , qui est égale à cette différenc

serait très-petite , et la distance AB = — -^

serait très-grande, à cause du dénominateur très-petit : ainsi , plus les deux forces sappr cbent lie l'égalité, plus la résultante diniipu et plus la distance du point où elle est app quée augmente. De sorte que , lorsque les de forces deviennent parfaitement égales, 1^ 1 sultante est nulle, et la distance du point da plication infinie; ce qui parait annoncer qi n'y a plus alors de résultante, ou, en tern plus clairs, qu'on ne peut pas trouver actu< lement une force unique qui fasse équilih à deux forces égales , parallèles et de s€ opposés.

27. Mais, pour ne laisser aucun nuage sur cette dernière conséquence, imaginons, s'il est possible, qu'une force unique R fasse équilibre aux deux forces P et — P, parfaitement égales, parallèles et contraires.

D'abord, quelle que soit la position de cette force unique à l'égard des deux proposées, on lui trouvera sur-le-champ, dans un sens contraire, une autre position toute semblable à l'égard des mêmes forces; car tout est égal de part et d'autre. Si donc une force R fait équilibre aux deux forces P et — P, il y a une autre force — R égale, parallèle et de sens opposé, qui leur ferait aussi équilibre. Ajoutez cette seconde force — -R; et pour ne rien changer, détruisez-la immédiatement par une force R' égale et contraire. Il y aura donc équilibre entre les cinq forces R , P, — P> — R et R'. Mais il y a équilibre entre les trois forces P, — P et — R : donc il y aurait équilibre entre les deux forces restantes R et R'; ce qui est impossible, puisque ces deux forces égales et parallèles agissent dans le même sens (19).

Ainsi les deux forces P et -— P ne peuvent être tenues pn équilibre par aucune simple force, et, par conséquent, elles n'ont point de résultante unique.

Nous reviendrons bientôt sur ces sortes de

3o ÉLÉMENTS

forces , dont la considération , qui n avait pai jusqu'ici que comme un cas singulier, fera seconde partie essentielle de nos Éléments.

Corollaire III.

28. De même que Ion compose en une set deux forces parallèles qui agissent à des poii donnés dune ligne, on peut aussi décompoi une force quelconque R [fig. 6), appliqué< un point G d'une droite inflexible, en de autres P et Q qui lui soient parallèles, et < agissent en des points donnés A et B de ce droite. Il ne s'agit pour cela que de partagei force R en deux autres qui soient entre e dans le rapport des distances BG et AG; et p( trouver la force Q par exemple, on se sen de la proportion R ! Q 1 1 AB : AG , dans laquil n'y a que Q d'inconnue. La force P sera éf à R-Q.

Si le point G d'application de la force Fig.' 10. {fi9' lo) qu'on veut décomposer ne tomi pas entre A et B , points d'application dor des composantes P et Q que Fou cherche, aurait de même la proportion R:Q::AB:.

qui ferait connaître la force Q; mais la fore serait égale à R -4- Q.

DE STATIQUE. 3l

Corollaire IV.

29. Quand on sait déterminer la résultante de deux forces parallèles, on peut facilement trouver celle de tant de forces parallèlesqu^on voudra 9 appliquées aux différents points d'un système quelconque de figure invariable.

Soient, par exemple, les quatre forces parallèles P, P', P", P"' [fig. Il), appliquées respec- Fig. n. tivement aux quatre points A, B, C, D, situés d une manière quelconque dans lespace, et liés entre eux d'une manière invariable. En considérant ces forces deux à deux, elles sont situées dans un même plan. Ainsi Ion peut prendre d abord la résultante X des deux forces P et P'; elle sera égale à leur somme P -i- P', et passera en un point I de la ligne AB, qu'on trouvera en divisant AB dans la raison inverse de P à P'. La résultante X étant ainsi déterminée, on joindra le point I où elle agit, au point G de la troisième force P". Les deux forces X et P" étant parallèles, on en prendra la résultante X', comme nous avons fait tout à Tlieure : cette résultante sera égale à leur somme X -i- P", et le point F où elle devra être appliquée se trouvera en divisant la droite CI, dans la raison réciproque de X à P''. Joignant enfin le point F au point D d application de la quatrième force P'%

•et divisant la droite FD en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces X' et P% on aura le point G d application de la résultante générale R, qui sera parallèle aux deux forces X' et P'", et, par conséquent, à toutes les composantes; égale à leur somme X'-h P*', et y par conséquent, à la somme de toutes les composantes.

Le raisonnement que nous venons de faire s'étend manifestement à un nombre quelconque de forces parallèles.

Si parmi les forces P, P', P", etc., les unes agissaient dans un sens ^ les autres dans le sens contraire, on commencerait par prendre la résultante de toutes celles qui agissent dans le même sens, on chercherait ensuite la résultante de celles qui agissent dans le sens contraire; et toutes les forces étant alors réduites à deux forces parallèles et de sens contraires, on en trouverait la résultante par ce que nous avons dit plus haut.

30. On peut donc, en général, déterminer la position et la quantité de la résultante de tant de forces parallèles qu'on voudra: cette résultante sera parallèle aux forces, et égale à l'excès de la somme de celtes qui tirent dans un sens, sur la somme de celles qui tirent dans le sens contraire.

DE STATIQUK. 33

J ai dit en général, parce qu'il peut arriver que la résultante des forces qui tirent dans un sens soit parfaitement égale à la résultante de celles qui tirent dans le sens contraire , sans lui être directement opposée ; et alors il n'y a pas de résultante unique , comme nous lavons vu plus haut.

Corollaire V.

31. Supposons que les quatre forces P, P', P", P"*, sans changer de grandeur, sans cesser d être parallèles et de passer aux mêmes points respectifs A, B, C, D, viennent à prendre les positions p^ p\ p'\ p"' dans l'espace.

Si Ton en cherche la résultante, en suivant le même ordre que plus haut, on trouvera dabord que la résultante x Ae p et p' passe au même point I que la résultante X de P et P', et qu elle lui est égale. Elle passera par le même point, parce que son point d application doit diviser la même droite AB dans la raison réciproque de /? à p', qui est la même que celle de P à P'. Elle lui sera égale, parce quon aura P 4- P' = p -f- p'. On trouvera de même que la résultante x! àex eip" passera au même point F que la résultante X' de X et P", et qu elle lui sera égale, et ainsi de suite : de sorte que la résultante générale des quatre forces />,/;', p'\p'\

Statique P. 3

passera au même point que la lésultaute de quatre forces P, P', P", F "; et cela est général quel que soit le nombre des forces. D où Fo peut conclure ce théorème remarquable :

52. Si l'on considère un système quelconqi Je forces parallèles, appliquées à un assembla^ de points A, B, C, D, etc.^ et quon incUi successivement tout le sjstème de ces forces da^ diverses situations, de manière que les mêm forces passent toujours par les mêmes points, conservent leurs grandeurs et leur parallélismi les résultantes générales qu'on trouvera successiv ment dans chacune de ces positions se croisew toutes au même point.

Ce point d'intersection des résultantes su cessives se nomme le centre des forces par lèles. Nous aurons occasion d'en parler pi Join , quand il sera question des centres gravité.

On peut remarquer, au i-este, que dans démonstration précédente , il n'est pas née saire de supposer que les forces consei-vent te jours les mêmes grandeurs; il suffit que, di les positions successives du groupe , elles i meurent proportionnelles.

Composition des forces dont les directions concourent en un même point.

Théofème III.

53. La résultante des deux forces quelconques PetQ (fig. 12) appliquées à un même point A, Fig. 12. sous un angle quelconque; est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme ABGD construit sur les deux lignes AB^ AC, qui représentent les forces P etQen grandeur et en direction.

D'abord , nous avons vu (14) que cette résultante doit être dans le plan des deux forces P etQ; en second lieu, qu'elle doit être appliquée au point A , puisque cette résultante , par hypothèse, doit solliciter le point A absolument de la même manière que les deux forces PetQ.

Je dis maintenant quelle doit passer au point D, extrémité de la diagonale AD.

Prenons, en effet, sur le prolongement de la ligne BD la partie DG = DG, et achevons le losange GDGH. Appliquons aux points 6 et H , et dans la direction de GH , deux forces Q' et Q'' contraires, égales entre elles et à la force Q. Il est facile de voir que la résultante des quatre forces P, Q , Q' et Q" doit passer au

point D. Car, i** à cause de Q' = Q , les deux forces parallèles P et Q' sont entre elles comme les côtés AB, AC, ou comme DC et DB, ou bien, à cause de DC = DG, comme les lignes DG et DB , et , par conséquent (23), leur résultante S passe en D; a"* les deux forces Q et Q" étant égales, leur résultante T, prolongée, divise en deux également Tangle CHG du losange CDGH, et va passer aussi par le point D, où Ion peut la supposer appliquée. Donc la résultante générale, qui est celle des deux forces S et T, passe au point D.

Mais les deux forces Q' et Q" appliquées sur GH étant parfaitement égales et contraires, leur effet est absolument nul, et la résultante des quatre forces P, Q , Q' et Q" est identiquement la même que celle des deux forces P et Q. Donc , puisque la première passe en D, celle des deux forces P et Q passe aussi au même point.

Puisque la résultante passe à la fois par les deux points A et D, elle est donc nécessairement dirigée suivant la diagonale AD.

Corollaire,